中考数学二次函数综合题附答案解析

1、一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1.如图，已知抛物线y=ax?+bx+c的图像经过点A （0, 3）、B （1, 0）,其对称轴为直线 I： x=2,过点A作AC II x轴交抛物线于点C, NAOB的平分线交线段AC于点E,点P是抛 物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式：（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO,当m为何值时，四边形AOPE 而积最大，并求出其最大值：（3）如图，F是抛物线的对称轴I上的一点，在抛物线上是否存在点P使 POF成为以 点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标：若不 存在，请说明理由.

2、575【答案】（1） y=x2-4x+3.（2）当时，四边形AOPE面积最大，最大值为二.（3） P28点的坐标为：匕（土叵，匕在），P2 （3-,5, 二），P3 （咨，三）， 222222P4 （5 6, 122）. 22【解析】分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；（2）设P （m, m2-4m+3）,根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据而积 和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值：（3）存在四种情况：如图3,作辅助线，构建全等三角形，证明 OMPW PNF,根据OM=PN列方程可得点P 的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标.详解：

3、（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D,图1由对称性得：D (3, 0),设抛物线的解析式为:y=a (x-1) (x-3), 把A (0, 3)代入得：3=3a,a=l»抛物线的解析式；y=x2-4x+3；< 2)如图 2,设 P (m< m2-4m+3),图2OE 平分NAOB, Z AOB=90°,. Z AOE=45% AOE是等腰直角三角形，, AE=OA=3, E (3, 3),易得0E的解析式为:y=x,过P作PGII y轴，交OE于点G, G (m, m),/. PG=m- (m2-4m+3) =-m2+5m-31S 闪边传 aope=Sa

4、 aoe+Sa poe*11二x3x3+ PGAE, 229 I ,=+ x3x (-m2+5m-3),2 2 VO,，当m=2时，S有最大值是二； 28（3）如图3,过P作MNl.y轴，交y轴于M,交I于N,V a OPF是等腰直角三角形，且OP二PF, 易得 OMP合 PNF,OM=PN,P (m, m2-4m+3),则-m2+4m-3=2-m,解得：或三5, 22.P的坐标为（空，正）或（三0,匕正）； 2222如图4,过P作MNJLx轴于N,过F作FMJLMN于M,同理得 ONP合4 PMF,/. PN=FM,则-m2+4m-3=m-2,解得：X=N或上正： 22P的坐标为（上匕无）或

5、（三叵，及）：2222综上所述，点P的坐标是：（土5, !±5）或（三匕虫.）或（兰式，22222匕逆）或-有,地）.222点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与 性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运 用分类讨论思想和方程的思想解决问题.2.已知，抛物线y=ax2+ax+b （a*0）与直线y=2x+m有一个公共点M （1, 0）,且aV（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）：（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N,求 DMN的面枳与a的关系式：（3）a=-l时，直线y=-2x

6、与抛物线在第二象限交于点G,点G、H关于原点对称，现 将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t>0）,若线段GH与抛物线有两个不同的公共点， 试求t的取值范围.19【答案】（1）b=-2a,顶点D的坐标为（-7，-；）； （2） 2492<t< -.4【解析】【分析】（1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式， 化为顶点式可求得其顶点D的坐标：（2）把点M （1, 0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于X的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据aVb,判断a<0,确 定D、M、N的位置，画图1,根据

7、而积和可得ADMN的而积即可；（3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2,先联立方程组可求得当GH与抛物线 只有一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段 GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围.【详解】解：（1） ;抛物线丫=3乂2+赤+13有一个公共点M （1, 0）,a+a+b=0,即 b=-2a,/. y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a(X+-)29aT抛物线顶点D的坐标为9a-y):丁 aVb,即 a<-2a,a<0,如图1,设抛物线对称轴交直线于点E,(2) ;直线 y=2x+m 经过点 M (1, 0),/. 0=2

8、xl+m,解得 m=-2,y=2x-2,y=2x-2y=ux4.N点坐标为(-2, -6), aa +ax-2a 得 ax2+ (a-2) x-2a+2=0,(x-1) (ax+2a-2) =0,2 解得x=l或x= -2,24: M (1, 0) , N (2, -6), aa设 DMN的面积为S,1 29a27327/. S=Sa den+Sa dem=| 1 -2 ) -11 # |- (-3 ) | =a,2 44448(3)当 a=-l 时，19抛物线的解析式为:y=-x2-x+2=- (x+- ) 2+-, 24y = -x2-x + 2由 ，l>, = -2x-x2-x+2

9、=-2xt解得：Xl=2, X2=-l,AG (-1, 2),点G、H关于原点对称， H (1, -2),设直线GH平移后的解析式为：y=-2x+t,-x2-x+2=-2x+t,x2-x-2+t=0. =1-4 (t-2) =0,9t=一,4当点H平移后落在抛物线上时，坐标为(1, 0),把(1, 0)代入 y=-2x+t,t=2,9，当线段GH与抛物线有两个不同的公共点，t的取值范围是2£V.【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角 形的面积等知识.在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立 两函数解析式，得到关于

10、x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得GH与抛物线一 个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较 大.3.如图，抛物线y=aK + bx （a*0）过A （4, 0） , B （1, 3）两点，点C、8关于抛物线 的对称轴对称，过点8作直线8HJ_x轴，交x轴于点H.（1）求抛物线的表达式：（2）直接写出点C的坐标，并求出ABC的面积：（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，是否存在这样的点P,使得48P的面积 为AABC面积的2倍？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由：（4）若点M在直线8H上运动，点N在x轴正半轴上运动，当以点C, M,

11、A/为顶点的三 角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时的面积.（3）P的坐标为（5, -5）：5(4) 一或 5.2【解析】试题分析：（1）利用待定系数法进行求解即可：（2）先求出抛物线的对称轴，利用对称性即可写出点C的坐标，利用三角形而积公式即可 求面积： （3）利用三角形的而积以及点P所处象限的特点即可求：（4）分情况进行讨论，确定点M、N,然后三角形的面枳公式即可求.试题解析：（1）将A （4, 0） , B （1, 3）代入到y=ax? + bx中，得a =-1 =4抛物线的表达式为y= -x24-4x.(2),抛物线的表达式为y=-x?+4x,.抛物线的对称轴为直线x=2.又 C,

12、B 关于对称轴对称，C (3, 3) . BC=2tSaabc=-x2x3 = 3.2(3)存在点P.作PQLBH于点Q,设P (m, -m2+4m). S“ abp = 2Sa abc，S« abc = 3, S“ abp = 6Sa abp 4-Sa bpq=Sa abh + S 格形 ahqp6+ x (m 1) x (3 + m24m) = x3x3+ x (3 + m 1) (m2 4m)222整理得m2 - 5m=0,解得mi=O (舍)，mz=5, .,.点P的坐标为(5, -5).5(4) 一或 5.25提示：当以M为直角顶点，则CMN=3；当以N为直角顶点,Sacm

13、n=5;当以C为直角顶点时，此种情况不存在.【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查待定系数法求解析式，三角形而积、直角三 角形的判定等，能正确地根据题意确定图形，分情况进行讨论是解题的关键.4.如图甲，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,经过B、C两点的抛物线 y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A,顶点为P.（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使以C, P, M为顶点的三角形为等腰三角 形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标：若不存在，请说明理由：（3）当0<x<3时，在抛物线上求一点E,使4CBE的而积有最大值（图乙、丙供画图

14、探Vy3【答案】（1） y=x2-4x+3； （2） （2, ）或（2, 7）或（2, - 1+2表）或（2, -1- 22店）：（3） E点坐标为（一，一）时，4CBE的面积最大.“2 4【解析】试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式：（2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC 的长，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得 M点的坐标：（3）过E作EF_Lx轴，交直线BC于点F,交x轴于点D,可设出E点坐标，表示出F点的 坐标，表示出EF的长，进一步可表示出 CBE的面

15、积，利用二次函数的性质可求得其取得 最大值时E点的坐标.试题解析：（1） 直线y= - x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C, B （3, 0） , C （0, 3）,9+3b + c = 0 b = 4把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得 ，c = 3c = 3抛物线解析式为y=x2 - 4x+3；(2) / y=x2 - 4x+3= (x- 2) 2- 1, 抛物线对称轴为x=2, P (2, -1),设 M (2, t),且 C (0, 3), . MC=/斗(f _ 3>=而-6f + 13，MP=|t+i|, pc3+ (-1-3)2二2底 cpm为等腰三角形，/.有 MC=

16、MP、MC=PC 和 MP=PC 三种情况， 33当 MC=MP 时，则有 J_ 6f + 13=|t+l|,解得 t= 一，此时 M （2,-）：当MC=PC时，则有广官於26，解得t=-l （与P点重合，舍去）或t=7,此时M （2,7）:当MP=PC时，则有|t+l|=2表，解得t=-l+2表或t=-l-2表，此时M（2,- 1+2强）或（2，-1-2表）：综上可知存在满足条件的点M,其坐标为（2, 2）或（2, 7>或（2, -1+26）或2（2，-1-2 内：（3）如图，过E作EFJ_x轴，交BC于点F,交x轴于点D, y小设 E (x, x2 - 4x+3),则 F (x,

17、-x+3),< 0<x<3t, EF= - x+3 - (x2 - 4x+3) = - x2+3x»Sa cbe=Sa efc+Sa efb=EFODhEF,BD二一EF,OB=x3 （ - x2+3x） - （x - -） 2H,2222228.当乂=一时，2CBE的面积最大，此时E点坐标为（一，一），22 433即当E点坐标为（，）时， CBE的面积最大.2 4考点：二次函数综合题.5.当今，越来越多的青少年在观看影片流浪地球后，更加喜欢同名科幻小说，该小说 销量也急剧上升.书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20 元.根据以往经验：当销售单

18、价是25元时，每天的销售量是250本：销售单价每上涨1 元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元.（1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量）'（本）与销售单价X（元）之间的函 数关系式及自变量的取值范围.（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠。（0<"«6）元给困难职工，每天扣除捐赠 后可获得最大利润为I960元，求。的值.【答案】（1） y =-10X+500（3038）； （2）a = 2.【解析】【分析】（1）根据题意列函数关系式即可：（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w元.根据题意得到0= （x-20-a）

19、 （-10X+500）=-10x2+ （10a+700） x-500a-10000 （30<x<38）求得对称轴为 x=35+1。，且 0V/6,则 30< 235+1/38.则当X = 35 + 1时，卬取得最大值，解方程得到a1=2, az=58,于是得到22a=2.【详解】 解：（1）根据题意得，y = 250-10（x-25） = -10x+500（30¥38）：（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为印元.卬=（x-20-.）（-10x+500） = -10f+（10+700）x-500-10000（30«8）对称轴为 x=35+Lq,且 0VqW6,

20、则 30V35+,。438,22则当x = 35 + !时，卬取得最大值， 235 + L/-20-r/-10x 35 + 卜 +500 =1960q =2, % =58 （不合题意舍去），。=2 .【点睛】本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解 答，正确的理解题意，确定变量，建立函数模型.6.如图，对称轴为直线x=l的抛物线丫 =M？+6* + （:,工。）与*轴相交于人、B两 点，其中A点的坐标为（-3, 0）.（1）求点B的坐标；（2）已知a = 1，C为抛物线与y轴的交点.若点P在抛物线上，且求点P的坐标：设点Q是线段AC上的动点，作QD_Lx轴交

21、抛物线于点D,求线段QD长度的最大值.【答案】（1）点B的坐标为（，0）.（2）点P的坐标为（4, 21）或（-4, 5）.O线段QD长度的最大值为7.4【解析】【分析】（1）由抛物线的对称性直接得点B的坐标.（2）用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C的坐标，得到S.oc，设出点P 的坐标，根据Sy. = 45皿*列式求解即可求得点P的坐标.用待定系数法求出直线AC的解析式，由点Q在线段AC上，可设点Q的坐标为（q,-q-3）,从而由QDJ_x轴交抛物线于点D,得点D的坐标为（q,q2+2q-3）,从而线段QD等于两点 纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解.【详解】解：（

22、1） A、B两点关于对称轴x=1对称，且A点的坐标为（- 3, 0）, 点B的坐标为（1, 0）.（2）,抛物线a = 1，对称轴为x=l,经过点A （3, 0）,a = 1a = 1b，-=-1 ，解得b = 2 .2a9a2-3b + c = 0« = _3 /.抛物线的解析式为y = x2+2x-3.13.B 点的坐标为（0, -3） .A OB=1, OC=3. SAB<K. = - x 1 x 3 =-.22i3设点 P 的坐标为（p,p，2p-3）,则S1Poe = x3x|p| = -|p|.223Sjj10c = 48AB0c31Pl = 6,解得 p = &#

23、177;4.当p = 4时p?+2p-3 = 21：当p = T时，p2 + 2p-3 = 5, .,.点P的坐标为（% 21）或（-4, 5）.设直线AC的解析式为y = kx + b,将点a, C的坐标代入，得: .-3k + b = 0b = -3'解得:k=-lb = -3,w.1直线ac的解析式为y=-x-3.点Q在线段AC上，J.设点Q的坐标为（q,-q-3）.又QDJ_x轴交抛物线于点D, A点D的坐标为（q,q2+2q-3）.3 Y 9*. QD = -q 3 （q2+2q 3）= q 3q = - q + + 2） 4< a = -l<0, -3<-

24、<029 /.线段QD长度的最大值为三.47.某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y （件）与销售单(1)根据图象直接写出y与x之间的函数关系式.(2)设这种商品月利润为W (元)，求W与x之间的函数关系式.(3)这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？【答案】(1) y=<-x + 180(40<x<60)-3x + 3OO(6O <x<90)(2) W=(3)这种商品的销售单价定为65元时，月利润最-x2 + 21 Ox - 5400(40 <x<60)-3x2 + 390x- 9000(60 &

25、lt;x<90) 大,最大月利润是3675.【解析】【分析】(1)当404x460时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,当60VXW90时，设y与x之 间的函数关系式为y=mx+n,解方程组即可得到结论：(2)当404x460时，当60VXW90时，根据题意即可得到函数解析式;(3)当 404x460 时,W=-x2+210x-5400,得到当 x=60 时,W 4火=-6()2+210x605400=3600, 当 60<x490 时，W=-3x2+390x-9000,得到当 x=65 时，W WA=-3x652+390x65-9000=3675,于 是得到结论.【详解】解

26、：(1)当40次460时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,Non 40将(40, 140) , (60, 120)代入得, 60攵+ = 120k =解得：E80， y与x之间的函数关系式为y= -X+180：当60<x<90时，设y与x之间的函数关系式为y=mx+r),90m + n = 30将(90, 30) , (60, 120)代入得，60m + = 120解得:m = -3 =300y= - 3x+300；综上所述，v=<-x + 180(40<x<60)-3x + 300(60<x<90) (2)当 404x460 时，W= (x-

27、 30) y= (x- 30) ( -x+180) = - x2+210x - 5400, 当 60<x<90 时，W= (x- 30) (- 3x+300) = - 3x2+390x - 9000,综上所述，w=<-x2+210x-5400(40 <x<60)-3x2 + 390x - 9000(60 <x< 90) (3)当 404x460 时，W=-X+210x- 5400,工210: -l<0,对称轴 X=-=105,-2 当40女460时,W随x的增大而增大，/.当 x=60 时，W 最大=-602+210x60 - 5400=3600

28、, 当 60<x<90 时，W= - 3x2+390x - 9000,390=65, / -3V0,对称轴X=6 / 60<x<90,/.当 x=65 时，- 3x652+390x65 - 9000 = 3675,丁 3675>3600, 当x=65时,W球大=3675,答：这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675.【点睛】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用.根据题意 分情况建立二次函数的模型是解题的关键.8.如图，若b是正数，直线/：片b与y轴交于点4直线片x-b与y轴交于点8；抛(1)若48=8,求b的

29、值，并求此时L的对称轴与。的交点坐标：(2)当点C在/下方时，求点C与/距离的最大值；(3)设 xo。，点(xo，yi) , (xo，yz) , (xo，y3)分别在/,。和 L 上，且 形 是 y” yi 的平均数，求点(xo, 0)与点。间的距离；(4)在L和。所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别 直接写出6=2019和6=2019.5时“美点的个数.【答案】(1)6=4, (2, -2) ： (2) 1； (3) -： (4)当b=2019时美点”的个数为 24040个，6=2019.5时“美点"的个数为1010个.【解析】【分析】(1)求出4

30、8的坐标，由八8=8,可求出b的值.从而得到的解析式，找出L的对称轴 与Q的交点即可；(2)通过配方，求出L的顶点坐标，由于点C在/下方，则C与/的距离匕-生，配方即4可得出结论：(3)由题意得yi+y2=2y3，进而有b+xo - b=2 ( - x02+bx0)解得xo的值，求出/与x轴右交 点为。的坐标，即可得出结论：(4)当b=2019时，抛物线解析式L: y=-*+2019x直线解析式a： y=x- 2019,美点“ 总计4040个点，当6=2019.5时，抛物线解析式L：尸-W+2019.5x,直线解析式a：片x -2019.5,“美点”共有1010个.【详解】< 1)当 x

31、=0 时，y=x - b= -：. B (0, - b).:48=8,而八(0, b) , ：.b- ( - b) =8, /. b=4, /. Lt y= - x?+4x,. Z.的对称轴 x=2,当 x=2时，y=x - 4= - 2,/. L的对称轴与a的交点为(2, - 2 )；(2) y=- (x ? +生的顶点0 (2,生).2424,2丁点C在/下方，.C与/的距离b L = L(b-2) 2+ki,点C与/距离的最大值为 441;(3) .，3 是 小 力的平均数，二%+及=2均，/. b+Xo - b=2 ( - x02+bx0),解得：x0=0 或1xo=b-2xoOf /

32、. xo=b ,对 F L,当 y=0 时，0=-x'bx,即 0= - x (x - b),解得：xi=0, 2x2=b.,.”>0, .右交点 D (b, 0) , .,.点(xo, 0)与点 D 间的距离 b- (b-)=1.22(4)当b=2019时，抛物线解析式L： y= - x2+2019x,直线解析式a：片x-2019.联立上述两个解析式可得：x1=-l, X2=2019, .可知每一个整数x的值都对应的一个整数V值，且-1和2019之间(包括-1和-2019)共有2021个整数；.另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，线段和抛物线上各有 2021个

33、整数点，.总计4042个点.,这两段图象交点有2个点重复，.美点”的个数：4042 - 2=4040 (个)：当b=2019.5时，抛物线解析式L： y= - x2+2019.5x,直线解析式a： y=x - 2019.5,联立上述两个解析式可得：x，=-l，X2=2019.5, .当x取整数时，在一次函数片x-2019.5上， y取不到整数值，因此在该图象上"美点”为0,在二次函数y=x2+2019.5x图象上，当x为偶 数时，函数值y可取整数，可知-1到2019.5之间有1010个偶数，因此“美点”共有1010 个.故6=2019时“美点"的个数为4040个，6=201

34、9.5时“美点"的个数为1010个.【点睛】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式是解题的关 键.9.如图，直线y=-x+4与x轴交于点8,与y轴交于点C,抛物线y= - W+bx+c经过8, C两点，与x轴另一交点为4点P以每秒个单位长度的速度在线段8c上由点8向点 C运动（点P不与点8和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点（2）如图，过点P作V轴垂线交V轴于点N,连接MA/交8c于点Q,当誓=；时， 求t的值：（3）如图，连接AM交8c于点。，当aPOM是等腰三角形时，直接写出t的值.【答案】（1） y=-W+3x+4： （2）t

35、的值为L： （3）当 PDM是等腰三角形时，t=l或2t=应-1.【解析】【分析】（1）求直线y=-x+4与X轴交点B,与y轴交点C,用待定系数法即求得抛物线解析式.（2）根据点B、C坐标求得NOBC=45。，又PEJ_x轴于点E,得到 PEB是等腰直角三角 形，由P8 =求得BE=PE=t,即可用t表示各线段，得到点M的横坐标，进而用m表示点M纵坐标，求得MP的长.根据MPII CN可证MPQsaNCQ,故有 MP MQ 1- = -7 = -,把用t表示的MP、NC代入即得到关于t的方程，求解即得到t的值.（3）因为不确定等腰 PDM的底和腰，故需分3种情况讨论：若MD=MP,则Z MDP

36、=Z MPD=45% 故有N DMP=900,不合题意：若 DM=DP,则N DMP=Z MPD=45 进而得AE=ME,把含t的式子代入并解方程即可：若MP二DP,则NPMDNPDM,由对顶角相等和两直线平行内错角相等可得/ CFD=Z PMD=Z PDM=Z CDF进而得CF=CD.用t 表示M的坐标，求直线AM解析式，求得AM与y轴交点F的坐标，即能用t表示CF的 长.把直线AM与直线BC解析式联立方程组，解得x的值即为点D横坐标.过D作y轴 垂线段DG,得等腰直角ACDG,用DG即点D横坐标，进而可用t表示CD的长.把含t的 式子代入CF=CD,解方程即得到t的值.【详解】 (1)直线

37、 y=-x+4 中，当 x=0 时，y=4 C (0, 4) 当 y=-x+4=0 时，解得：x=4 .B (4, 0)抛物线y=-x?+bx+c经过& C两点-16 + 4 + c = 0解得：0+0+c=4 .抛物线解析式为y= - x?+3x+4(2) / B (4, 0) ， C (0, 4) , N 80c=90° .OB = OC.Z OBC=Z OCB=45°,MEJLx 轴于点 E, PB=0t Z BEP=90Q.RS BEP 中,sinZPBE= = PB 2. BE=PE=PB=t，2 xm=xp=OE=OB- BE=4- h yp=PE=t

38、点M在抛物线上,yM= - (4- r)2 +3(4-力+ 4= - r +5t t.MP=yM- yP= - r+4r ,PNJLy轴于点N.Z P/VO=Z NOE=N PEO=90°.四边形ONPE是矩形.ON=PE=t. NC=OC ON=4 t,MP II CN, MPQs NCQMP _MQ _'NCNQ2一一+4/ _ 1 4-r -2解得：t=-9 t.=4 (点P不与点C重合，故舍去) 2-/. t的值为L2(3) / Z PEB=90°, BE=PE：.Z 8PE=N P8E=45°/. Z MPD=A 8PE=45°若 MD

39、=MP,则N MDP=A MPD=45°/. Z DMP=90。，即DMW x釉，与题意矛盾若 DM=DP,则N DMP=Z MPD=45"N AEM=90°：.AE=ME: y= - x2+3x+4=0 时，解得：x1=-1, x2=4.A ( - 1, 0).由(2)得，xm=4-K ME=yM= - St4E=4 - t- ( - 1) =5 - t/. 5 - t=-解得：h=l，±2=5 (0<t<4,舍去)若 MP=DP,则N PMD=N PDM如图，记AM与y轴交点为F,过点D作DGJ_y轴于点G/. Z CFD=N PMD=N

40、 PDM=N CDF：.CF=CD,/4 ( - 1, 0) , M (4 - 3 - F+5t),设直线 4M 解析式为y=ax+m-a + m = 0(a = tA 八 J j解得：，a(4 f) + "? = i +5/m = t直线 AM： y=tx + t：.F (0, t), CF=OC OF=4- ttx+t= - x+4,解得:4 一1x =r + 1DG=xd=Z CGD=90% Z DCG=45° CD=eDG=©' ）-，r + 1.4-）t + 解得：t=0-l综上所述，当仆PDM是等腰三角形时，t=l或/=万1 .【点睛】本题考查

41、了二次函数的图象与性质，解二元一次方程组和一元二次方程，等腰直角三角形 的性质，相似三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的分类讨论，要充分利用等腰的性质 作为列方程的依据.10.如图1,已知抛物线y=-x?+bx+c与x轴交于A （ - 1, 0） , B （3, 0）两点，与y轴 交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t.（1）求抛物线的表达式：（2）设抛物线的对称轴为I, I与x轴的交点为D.在直线I上是否存在点M,使得四边形 CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图2,连接BC, PB, PC,设 PBC的面积为S.求S关于t的函数表达式：求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标.【答案】（1） y=-x?+2x+3.（2）当t=2时，点M的坐标为（1, 6）:当52时，不存在，理由见解析；（3）y=-x+3：