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1、.复变函数与积分变换辅导资料五主 题：第二章 解析函数第一节 解析函数的概念学习时间：2012年10月29日11月4日内 容：解析函数是本课程的核心，是复变函数研究的主要对象，它是一类具有某种特性的可微函数。本周首先引入复变函数导数的概念、可导的判定方法，然后介绍解析函数的概念，其学习要求及需要掌握的重点内容如下：1、深刻理解复变函数的导数及复变函数解析的概念2、非常熟练地掌握复变函数求导的方法基本概念：解析函数知识点：复变函数求导第一节、解析函数的概念（要求达到“领会”层次）一、复变函数的导数与微分:定义：设G是复平面上的开集，=f(z)在G内有定义，如果极限存在，则称函数f(z)在处可导(

2、可微)，称该极限值为f(z)在处的导数(微商)，记作。典型例题：例、利用导数定义求的导数解：二、解析函数的概念定义：若函数在点的邻域内处处可导，则称函数在点处解析；若函数在区域D内处处可导，则称函数在区域D内解析，或称是区域D内的解析函数。若在点不解析，则称点为的奇点。可导法则：1、四则运算法则设与在区域D内可导，则有：（1）（2）（3）2、复合求导法则，其中3、反函数的求导法则，其中与是两个互为反函数的单值函数，且。举例：1、如果（复常数），那么2、3、z的任何多项式在整个复平面解析，并且有4、在复平面上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解析的，它的导数的求法与z是实变量时相同。典型例题

3、：例1、指出函数的解析区域，并求出其导数。分析：利用可导与解析的判别方法找出解析区域，然后用求导公式或求出其导数。解：函数的分子与分母均为解析函数，所以在除去分母为零的点外是解析的。又分子在处不为零，故的解析区域为复平面除去两点，而且。例2、讨论函数的解析性解：因为在复平面内除点z=0外处处可导，且，所以在除点z=0外的复平面内，函数处处解析，而点z=0是它的奇点。根据复变函数的求导法则，易得到下面有关解析函数运算性质定理。定理：1、在区域D内解析的两个函数与的和、差、积、商（除去分母为零的点）在D内解析；2、设函数在z平面上区域D内解析，函数在h平面上的区域G内解析。如果对D内的每一点z，函数的对应值h都属于G，那么复合函数在D内解析。从上述定理可以推知，所有多项式在复平面上是解析函数

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