典型极坐标参数方程练习题带答案

1、极坐标参数方程练习题1.在直角坐标系xOy中，直线C： x= 2,圆G: (x1)2+(y2)2= 1,以坐标原点为 极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C, G的极坐标方程； . _(2)若直线G的极坐标方程为0 =彳(P F),设C2与G的交点为M N,求GMN的面积.解：(1)因为x= p cos 8 , y = p sin 8 ,所以C的极坐标方程为p cos 0 = 一 2, G 的极坐标方程为p2 2 p cos 0 4 p sin8+4 = 0.(2)将 8 =代入p2 2 P cos 0 4 p sin8+4 = 0,得 p 2 3y2 p+ 4= 0,解得p 1 =

2、 22, p 2 = 212.故 p 1 p 2 =啦,即 | MN = V2.，1由于G的半径为1,所以GMN勺面积为2.4. (2014 辽宁，23, 10分，中)将圆x2 + y2= 1上每一点的横坐标保持不变，纵坐 标变为原来的2倍，得曲线C(1)写出C的参数方程；(2)设直线l : 2x + y 2 = 0与C的交点为P1,以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 PR的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.X = Xi ,解：(1)设(Xi, y1)为圆上的点，经变换为C上点(x, y),依题意，得y = 2y1,.V2由 x1 + y1= 1 得 x + 2 =1.2

3、即曲线C的方程为x2+ 4=1.x = cos t .故C的参数方程为，(t为参数).y = 2sin tx= 0, y=2.2r x 2+！=1, x=1, r(2)由 4 解得 或y = 02x + y 2 = 0'不妨设Pi(1 , 0) , P2(0 , 2),则线段1，1RR的中点坐标为万，1 ,所求直线斜率为k=111于是所求直线方程为y1=2 x万.化为极坐标方程，并整理得2 p cos 84psin 8= -3,即 P 4sin 0 2cos 0 .（2）（2015 吉林长春二模，23, 10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半 ，、冗,轴为极轴建立极坐标系，

4、曲线 C的极坐标万程为P cos 0w=1, M N分别为曲线C与x轴，y轴的交点.写出曲线C的直角坐标方程，并求 M N的极坐标;设M, N的中点为P,求直线OP的极坐标方程.【解析】 (1)将2 P cos2 8 =sin 0两边同乘以p ,得2( p cos 0)2= p sin 0 ,化为直角坐标方程为2x2=y,G: p cos 8=1化为直角坐标方程为x=1,z -x = 1,联立可解得 y=2,所以曲线C与G交点的直角坐标为（1 , 2）.三八九(2): p cos 0 - =1,八九八九p cos。- cos-3- + p sin 8 sin § = 1.x= p c

5、os 0 ,1V3又 y=psin e,望+学i即曲线C的直角坐标方程为x + 43y 2 = 0.令 y = 0,贝U x = 2;令 x = 0,贝U y= M2, 0), N 0,挛3.M的极坐标为（2, 0）, N的极坐标为M N连线的中点P的直角坐标为1T ,3P的极角为0二百, ._ _ 一一一 九直线op的极坐标方程为0 =（ p e R）.注：极坐标下点的坐标表示不唯一.【点拨】 解答题（1）的关键是掌握直角坐标化为极坐标的方法；题 先转化为直角坐标问题求解，再转化为极坐标.x= 4+ 5cos t,（2013 课标I, 23, 10分）已知曲线G的参数方程为（t为参数），y=

6、5+ 5sin t以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为p =2sin 9 .（1）把C的参数方程化为极坐标方程；（2）求C与G交点的极坐标（p >0, 0< 9 <2tt）.一，x=4+5cos t , 八，一、一一.22【解析】（1）将消去参数t,化为普通方程为（x4）2+（y 5）2=y=5+5sin t25,即 G: x2+y2 8x10y+16= 0.将 x Pc0s 0，代入 x2 + y2 8x10y+16=0,得y = p sin 02p 8 P cos 9 10 p sin 0 +16=0.所以G的极坐标方程为p28pcos

7、0 - 10 p sin 0+16=0.(2) G的普通方程为x2+ y2 2y =0.联立G, G的方程x2+ y2-8x-10y+ 16=0,x2+ y22y = 0,解得y= 1y=2.x = 0,. L 冗冗所以G与C2父点的极坐标分别为y/2,彳，2,.【点拨】本题主要考查圆的参数方程、极坐标方程和标准方程以及圆与圆的位置关系，解题的关键是将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程求解.(2012 辽宁，23, 10分)在直角坐标系xOy中，圆G： x2+y2= 4,圆G: (x 2)2+ y2 = 4.(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C, G的极坐标方程,并

8、求出圆G, G的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆G与C2的公共弦的参数方程.x= p cos 0 ,解：(1)由y= p sin 9 ,知圆G的极坐标方程为P =2,圆G的极坐标方程为p = x2+y2= p 24cos 0 .-P =2, 一解 p=4cos e 得2, 冗冗故圆G与圆G的父点坐标为2,万，2,一万.注：极坐标系下点的表示不唯一.x- a cos 8. ll(2)万法一：由得圆G与G父点的直角坐标分别为(1，、/3) ,(1 ,->/3).y= p sin 0故圆G与G的公共弦的参数方程为 x 1 (-V3<t<V3).y=t或参数方程写成x 1'

9、; -<y<V3y=y,x方法二：将x=1代入y =得p cos 8=1,从而p1cos 0 .于是圆G与G的公共弦的参数方程为x= 1,y=tan 05. （2015 河北邯郸二模，23, 10分）已知圆C的极坐标方程为p =2cos 0 ,直线13xx = 2+ 2 t，正冗l的参数方程为（t为参数），点A的极坐标为号 4 ,设直线l与圆C交y=2+2t于点P, Q（1）写出圆C的直角坐标方程;(2)求 | Ap | AQ 的化解：（1）因为圆C的极坐标方程为p =2cos 0 ,2所以 p =2 p cos 0 ,将其转化成直角坐标方程为x2+ y2 = 2x,即(x 1)2

10、 + y2= 1.（2）由点A的极坐标坐,十得直角坐标为A，2 .将直线l的参数方程13x=2+1 1 y = _ + _t y 2 2t,（t为参数）代入圆C的直角坐标方程（x-1）2+y2/口 23-11=1,得 t - V t -2=0.设tl, t2为方程t2-5111 N=0的两个根，则t1t2 =12'所以 |Ap |AQ = |tit2|1 =2X = t cos a ,2. (2015 课标H, 23, 10分，中)在直角坐标系xOy中，曲线G：(ty = t sin a ,为参数，tW0),其中00 aV冗.在以O为极点，X轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线G: p =

11、 2sin 8 , G: p =2(3cos 0 .(1)求G与C3交点的直角坐标;(2)若C与G相交于点A, G与G相交于点B,求| AE|的最大值. 解：(1)曲线G的直角坐标方程为x2 + y2-2y = 0,曲线C3的直角坐标方程为x2 + y2 243x = 0.x2+y22y=0, 联乂 x2+y2 2«3x = 0,亚x = 0, 一 2 ' 解得 或y=03y=2.3所以G与G交点的直角坐标为(0 , 0)和 晋,(2)曲线G的极坐标方程为8 = a ( p C R, p W0),其中0& a 九.因此A的极坐标为(2sin a , a ) , B的极

12、坐标为(243cos a , a ).所以|AB=|2sina -23cos a |冗=4 sin a w35江八.1x= 3+ 2，,3y=T当口 =56-时，| AB取得最大值，最大值为4.3.(2015 -陕西，23,10分，易)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，O C的极坐标方程为 243sin 9 .(1)写出。C的直角坐标方程；(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标.解：(1)由 p =2q3sin 9 ,得P2 = 2yf3 p sin 0 ,从而有 x2+ y2 = 23y,所以 x2+

13、 (y 43)2 = 3.(2)设p 3+,，又 a0, V3),则 PC=y 3 + gt 2+ 坐t 4 2 = W+ 12,故当t=o时，| pc取得最小值，此时，P点的直角坐标为(3, 0).5. (2 014 课标II , 23, 10分，中)在直线坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴 . 冗正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标万程为p =2cos 9 , 8 C 0,万.(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l : y=J3x + 2垂直，根据(1)中你得到的 参数方程，确定D的坐标.解：(1) C 的普通方程为(x 1)2+ y2=1(0&y

14、&1).一Ix= 1 + cos t ,，.一可得C的参数万程为(t为参数，000冗).y=sin t(2)设口1 +cos t, sin t).由(1)知C是以G(1 , 0)为圆心，1为半径的上半圆.因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GDf l的斜率相同，tan t =也，t =5.冗 冗 3 73故D的直角坐标为1 + cos万，sin y , IP 2,.x = 2cos t .7他3 课标也23, 1。分，中)已知动点P, Q都在曲线C： y = 2sin t (t为参数)上，对应参数分别为t=a与t=2a(0< /<2兀)，M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的

15、参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为a的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.解：(1)依题意有 P(2cos a, 2sin a), Q2cos 2 a , 2sin 2 a),因此 M(cos a + cos 2a, sin a +sin 2a).M的轨迹的参数方程为X= cos a +cos 2 a , (a为参数，0<a <2兀).y= sin a +sin 2 a(2) M点到坐标原点的距离d = yjx2 + y2 = 2 + 2cos_oT(0< a <2 冗).x = 2 + t , y = 2 2t(t为参数).当a = Tt时，d=0,故M的轨

16、迹过坐标原点.22(2014 课标I, 23, 10分)已知曲线C： 2 + ( = 1.直线l： 4 9(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程;(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A,求|PA|的最大值 与最小值.【思路导引】(1)由基本关系式可消参求出普通方程；(2)把|PA用参数0来表示, 从而求其最值.一 一、x = 2cos 9 ,【解析】(1)曲线C的参数方程为(9为参数).y = 3sin 0直线l的普通方程为2x + y 6=0.(2)曲线C上任意一点P(2cos 9 , 3sin 8 )到l的距离为5则1PA =sd0- =2515si

17、n(d=W|4cos 0 +3sin 0 -6|.8 + a)-6|,其中a为锐角,且tan a =1.3当sin( 8 + a)=1时，| PA|取得最大值，最大值为当sin( 8 + a) =1时，| PA|取得最小值，最小值为 邛?5(2013 辽宁，23, 10分)在直角坐标系xOy中，以。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C,直线G的极坐标方程分别为p =4sin 0 , p cos 0 =2也.(1)求C与G交点的极坐标；(2)设P为G的圆心，Q为G与G交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为x=t3+ a,ybt3+ 1 (t e R为参数)，求a, b的值.【解析】(1)

18、圆G的直角坐标方程为x2+(y 2)2= 4,直线G的直角坐标方程为x + y 4 = 0. 22x+ (y2) =4,x1=0, x2 = 2,解得x + y 4 = 0y1二4, y2=2.所以G与G交点的极坐标为4, 2 , 2y2, 4 .注：极坐标系下点的表示不唯一.(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0 , 2) , (1 , 3).故直线PQ的直角坐 标方程为x y + 2 = 0.bb ab由参数万程可得 y=2(x a) + 1 = x 万+1,b一= 12，所以 ab , 一万+ 1 = 2,解得 a= 1, b=2.【点拨】解答本题的关键是明确转化思想的运用，

19、即把极坐标化为直角坐标，把参 数方程化为普通方程求解问题.2011 课标全国，23, 10分)在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为M是C上的动点,P点满足是20M P点的轨迹为曲线C2.X = 2cos a ,y = 2 + 2sin a（a 为参数）,求G的方程;. 九. (2)在以0为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线9 =区与0的异于极点3的交点为A,与G的异于极点的交点为B,求|AE|.解：(1)设 P(x, y),x y则由条件知乂2, 2 .x-2 = 2cos a , 由于M点在G上，所以y .2 = 2 + 2sin a ,x = 4cos a , y = 4 +

20、4sin a .x=4cos a ,从而G的参数方程为(a为参数).y=4+4sin a(2) G化为普通方程为x2+ (y2)2=4,故曲线0的极坐标方程为p =4sin 0 ,同理 可得曲线G的极坐标方程为p =8sin 9 .兀.射线0 =刀与0的父点A的极径为3P 1 = 4sin 专=25, 3兀.射线9 =7与0的父点B的极径为3P 2 = 8sin _3" = 4 J3.所以 | AB = | p 2 p1| = 2/3.5. (2014 辽宁锦州一模，23, 10分)已知圆的极坐标方程为 P 2 4或p cos( 0 5) + 6 = 0.(1)将极坐标方程化为普通方程；(2)若点P(x, y)在该圆上，求x + y的最大值和最小值.解：