中考数学圆的综合综合题汇编附答案

1、一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1.如图，点P在。0的直径AB的延长线上，PC为00的切线，点C为切点，连接AC, 过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交00于点E.（1）如图 1,求证:Z DAC=Z PAC：（2）如图2,点F （与点C位于直径AB两侧）在上，BF = FA，连接EF,过点F作AD 的平行线交PC于点G,求证：FG=DE+DG：2（3）在的条件下,如图3,若AE=-DG, P0=5,求EF的长.3【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=3a【解析】【分析】（1）连接0C,求出0CIIAD,求出0C_LPC,根据切线的判定推出即可：（2）连接BE

2、交GF于H,连接0H,求出四边形HGDE是矩形，求出DE=HG, FH=EH,即 可得出答案：（3）设0C交HE于M,连接0E、0F,求出N FHO=N EHO=45。，根据矩形的性质得出12EHII DG,求出 0M二一 AE,设 0M=a,则 HM=a, AE=2a, AE=-DG, DG=3a,23求出 ME=CD=2a» BM=2a» 解百角三角形得出 tanZ MB0=, tanP=- = ,i5BM 2 PO 2OC=k,则PC=2k,根据0P=Jk=5求出k=5根据勾股定理求出a,即可求出答案.【详解】（1）证明：连接0C,PC为。的切线,OCX PC,r A

3、DJ_PC, OCII AD,J Z OCA=Z DAC,丁 OC=OA,Z PAC=Z OCA, Z DAC=Z PAC；（2）证明：连接BE交GF于H,连接OH,V FGII AD, Z FGD+Z D=180; Z D=90%/. Z FGD=90°, AB为。O的直径, Z BEA=90",/. Z BED=90°, Z D=Z HGD=Z BED=90°, 四边形HGDE是矩形，/. DE=GH, DG=HE, Z GHE=90%BF = AF，：.Z HEF=Z FEA=-Z BEA=，X 90" =45°, 22/. Z

4、 HFE=900 - Z HEF=45°, Z HEF=Z HFE, FH=EH, FG=FH+GH=DE+DG；（3）解：设OC交HE于M.连接OE、OF,丁 EH二HF, OE=OF, HO=HO, FHO EHO,/. Z FHO=Z EHO=45°,V四边形GHED是矩形，, EH II DG,/. Z OMH=Z OCP=90",/. Z HOM=900 - Z OHM=90° - 45°=45°,/. Z HOM=Z OHM, HM=MO,OM±BE,/. BM=ME,1OM- AE,22设 OM=a,则 HM=

5、a, AE=2a, AE= - DG, DG=3a,3: Z HGC=Z GCM=Z GHE=90四边形GHMC是矩形，GC=HM=a, DC=DG - GC=2a,DG=HE, GC=HM,/. ME=CD=2a, BM=2a,.MO a 1在 RtA BOM 中，tanZ MBO=,BM 2a 2,/ EH II DP,. Z P=Z MBO,CO 1tanP=,PO 2设 OC=k,则 PC=2k,在 R3POC 中，OP=J5k=5,解得：k=小,OE=OC=4，在 R3OME 中，OM2+ME2=OE2, 5a2=5,a=l, HE=3a=3,在 RSHFE 中,Z HEF=45%

6、EF=&HE=3"【点睛】考查了切线的性质，矩形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理等知识点，能综合运用 性质进行推理是解此题的关键.2.如图，在锐角 ABC中，AC是最短边.以AC为直径的00,交BC于D,过0作OEII BC.交 0D 于 E,连接 AD、AE、CE.(1)求证：Z ACE=Z DCE；(2)若N B=45°, Z BAE=15°,求N EAO 的度数：S 2(3)若 AC=4, 7="=三，求 CF 的长.【答案】（1）证明见解析，（2） 60。；【解析】【分析】(1)易证/ OEC=N OCE, Z OEC=N ECD,从

7、而可知N OC£=Z ECD,即N ACE=N DCE；(2)延长4E交8c于点G,易证N4GC=N8+N 84G=60°,由于OEII 8C,所以Z AEON AGC=60 所以N EAO= AEO=60q i q ， q i(3)易证产=不，由于萨匕=；,所以产 = 1,由圆周角定理可知 32G1£，、&COEJ3Z AEC=Z FDC=90°,从而可证明 CDF- CE4利用三角形相似的性质即可求出答案.【详解】(1) / OC=OE, ：. Z OEC=Z OCE.Of II 8C, Z OEC=N ECD, ：. Z OCE=Z ECD

8、,即N ACE=A DCE；(2)延长作交8c于点G.Z AGC 是a ABG 的外角，/. Z 4GC=N 8+N BAG=60°.OEW 8C, /. Z AEON AGC=60°.OA=OE, ：. Z EAO=A AEO=60Q.q i(3)o是AC中点，萨里=5 SaCdf _ 2Scdf 1S koe 3S&se 3: AC 是直径，, Z 4EC=N FDC=90°., 4ACE=N FCD, ； CDF CEA, ：. = 2/Z,. CF二正. CA 333【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形中线的

9、性 质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识.3.如图，48为。0的直径，点。为A8下方。0上一点，点C为弧48。的中点，连接CD, CA.（1）求证：Z ABD=2A BDC；（2）过点C作CHJLA8于”，交A。于E,求证：EA二EC；（3）在（2）的条件下，若Og AD=249求线段0E的长度.9【答案】（1）证明见解析：（2）见解析：（3） DE = -.2【解析】【分析】（1）连接4D,如图1,设N80C=a, N 4DC印，根据圆周角定理得到N C48=N 8DC=a,由A8为。0直径，得到NAD8=90。，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据已知条

10、件得到NACE=NADC,等量代换得到N 4CE=N CA&于是得到结论：（3）如图2,连接0C,根据圆周角定理得到NCO8=2NC48,等量代换得到/C08NABD,根据相似三角形的性质得到0"=5,根据勾股定理得到AB=y/AD2+BD2 =26,由相似三角形的性质即可得到结论【详解】（1）连接力。.如图1，设N8DC=a, N4DC呻，则N CAB=Z BDC=a9二点 C 为弧 48。中点，/. AC = CDN4DC=N。4c邛， N D48二。-a, :48为00直径，/4。8=90°,a+B=90°,阳90°-a, .NA8D=90

11、°-N 048=90°-(p - a) , /. Z ABD=2a, ：. Z ABD=2Z BDC；(2) / CH±AB. ：. Z ACE-A CAB=A ADC+A BDC=90°,Z CAB=Z CD8, ：. Z 4CE=N ADC.Z CAE=A ADC. ：. Z ACE=N CAE. ：. AE;CE；(3)如图 2,连接 OC, Z COB=2Z CAB,Z ABD=2A 8DC, Z 8DC=N CAB, ：. Z COB=Z ABD,。OH OC 1Z OHC=Z ADB=90 ：. OCH- ABD,：. =-BD AB 2OH

12、=5, ：. BD=109 O AB=ad2 + BD? =26,二 40=13, /. AH=18.AH _AE 7F" ABun 18 AE即一=24 26399AE= , DE:一22【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出 辅助线是解题的关键.4.如图.在 A8c 中，Z C=90% AC=BC. AB=30cm9 点 P 在 48 上，AP=10cm,点 E 从点 P 出发沿线段PA以2cm/s的速度向点A运动，同时点F从点P出发沿线段PB以lcm/s的速 度向点8运动，点E到达点八后立刻以原速度沿线段48向点8运动，在点

13、63;、F运动过程 中，以评为边作正方形EFGH,使它与ABC在线段A8的同侧，设点E、F运动的时间为t (s) (0<t<20).(1)当点片落在4c边上时，求t的值；(2)设正方形EFGH与ABC重叠部分的面积为S.试求S关于t的函数表达式：以点C为圆心，!亡为半径作OC,当0C与GH所在的直线相切时，求此时S的值.29/？(0<r<2)7、【答案】(1)t=2s或10s： (2)S=<-/2+50/-50(2</<10)；lOOcm?.2产-407+ 400? (10</<20)【解析】试题分析:(1)如图1中，当0仁5时，由题意AE

14、=EH=EF,即10 - 2t=3t, t=2；如图2 中，当 5Vt<20 时，AE=HE, 2t - 10=10 - (2f - 10) +t, f=10：(2)分四种切线讨论a、如图3中，当0</2时，重叠部分是正方形EFGM S= (3t) 2=9已b、如图4中，当2仁5时，重叠部分是五边形EFGMN. c、如图5中，当5<t( 10时，重登部分是五边形讦GMN. d、如图6中，当10V1V20时，重叠部分是正方形 EFGH.分别计算即可;分两种情形分别列出方程即可解决问题.试题解析:解：(1)如图1中,当0V区5时,由题意得:AE=EH=EF,即102t=3t, t

15、=2Bl如图 2 中，当 5<tV20 时，AE=HE, 2t - 10=10 - (2t- 10) +t, t=10.综上所述：仁2s或10s时，点H落在4C边上.9产c图3如图4中，当2区5时，重登部分是五边形EFGMN, 5= (3t) 2- - (5t- 10) 2=-产+501-50. 2图4如图5中，当5VtV10时，重叠部分是五边形EFGMN, S= (20-t) 2 - - (30-3t)7 2一产+50L 50.2图5如图6中，当10<tV20时，重登部分是正方形EFGH, S= (20-t) 2=t2 - 40t+400.9r2?(0<r<2)7 ,

16、 综上所述：s=-r+50r-50(2</<10).2/2-401 + 400?(io</<2O)130如图7中，当0把5时，-t+3t=15,解得：仁一，此时S=100cm2,当5VtV20时,27-t+20- t=15» 解得：t=10,此时 S=100.2综上所述：当OC与GH所在的直线相切时，求此时S的值为lOOcm?点睛：本题考查了圆综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、切线的性质等知 识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意不 能漏解，属于中考压轴题.5.已知00中，弦AB=AC,点P是NBAC所对弧上一动

17、点，连接PA, PB.（1）如图，把 ABP绕点A逆时针旋转到 ACQ,连接PC,求证：Z ACP+Z ACQ=180°：（2）如图，若NBAC=60°,试探究PA、PB、PC之间的关系.（3）若NBAC=120。时，（2）中的结论是否成立？若是，请证明；若不是，请直接写出它 们之间的数量关系，不需证明.【答案】（1）证明见解析；（2） PA=PB+PC.理由见解析：（3）若N BAC=120°时，（2）中的结论不成立，PA=PB+PC.【解析】试题分析：（1）如图，连接PC.根据“内接四边形的对角互补的性质''即可证得结论； （2）如图，通过作辅

18、助线BC、PE、CE （连接BC,延长BP至E,使PE=PC,连接CE）构建等边 PCE和全等三角形 BEC" APC；然后利用全等三角形的对应边相等和线段间 的和差关系可以求得PA=PB+PC；（3）如图，在线段PC上截取PQ,使PQ=PB,过点A作AGJ_PC于点G.利用全等三 角形4AB能 AQP （SAS）的对应边相等推知AB=AQ, PB=PG,将PA、PB、PC的数量关系 转化到 APC中来求即可.试题解析：（1）如图，连接PC.A ACQ是由 ABP绕点A逆时针旋转得到的， /. Z ABP=Z ACQ.由图知，点A、B、P、C四点共圆，/. Z ACP+Z ABP=1

19、80° （圆内接四边形的对角互补），/. Z ACP+Z ACQ=180° （等量代换）：（2） PA=PB+PC.理由如下：如图，连接BC,延长BP至E,使PE=PC,连接CE.弦 AB二弦 AC, Z BAC=60%ABC是等边三角形（有一内角为60。的等腰三角形是等边三角形）.A、B、P、C四点共圆，.NBAC+NBPC=180。（圆内接四边形的对角互补）， Z BPC+Z EPC=180°, /. Z BAC=Z CPE=600,PE=PC, a PCE 是等边三角形， CE=PC, Z E=Z ECP=Z EPC=60°又 Z BCE=60&#

20、176;+Z BCP, Z ACP=60°+Z BCP, /. Z BCE:N ACP （等量代换），CE = PC在a BEC 和必 APC 中， /BCE = NA CP , /. BEC2 APC （SAS），.二 BE=PA,AC = BC：.PA=BE=PB+PC：（3）若NBAC=120。时，（2）中的结论不成立，PA=PB+PC.理由如下: 如图，在线段PC上截取PQ,使PQ=PB.过点A作AGJ_PC于点G.Z BAC=120% Z BAC+Z BPC=180% /. Z BPC=60°.弦 AB二弦 AC,Z APB=Z APQ=30°.PB =

21、 PQ在仆 ABP 和a AQP 中，ZAPB = ZAPQ，,二 A ABP2 AQP （SAS）, AP = AP，AB二AQ, PB=PQ （全等三角形的对应边相等），.AQ=AC （等量代换）.在等腰aAQC中，QG=CG.在 R3APG 中，NAPG=30°,则 AP=2AG, PG二6 AG,/. PB+PC=PG - QG+PG+CG=PG - QG+PG+QG=2PG=2 6 AG,，JJpa=2JJag，即 JJpa=pb+pc.【点睛】本题考查了圆的综合题，解题的关键要能掌握和灵活运用圆心角、弧、弦间的关 系，全等三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质等.6.已知

22、：如图，AB是。的直径，PB切。0于点B, PA交。于点C, N APB是平分线 分别交BC, AB于点D、E,交。0于点F, Z A=60°,并且线段AE、BD的长是一元二次方 程xz-kx+2j? =0的两根（k为常数）.（1）求证：PABD二PBAE；（2）求证：。的直径长为常数k：（3）求 tanN FPA 的值.【答案】见解析：（2）见解析：（3） tanN FPA=2 -耳.【解析】试题分析：（1）由PB切。O于点B,根据弦切角定理，可得NPBD=NA,又由PF平分N APB,可证 得APEDsAPAE,然后由相似三角形的对应边成比例，证得PABD=PBAE；（2）易证得

23、BE=BD,又由线段AE、BD的长是一元二次方程x? - kx+2后0的两根（k为常 数），即可得AE+BD=k.维而求得AB二k,即：。的直径长为常数k：（3）由NA=60。，并且线段AE、BC的长是一元二次方程x2-kx+2j5=0的两根（k为常 数），可求得AE与BD的长，继而求得tanZ FPB的值，则可得tanZ FPA的值. 试题解析：（1）证明：如图，,PB切00于点B,Z PBD=Z A,PF 平分 N APB, Z APE=Z BPD,，A PBDA PAE,/. PB： PA=BD： AE,/. PABD=PBAE；（2）证明:如图，Z BED=Z A+Z EPA, Z B

24、DE=Z PBD+Z BPD.又 Z PBD=Z A, Z EPA=Z BPD,/. Z BED=Z BDE., BE=BD.线段AE、BD的长是一元二次方程x2-kx+2j&=0的两根（k为常数），/. AE+BD=k,/. AE+BD=AE+BE=AB=k,即。0直径为常数k.（3） PB切。0于B点，AB为直径., Z PBA=90°. Z A二 60°.炳：.PB=PA>sin60o=-iA,2又 PABD=PBAE,炳：.BD=-AE,2.线段AE、BD的长是一元二次方程x2-kx+2j3=O的两根（k为常数）. AEBD=2，5，即字AE?=2仃解

25、得：AE=2, BDf/5，AB=k=AE+BD=2-n/3> BE=BD=V5，在 R3 PBA 中，PB=AB*tan600= （2+日）x3=3+2/3.在 RtA PBE 中，tanZ BPF=|=_=2 - Z FPA=Z BPF,tanZ FPA=2 - /3-【点睛】此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系等知识.此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.7.如图I,等边 A8c的边长为3,分别以顶点8、八、C为圆心，84长为半径作AC、C8、84,我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对 称

26、图形，设点/为对称轴的交点.(1)如图2,将这个图形的顶点4与线段MN作无滑动的滚动，当它滚动一周后点4与端 点N重合，则线段的长为_:(2)如图3,将这个图形的顶点A与等边£>£下的顶点。重合，且A8J_DE, DE=2n,将它 沿等边 OEF的边作无滑动的滚动当它第一次回到起始位置时，求这个图形在运动过程中 所扫过的区域的面积：(3)如图4,将这个图形的顶点8与。0的圆心0重合，。的半径为3,将它沿。的 圆周作无滑动的滚动，当它第次回到起始位置时，点/所经过的路径长为 (请用含 的式子表示)【答案】(1) 3n； (2) 27n： (3) 273 nn.【解析】试

27、题分析：(1)先求出AC的弧长，继而得出莱洛三角形的周长为3n，即可得出结论；(2)先判断出莱洛三角形等边aDEF绕一周扫过的面积如图所示，利用矩形的而积和扇形 的面积之和即可；(3)先判断出莱洛三角形的一个顶点和0重合旋转一周点/的路径，再用圆的周长公式即 可得出.试题解析：解：(1) ,等边8c 的边长为 3,NA8c=NACB=N8AC=60。，AC = BC = AB 公线段 M/V 的长为1 oUlAC+lBC+lAB= 故答案为 为；(2)如图1. V等边 DEF的边长为2n,等边 ABC的边长为3,，S .影人明产2"3=6二,由题意知，AB±DE, AG&#

28、177;AF. ：. A BAG=120 .二S酎形%g=3,图形在运动过360程中所扫过的区域的面积为3 (S M.fjxGHf+S Habas') =3 (6n+3n) =27n；(3)如图2,连接8/并延长交AC于。/是48C的重心也是内心.N 04=30。,13AD=-AC=-9 ：. OI=AI=22AD3_2当它第1次回到起始位置时，点/cosN DAI cos300所经过的路径是以o为圆心，0/为半径的圆周，当它第次回到起始位置时，点/所经 过的路径长为”22小=2小rm.故答案为2出m.图2点睛：本题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，莱洛三角形的周长，矩形，扇形而积公

29、式，解（1）的关键是求出4。的弧长，解（2）的关键是判断出莱洛三角形绕等边 DEF 扫过的图形，解（3）的关键是得出点/第一次回到起点时，/的路径，是一道中等难度的 题目.8.如图，A3是。的直径，弦CDLAB于点E，过点。的切线交A8的延长线于点（2）连接5C,若ZBCF = 30。, BF = 2,求CO的长.【答案】（1）见解析：（2） 2>/3Z CDF=Z DCF,由 结论成立.得N COB=60% 可【解析】【分析】连接0D,由垂径定理证OF为CD的垂直平分线，得CF=DF, Z CDO=Z OCD,再证N CDO +Z CDB=Z OCD+Z DCF=90% 可得 OD&#

30、177;DF, （2）由N OCF=90°, Z BCF=3O% 得N OCB=60°,再证 AOCB 为等边三角形, 得NCFO=30。，所以FO=2OC=2OB, FB=OB= 0C =2»在直角三角形OCE中，解直角三角形可 得CE,再推出CD=2CE.【详解】（1）证明：连接0D.CF是。0的切线 Z OCF=90°/. Z OCD+Z DCF=90° /直径AB_L弦CD/. CE=ED,即OF为CD的垂直平分线J CF=DF Z CDF=Z DCF / OC=OD,/. Z CDO=Z OCD/. Z CDO +N CDB=Z OC

31、D+Z DCF=90°OD±DFDF是。O的切线(2)解：连接ODZ OCF=90。, Z BCF=3O°/. Z OCB=60°OC=OBAOCB为等边三角形，/. Z COB=60°Z CFO=30°/. FO=2OC=2OB. FB=OB= OC =2在直角三角形OCE中,Z CEO=90°Z COE=60°,cf=6：.CD=2 CF=25/3【点睛】本题考核知识点：垂径定理，切线，解直角三角形.解题关键点：熟记切线的判定 定理，灵活运用含有30。角的直角三角形性质，巧解直角三角形.9.如图，已知aABC内

32、接于。0, BC交直径AD于点E,过点C作AD的垂线交AB的延长 线于点G,垂足为F.连接OC.(1)若NG=48。，求NACB的度数：(2)若 AB二AE,求证：NBADNCOF；(3)在(2)的条件下，连接OB,设AAOB的而积为%, 4ACF的面积为Sz.若1 StanZ CAF=,求:"的值.D3【答案】（1） 48。（2）证明见解析（3）-4【解析】【分析】（1）连接CD,根据圆周角定理和垂直的定义可得结论：（2）先根据等腰三角形的性质得：Z ABE=Z AEB,再证明N BCG=N DAC,可得CD = PB = PD，则所对的圆周角相等，根据同弧所对的圆周角和圆心角的关

33、系可得结 论：（3）过 0 作 OG_LAB 于 G,证明 COF合 & OAG,则 OG=CF=x, AG=OF,设 OF=a,贝lj30A=0C=2x-a,根据勾股定理列方程得：（2x-a） 2=x2+a2,则"二x,代入面积公式可得结4论.【详解】（1）连接CD,AD是OO的直径， . Z ACD=90°, Z ACB+Z BCD=90 / AD±CG,/. Z AFG=Z G+Z BAD=90%丁 Z BAD=Z BCD, Z ACB=Z G=48°；（2） ; AB=AE,/. Z ABE=Z AEB,Z ABC=Z G+Z BCG,

34、Z AEB=Z ACB+Z DAC,由（1）得：Z G=Z ACB,Z BCG=Z DAC,CD = PB，TAD是OO的直径，AD±PC, CD = PD，CD = PB = PD，Z. Z BAD=2Z DAC,Z C0F=2Z DAC, , Z BAD=Z COF；CF(3)过 O 作 OG_LAB 于 G,设 CF=x,1tanZ CAF=2AF=2x,OC=OA,由(2)得：Z COF=Z OAG,Z OFC=Z AGO=90°, . A COF合 A OAG,/. OG=CF=Xt AG=OF,设 OF=a,贝lj OA=OC=2x - a,RS COF 中，C

35、O2=CF2+OF2,(2x - a) 2=x2+a3a= Xt43OF=AG= x>4OA=OB, OG±AB>3.AB=2AG= x,213c -ABOG xx 2J £l = 2= 2=2S】-CFAF x2x 42【点暗】圆的综合题，考查了三角形的而积、垂径定理、角平分线的性质、三角形全等的性质和判 定以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据圆周角定理找出NACB+/BCD=90。：（2）根据外角的性质和圆的性质得：CD = PB = PD； <3）利用三角函数设未知数，根 据勾股定理列方程解决问题.10.己知AB, CD都是。的直径，连接DB,

36、过点C的切线交DB的延长线于点E.(1)如图 1,求证：/AOD + 2/E = 180、;（2）如图2,过点A作AFI.EC交EC的延长线于点F,过点D作DGLAB,垂足为点G,求证：DG=CF： （3）如图3,在（2）的条件下，当叫=3时，在OO外取一点H,连接CH、DH分别交4OO于点M、N,且/HDE = /HCE,点p在HD的延长线上，连接PO并延长交CM于【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3） 873 + 7【解析】【分析】（1）由ND+NE=90°,可得 2ND+2NE=180°,只要证明N AOD=2N D 即可:（2）如图2中，作0RJL4F于R,只要证明 40R合 OOG即可：（3）如图3中，连接8C、O