矩阵-第十章行列式

1、.高等数学精品课程线性代数部分电子教案第十一章 矩 阵【授课对象】理工类专业学生【授课时数】18学时【授课方法】课堂讲授与提问相结合【基本要求】1、理解矩阵的定义及熟练掌握其运算；2、理解逆矩阵的定义，熟练应用求逆矩阵的公式；3、掌握克莱姆法则，并熟练应用；4、理解矩阵的初等变换，初等矩阵的定义，并能熟练应用；5、理解矩阵的秩的定义及其内涵，掌握秩的求法。【本章重点】理解概率的定义、性质；掌握概率的计算及事件的独立性【本章难点】判别事件概率的类型；注意有放回抽样与无放回抽样的区别；条件概率、全概率公式及贝叶斯公式的应用【授课内容及学时分配】矩阵是一个重要的数学工具，它在科学、工程技术等生产实际

2、中有广泛的应用。本章习矩阵的定义、运算及性质和一些特殊的矩阵。§1 矩阵的定义及运算 一、矩阵的定义 在生产实际或生活实际中，经常会碰到用一个数表来表达一些量及其关系的问题，如企业中的拖如与产生、运算方案等。又如线性方程组 （11.1）在讨论其解及求解的过程中，往往可以省略未知数记号与运算记号，仅以下面的数表 （11.2）并引入有关的运算规则，就可以进行了。同时，若要在计算机上求该方程组时，也可按该数表告诉（输入）计算机。为此，我们引入下面的定义。 定义1 由个数排成的m行n列且以中括弧（或圆括弧）括之的数表 （11.3）称为阶行列式，称为矩阵第 i行第j列的元素。 当m=n时，矩阵

3、称为n阶矩阵（或n阶方阵）； 当m=1时，矩阵即为，称为行矩阵。 当 n=1时，矩阵即为称为列矩阵。今后，通常用大写字母A、B、C、.表示一个矩阵。如矩阵（11.3）也可记作二、矩阵的运算及其性质 1矩阵相等定义2 设矩阵A和B的行数和列数相同，且对应元素都相等，就称矩阵A与矩阵B相等。记作A=B， 例4 已知A=B，且那么，2. 矩阵就加法定义3 设矩阵A=为矩阵A与B之和。即 C=A+B。例2 设矩阵A=求A+B。解 A+B= 矩阵加法具有以下性质 其中A，B，C均mn阶矩阵。 所有元素全为零的矩阵称为零矩阵。记为0。显然，对于任意矩阵A，均有：0+A=A+0=A。 对于任意矩阵A=是矩阵

4、A的负矩阵。显然亦有A+（-A）=0。 对于矩阵记为 3。 矩阵与数的乘法 定义4 设矩阵A=为任意实数，矩阵的乘积。例3 设求5A。解 5A 矩阵与数的乘法运算具有以下性质 其中A，B均为阶矩阵，为任意实数。4。矩阵的乘法定义5 设矩阵称矩阵 为A与B的乘积。记为：C=AB 在定义5中有以下三点值得注意 矩阵A的列数与B的行数相等； 矩阵C中的元素等于A的第行与第列对应元素乘积之和； 矩阵C的行数与列数分别是A的行数与B的列数。例4 已知错误！不能通过编辑域代码创建对象。求AB。解 矩阵的乘法既有以下性质 (结合律) （数乘结合律） 。（分配律）。以上性质均可根据定义进行验证，作为举例下面证

5、。证 设因为，k(AB)的第i行第j列元素（kA）B的第i行第j列元素=的第i行第j列元素所以 主对角线上的元素全为1，其余元素全为零的矩阵，称为单位矩阵，记为I。即（有时亦可注明其阶数，如表示一个n阶的单位阵）显然，对于任意矩阵A，亦有, lA=A或AI=A.另外，矩阵的乘法有以下几点读者需引起注意。 交换律不成立。即 AB与BA不一定相等。例1 设则 而BA无意义。因此 例2 设 AB与BA 阶数不同。因此 例3 设A=， ，虽然AB与BA阶数相同但ABBA。 例4 设 则这里AB=BA。通过以上4例，显然可看出矩阵乘法的交换律不成立，以后当AB=BA时，我们称A与B可交；当ABAB时，称

6、A与B不可交。 若AB=0，则未必有A=0或B=0。例5 设 消去律不成立，即 若AB=AC，且A0时，未必有B=C。例6 设 有 AB=AC= 设A是一个n阶方阵，则对任意的正整数m.(一般情况下)。（k,l均为正数）。 主对角线上的元素是同一个数，其余元素全是零的矩阵称为数量矩阵。即 （11.4）显然有 命题11.1 n阶数量矩阵与任意一个n阶方阵可交。即 .证 由矩阵乘法性质有 命题11.1的逆命题也成立。即与任意一个n阶方阵可交的矩阵一定是一个数量矩阵。三、矩阵的转置和对称矩阵定义6 把一个阶矩阵的行与列互换得到一个阶矩阵，称为A的转置矩阵。记为即 （11.5）矩阵的转置满足以下算律

7、证 。设由转置矩阵的定义有 。由乘法定义，AB为阶矩阵，阶矩阵；而阶矩阵，所以的阶数相同。再比较对应的元素；位于第i行第j列的元素为位于第i行第j列的元素为所以它们对应元素相等。故 （，由读者自证。）例7 设解 因为 所以 定义7 设矩阵满足条件，即满足称A为对称矩阵。例如即为3阶对称矩阵。例8 设A为任意一个阶矩阵，证明为对称矩阵。证 因为所以是一对称矩阵。 四、n阶方阵的行列式定义8 设n阶方阵A=称其对应的行列式 （11.6）为方阵A的行列式。记为或。例9 设。解 命题11.2 方阵乘积的行列式等于行列式的乘积。即 （11.7）（下面仅就的情形证之）*证先作如下辅助行列式一方面利用行列式

8、定义计算D，则= （11.8）另一方面利用行列式性质计算D，则按第一列展开 （11.9）比较（11.8）式和（11.9）式可得 例10 设计算。解 = 由此列可知，一般。§2 逆矩阵 在§1中，我们给出了矩阵的定义及其有关运算法则，为此，线性方组 （11.10）可表为 （11.11）进而又可表为 AX=B （11.12）这里 A称为方程组（11.10）的系数矩阵；X称为（11.10）的未知矩阵；B称为（11.10）的常数矩阵，（11.10）式是线性方程组的线性表达式；（11.11）式是线性方程组的矩阵表达式，（11.2）式是线性方程组的矩阵缩写表达形。像（11.12）式这样

9、由矩阵形成的方程称为矩阵方程。在初等数学中，代数方程ax=b,在时，其解法为 由此，对于矩阵方程AX=B，在时，是否其解法可如下进行呢？即呢？那么又是等于什么呢？为此，我们引入逆矩阵的概念。 1。逆矩阵的定义 定义1 设A为n阶方阵，若存在n 阶方阵B，满足AB=BA=I （11.13）就称矩阵A可逆，且称B为A的逆矩阵。 A的逆矩阵是唯一的。因为，若都是A的逆矩阵，则有。为此A的逆矩阵可记为，即为。例1 经验算可知 ，所以。 例2 因为II=I，所以I可逆，且。 例3 因为对任意方阵B，均有 ，所以零矩阵不可逆。 可逆矩阵具有下列性质 若A可逆，则亦可逆；且。（因为，） 若方阵A与B都可逆；

10、且（因为同理 性质可作如下推广，即若都可逆，则亦可逆；且若A可逆，则亦可逆；且。（因为= 若A可逆，则。（因为 。 2 。方阵A可逆的充分与必要条件及矩阵的公式求法 我们知道，并不是任意方阵A都是可逆的，那么方阵A应满足什么条件才可逆呢？或者说可逆矩阵需满足什么条件呢？下面先给出方阵A可逆的必要条件的命题。 命题11。3 方阵A可逆的必要条件是。（今后我们或把满足的方阵A称为非奇异的。） 证 设方阵A可逆，即存在。故 例4 判别方阵是否可逆？解 因为方阵A的第一行与第三行对应元素成比例。故可知 所以A不可逆。 下面再给出方阵A可逆的充分条件的命题。命题11.4 若方阵A是非奇异的（即），则A可

11、逆，且 （11.4）（这里是一个方阵）为了证明命题11.4，先给吃的定义。 定义2 设方阵 称n阶方阵 是方阵A是伴随矩阵。其中是行列式中元素的代数余子式。例5 设。解 因为 所以 注：是作为的第i列元素排列的。 下面证明命题11.4。 证 因为 所以有意义。 现设 则由乘法定义有这里因为是行列式中元素的代数余子式，所以由 n 阶行列式性质和性质知为此 同理 所以A可逆，且 由命题11.3和命题11.4可综合为 命题11.5 方阵A可逆的充分必要条件是。 例6 设 为对角阵，试判别A是否可逆？若A可逆，则求出？解 因为 ，显然，只有当a,b,c,d,全不为零时，A才可逆，否则A不可逆。所以 当

12、时，有则 例7 设。解 因为所以A可逆。又如即 即 在例7中，我们发现有，满足条件的方阵A称为正交矩阵。（正交矩阵还有其它一些重要性质，在此省略）。§3 克莱姆法则由§2我们知道，含有n个未知数 n个方程组的线性方程组 （11.10）的矩阵缩写表达式为 AX=B这里A是一个方阵，若存在，且故由AX=B可得因为是唯一的，所以上式的解应是唯一的，故 （11.15）（11.15）式实际上告诉了方程组（11.10）的一种解法。）比较（11.15）式两端，则 （11.16）若设 。为此可得 上述分析与讨论的结果，即证明了如下命题命题11.6 （克莱姆法则）含n个未知数n个方程的线性方

13、程组（，若它的系数行列式，则有唯一解，且 （11.17）例1 解线性方程组 解 方法一（矩阵解法），将方程组写成矩阵形式，即 因为，其系数行列式 所以，其系数矩阵A是非奇异的。故原方程组有唯一解，即有 又 则 即 方法二（克莱姆法则），因为系数行列式 所以方程组有唯一解。又因为所以 以上两种解法都是常见的重要的解法。由以上讨论可知，用克莱姆法则解线性方程时，有以下两个前提条件 未知数个数与方程个数相等； 方程组的系数行列式不等于零。其解完全由方程组的系数和常数项所确定，并当系数行列式不等于零时，其解由（11.17）式唯一给出。 *§4 分块矩阵在实施矩阵的运算时，对于一些行数和列数较

14、高或具有特殊形式的矩阵，会采用分块法，使高阶矩阵的运算转化成低阶矩阵的运算。例如将矩阵 分块，可记为 就称为一个分块矩阵。其中， 称为分块矩阵A 的子块。分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似，分别介绍如下（1）分块矩阵的加法设分块矩阵 具有相同的分块法，且行数、列数均相同，则（2）分块矩阵的乘法设A为矩阵，B为矩阵，分块成其中的列数分别等于的行数，则 AB=C=-其中 例1 设求AB。解 把A、B分块，则 （3）分块矩阵的转置设 则 （4）分块对角阵设 A，其中 都是方阵，称A为分块对角阵。且有如下性质 若，即有例2 设 解 将A分块成其中因为所以即A可逆。又因为所以 §5

15、矩阵的初等变换与初等矩阵一矩阵的初等行变换我们在利用加减消元法求解线形方程组时，经常要进行以下三种变换1 交换两个方程的位置;2 用一个非零常数k遍称以某一个方程；3 把一个方程的k倍加到另一个方程上。这三种变换称为方程组的初等变换。它们在初等数学中称之为同解变形，而与矩阵相对应则有如下定义。定义1 矩阵的初等行变换是指如下三种变换1 交换矩阵某两行的位置；记为（）;2 用一个非零常数k遍称以某一行；记为（k），k0；3 把某一行的k倍加到另一行上；记为（），例如 矩阵的初等行变换具有许多性质，如下述命题。命题11.7 矩阵的初等行变换不改变矩阵的奇异性。若则由行列式性质2有 23 ，例1 设

16、试利用矩阵的初等行变换判别A 的奇异性？解 因为而所以B是非奇异的，即A是非奇异的。 另外在上例中，还可继续利用初等变换把B化为单位矩阵。即因为以上过程具有一般性，为此可得命题11.7的推论。 推论 任意一个非奇异矩阵都可以经过一系列初等变换为单位矩阵。二初等矩阵初等变换即在矩阵理论中具有十分重要的作用，同时它又是一种有效的数学方法，为了充分发挥其在矩阵运算中的作用，需把矩阵的初等行变换转化为矩阵的称法运算。为此，我们引人初等矩阵的概念。 定义 2 由单位矩阵I经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。对应于三种初等行变换有如下三中类型的初等矩阵1 初等对换矩阵。记为。它是由单位矩阵I的第 i

17、,j 行对换而得到。例如 2 初等倍乘矩阵。 Pi（k），它是有单位矩阵I的第i行乘以k而得到。例如3初等倍加矩阵。记为（k）。它是由单位矩阵I的第i行乘以数k加到第j行上而得到。 例如由命题11.7知初等矩阵都是可逆的，且易证初等矩阵的逆矩阵仍是初等矩阵。有了初等句正，对矩阵A进行初等行变换就相当于A左乘一个初等矩阵。即A的第i行与第j行交换相当于A的第i行乘以数k相当于A的第i行乘以数k加到第j行相当于例如相当于 三，利用初等行变换求逆矩阵初等行变换是处理矩阵问题常用的一种基本方法，由命题11.7知初等行变换不改变矩阵的奇异性；且当一个矩阵A可逆时，也一定可经过一系列的初等行变换，把该矩阵

18、化为一个单位矩阵I。即：相当于存在一系列的初等矩阵s使 （11.18） 亦有 （11.19）比较（11.18），（11.19）两式可知，对A进行t次初等行变换就化成了单位矩阵I，而I也进行完全相同的t次初等行变换就化成了A-1。为此，可设计如下的利用初等变换求逆矩阵的方法 ， （11.20）例2 利用初等变换求矩阵 的逆矩阵 解 因为 所以 用初等行变换求逆矩阵，较之用公式计算逆矩更为简便，且这种方法常用于计算机上计算一些高介方阵的你矩阵。另外，在对矩阵进行初等行变换以后，A的奇异性或的结果同时出现。 §6 矩阵的秩在本章的§2第二节我们知道，一个线性方程组具有矩阵表达形式

19、AX=B,而一个线行方程组是否有解？解的情况如何？显然是有矩阵A和矩阵B的特征决定的。为此，我们引入矩阵的秩这一重要概念，为了建立矩阵的秩的概念，我们先给出矩阵子式的概念。定义1 在矩阵A中任意选定和K 列，位于某交点出的K2个元素，按次原序所组成的一个K阶行列式，就称为A的一个K阶子式。若一个子式的值不为零，就称其为非灵子式。例如选定第2，4行和第1，3列，其个元素组成的行列式称为A的一个二阶子式。定义2 矩阵A中非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩。记为r（A）或秩A。零矩阵的秩为零。例1 已知，求秩A解 因A中的所有三阶子式都等于零，既而至少存在一个二阶子式不为零，例如，所以，秩A=2。 显

20、然，对于任一矩阵A来说，其秩是唯一确定的。命题11.8 方阵A是非奇异矩阵的充要条件是r(A)=n。证 “必要性” 因A是非奇异矩阵，则。 “充要性” 因r(A)=n，则由定义必有以后我们把r(A)n的n 阶方阵称为满秩矩阵。命题.矩阵的秩等于的充要条件是至少一个非零阶子式，而其余阶子式（若存在）全为零。证“必要性”显然“充分性”因中至少有一个非零阶子式，而其余阶，阶，的子式（若存在）全为零；现从中任取一个阶子式由行列式定义因展开式中的每个行列式都是A的k+1阶零子式，故 ;因此，A中所有k+2阶子式均为零；同理所有高于k+2阶的子式均为零。即A中所有高于k阶的子式皆为零。由定义，所以秩A=K

21、。 有矩阵的秩的定义来计算矩阵的秩，因要计算许多行列式，比较麻烦，但我们注意到“秩”只要子式是否为零而并不要子式的确定值，又注意到初等行变换不会改变行列式是否为零的特性，因此可以设想通过初等行变换来求矩阵的秩，为此，先给出以下重要命题。 命题11.10 矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩。 证 设 阶矩阵A。 （i）设 ，由行列式性质2知，A与B的相对应子式只改变符号，而不改变其是否为零； （ii）设 ，有行列式性质6知，A与B的相对应子式只相差一个k的倍数，而不改变其是否为零； （iii）设 ，有行列式性质8知，A与B的相应子式相等。由以上可知，初等行变换不改变矩阵的秩。 例2 求矩阵A=的秩。

22、解在B中存在不为零的最高阶数的三阶子式 而B中的第四行全为0，故所有四阶子式全为0，所以秩B=3。即秩A=3. 由上面的例子可归纳出一般规律。即对于任意一个矩阵A，通过初等行变换（且适当调换列的位置）总可以把A化为如下的阶梯形矩阵其中符号*表示非零元素，符号×表示零或非零元素。因为在阶梯形矩阵中，把有符号*的列提出来，若符号*有k个，就一定存在一个k阶的非零子式，而在阶梯形矩阵中其余高于k阶的子式至少有一行的元素全为零，即所有高于k阶的子式全为零。所以该阶梯形矩阵的秩就是k，为此，下面的命题成立。命题11.11 矩阵A的秩等于k的充要条件是通过初等行变换可以把A化为有k个非零行的阶梯形矩阵。例如在上面的例2中，A化成阶梯形矩阵以后，有3行元素非零，所以秩A=3 。下面在举一例。例3 设，求秩A解 因为所以 秩A=3 另外 ，关于矩阵的秩还有如下命题 命题11.12 设A为矩阵，则 秩A=秩A（有矩阵秩的定义证明命题成立。）命题11.13 设A为m×n，阶阵B为m阶满秩方阵，C为n阶方阵