6-2 一阶微分方程ppt课件

1、16.2 一阶微分方程一阶微分方程一、可分离变量的微分方程。一、可分离变量的微分方程。二、一阶线性微分方程。二、一阶线性微分方程。一般形式F(x, y, y)=02一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程则称此方程为可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程。2.可分离变量的微分方程求解步骤：可分离变量的微分方程求解步骤：(3)求通解 G(y) = F(x) + C(1)分离变量dxxfygdy)()(2)两边积分dxxfygdy)()(1.定义定义),()(ygxfdxdy如一阶微分方程可写成3例1 求微分方程 xdx + ydy = 0的通解。 解：分离变量得 ydy = - xdx

2、两边积分 dxxydy)(求通解 2211122yxC 故所求通解为221(2)xyC CC即2212xyC4.2dd的通解求微分方程xyxy，两端同时积分xxyyd2d ，即，得2112eee| |ln 12xCCxyCxy，或记作21ee xCy.e ,e21xCCyC则有若记例2，原方程分离变量得xxyyd2d 解5 例例3 求方程求方程 满足初始条件满足初始条件 的特解的特解 yxy1001xy解解 原方程可改写为 分离变量，得 两边积分，得 化简，得 令 于是 这就是所求的微分方程的通解。 把初始条件 代入上式，求得C=11，于是所求微分方程的特解为 。yxdxdy1010dxdyx

3、y1010dxdyxy1010cxy10ln11010ln11010ln10101cyx10ln1cccyx101001xy111010yx6 6-2 微分方程应用（1）增长与衰减增长与衰减用分离变量法解实际中经常出现的方程分离变量，得 两边积分，得 即 其中，于是系数A为正值，所以 所以，微分方程 总是联系于指数增长 或指数衰减 。kydxdykdxydykdxydyckxylnkxckxckxAeeeeykxkxBeAeykydxdy)0(k)0( k7 6-2 微分方程应用（1）例例6 当一次谋杀发生后，尸体温度从原来的370C，按照牛顿冷却定律（一块热的物体其温度下降的速度是与其自身温

4、度同外界温度的差值成正比的关系），开始变凉，假设两小时后尸体温度变为350C，并且假定周围空气的温度保持200C不变（1）求出自打谋杀发生后尸体温度是如何作为时间的函数而变化的；（2）画出温度时间曲线；（3）最终尸体的温度将如何？用图像和代数两种方式表示出最终结果；（4）如果尸体被发现时的温度为300C ，时间为下午4点整，那么谋杀时何时发生的？8解解 （1）按冷却定律建立方程 温度变化率=a温度差=a(H-20), 其中a为比例常数，H 为尸体温度 于是 考虑a的正负号，如果温度差是正的（即H20）、则是H下降的，所以温度的变化率就应是负的，因此a 应为负的，于是 分离变量求解，得代入初始值（t=0时，H=37）求B，于是 为了求K的值，我们根据两小时后尸体温度为350C这一事实，有化简，取对数得 ， 于是温度函数为)20(HkdtdH)20(HadtdH0kktBeH 20BBek0*2037kteH1720ke2172035)ln(1715ln2ke063. 0kteH063. 017209 （2）作草图如下：（3）“最终趋势”指 ,取极限（4）求多长时间尸体温度达到300C，即 令H=30，代入得 ， 两边取自然对数得 即t8.4 （小时） 于是，谋杀一定发生在下午4点这一尸体被发现时的前8.4小时（即8小