中考数学与二次函数有关的压轴题含详细答案

1、中考数学与二次函数有关的压轴题含详细答案一、二次函数1.如图1,抛物线Cl： y=ax2-2ax+c (a<0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.已 知点A的坐标为(-1, 0),点O为坐标原点，OC=3OA,抛物线G的顶点为G.GGG(1)求出抛物线 Ci的解析式，并写出点 G的坐标；(2)如图2,将抛物线C1向下平移k (k>0)个单位，得到抛物线 Q,设Q与x轴的交 点为A'、B',顶点为G',当B'蜃等边三角形时，求 k的值：(3)在(2)的条件下，如图 3,设点M为x轴正半轴上一动点，过点 M作x轴的垂线分 别交抛物线。、C2于P、Q两

2、点，试探究在直线 y=-1上是否存在点 N,使得以P、Q、N 为顶点的三角形与 4AOQ全等，若存在，直接写出点M, N的坐标：若不存在，请说明理由.【答案】(1)抛物线C1的解析式为y=-x2+2x+3,点G的坐标为(1,4); ( 2) k=1;(3) M1 (1 尸,0)、N1(如，1)； M2 ( 1, 0)、N2 (1, 1) ； M3(4, 0)、N3 (10, - 1) ； M4 (4, 0)、N4 (- 2, T).【解析】【分析】(1)由点A的坐标及OC=3OA得点C坐标，将A、C坐标代入解析式求解可得；(2)设抛物线 C2的解析式为y= - x2+2x+3- k,即y= -

3、 (x- 1) 2+4- k,作G' DLx轴于点 D,设BD' =m由等边三角形性质知点 B的坐标为(m+1, 0),点G'的坐标为(1, J3m),代入所设解析式求解可得；(3)设 M (x, 0),贝U P (x, x2+2x+3)、Q (x, x2+2x+2),根据 PQ=OA=1 且 /AOQ、/PQN均为钝角知 AAOQAPQN,延长PQ交直线y=-1于点H,证 OQMAQNH,根据对应边相等建立关于x的方程，解之求得 x的值从而进一步求解即可.【详解】(1)二点A的坐标为(-1,0),.OA=1,.OC=3OA,a 2a c 0c 3点C的坐标为（0, 3

4、）,将A、C坐标代入y=ax2 - 2ax+c,得:解得: ，抛物线Ci的解析式为y=-x2+2x+3=- (x-1) 2+4,所以点G的坐标为(1, 4)；k,(2)设抛物线 C2的解析式为y= - x2+2x+3 k,即y= (x- 1) 2+4 过点G作G'吐x轴于点D,设BD =m.A' B为举边三角形,G'则点B'的坐标为(m+1将点B'、G'的坐标代入，0),点G'的坐标为(1, 73m), y= - ( x - 1) 2+4 - k,得：4 k3m解得:(舍)m2k21. k=1 ；(3)设(x,P (x,x2+2x+3)、

5、Q (x, x2+2x+2), .PQ=OA=1,/AOQ、 /PQN 均为钝角,.AOQAPQN,如图2,延长PQ交直线y=- 1于点H,贝忆 QHN=Z OMQ=g0 ,又 AAOQAPQN, .OQ=QN, ZAOQ=Z PQN,/ MOQ=Z HQN,.OQMAQNH （AAS）, .OM=QH,即 x= -x2+2x+2+1,解得：x=1而（负值舍去），当 x=1_13 时，HN=QM=-x2+2x+2= A 1 ,点 M （ 1,。）,222点 n 坐标为（1 屈 + 屈 1 , 1）,即（J13 , 1）；22-/ 1 .1313 1或（-,1）,即（1, 1）;22如图3,同理

6、可得 OQMPNH,.OM=PH,即 x=- ( x 一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均为5m.(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图所示)，其表达式是y ax2 c的形式.请根据所给的数据求出a, c的值.+2x+2) 1,解得：x=- 1 (舍)或x=4,当 x=4 时，点 M 的坐标为(4, 0) , HN=QM= - (- x2+2x+2) =6,'1点 N 的坐标为(4+6, 1)即(10, 1),或(46, 1)即(-2, 1);综上点 M1 ( 1 晒,0)、N1 (713, 1) ； M2 ( 1 眄,0)、N2 (1,

7、 1) ； M3 22(4, 0)、N3 (10, 1) ； M4 (4, 0)、N4 ( 2, 1).【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及到的知识有待定系数法、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、运用分类讨论思想是解题的关键(2)求支柱MN的长度.(3)拱桥下地平面是双向行车道 (正中间是一条宽2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排 行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)?请说说你的理由.5.5米；(3) 一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.【解析】试题分析：(1)根据题目可知 A. B,

8、 C的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解.(2)设N点的坐标为(5, yN)可求出支柱 MN的长度.(3)设DN是隔离带的宽，解.试题解析：(1)根据题目条件,NG是三辆车的宽度和.做A、 B、C的坐标分别是GH垂直AB交抛物线于 H则可求(-10,0)、(0,6)、(10,0).将B、C的坐标代入y ax26 c, c0 100a c.图2-3斛得a一,c 6 .50，抛物线的表达式是-x2 6.50(2)可设 N(5, Yn),4.5.十日3 Y十无Yn55010-4.5=5.5 米.从而支柱MN的长度是设DE是隔离带的宽,则G点坐标是(7,0)(7=2EG是三辆车的宽度和, R 2X3)

9、.133 .503过G点作GH垂直AB交抛物线于H,则yH 750根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车3.如图所示，已知平面直角坐标系xOy,抛物线过点A(4,0)、B(1,3)(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；(2)记该抛物线的对称轴为直线1,设抛物线上的点 P(m,n)在第四象限，点 P关于直线l的对称点为E,点E关于y轴的对称点为 F,若四边形 OAPF的面积为20,求m、n的值.【答案】(1)y=-y x2 4x (x 2)2 4,对称轴为：x=2,顶点坐标为：(2, 4)(2)m、n的值分别为5,-5【解析】(1)将点A(4,0)、B(1

10、,3)的坐标分别代入 y=x2+bx+c,得：4b+c-16=0, b+c-1="3",解得：b="4" , c=0.所以抛物线的表达式为：yx2 4x .22y=- y x 4x (x 2)4 ,所以抛物线的对称轴为：x=2,顶点坐标为：(2,4).(2)由题可知，E、F点坐标分别为(4-m , n) , ( m-4, n).三角形POF的面积为：1/2X4X|n尸2|n|,三角形AOP的面积为：1/2X4X|n|二 2|n|,四边形OAPF的面积二三角形POF的面积+三角形AOP的面积=20,所以41n|=20 , n=-5.(因为点P(m,n)在第

11、四象P所以 n<0)又 n=-m2 +4m,所以m2 -4m-5=0, m=5.(因为点P(m,n)在第四象P所以 m>0)故所求m、n的值分别为5,-5.4.红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的 日销售量(件)与时间(天)的关系如下表：时间(天)1361036日销售量(件)94908476241未来40天内，前20天每天的价格y1(元/件)与t时间(天)的函数关系式为：y1#t+25(1 <t<20 且t为整数)；后20天每天的价格y2(原/件)与t时间(天)的函数关系式为：y2=-IIt+40(21 W t W0为整

12、数).下面我们来研究 这种商品的有关问题.(1)认真分析上表中的数量关系，利用学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据之间的函数关系式；(2)请预测未来40天中那一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？(3)在实际销售的前20天中该公司决定每销售一件商品就捐赠 a元利润(a< 4)给希望工程， 公司通过销售记录发现，前 20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围.【答案】(1) y=-2t+96； (2)当t=14时，利润最大，最大利润是578元；(3) 3<k4.【解析】分析：(1)通过观察表格中的数据日销售量与时间t是均匀减

13、少的，所以确定m与t是一次函数关系，利用待定系数法即可求出函数关系式；(2)根据日销售量、每天的价格及时间 t可以列出销售利润 W关于t的二次函数，然后 利用二次函数的性质即可求出哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少；(3)列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数的性质求出a的取值范围.详解：(1)设数m=kt+b ,有+卜=/I ,解得力=9sm=-2t+96 ,经检验，其他点的坐标均适合以上析式故所求函数的解析式为m=-2t+96 .(2)设日销售利润为 P, 1 C- + 20) 由 P= (-2t+96)-=t2-88t+1920= (t-44) 2-16, 21

14、 W t W140称轴为 t=44, 函数P在21 W t <0 t的增大而减小， 当 t=21 时，P有最大值为(21-44) 2-16=529-16=513 (元),答：来40天中后20天，第2天的日销售利润最大，最大日销售利润是513元.1(一3 + 5 - 口)(3) P1= (-2t+96)11 I二-1+ (14+2a) t+480-96n,，对称轴为t=14+2a,1 < t S 20.-14+2a >20a>3时,P1随t的增大而增大，又 丁 a<4, 3 < K 4 .点睛：解答本题的关键是要分析题意根据实际意义准确的求出解析式，并会根据图

15、示得出 所需要的信息.同时注意要根据实际意义准确的找到不等关系，利用不等式组求解.5.二次函数y=x2-2mx+3 (m>、')的图象与x轴交于点 A (a, 0)和点B (a+n, 0) (n >0且n为整数)，与y轴交于C点.(1)若a=1, 求二次函数关系式； 求 ABC的面积；(2)求证：a=m-7 ；(3)线段AB (包括A、B)上有且只有三个点的横坐标是整数，求 a的值.【答案】(1) y=x2-4x+3; 3; (2)证明见解析；(3) a=1 或 a= ?-". 【解析】试题分析：(1) 首先根据a=1求得A的坐标，然后代入二次函数的解析式，求得

16、m的 值即可确定二次函数的解析式； 根据解析式确定抛物线与坐标轴的交点坐标，从而确定三角形的面积；(2)将原二次函数配方后即可确定其对称轴为x=m,然后根据A、B两点关于x=m对称得至ij a+n-m=m-a,从而确定 a、m、n之间的关系；311331(3)根据 a=m-?得到 A (m-?, 0)代入 y= (x-m) 2-m2+3 得 0= (m？-m) 2-m2+3,求得 m 的值即可确定a的值.试题解析：(1), a=1,A (1,0),代入 y=x2-2mx+3 得 1-2m+3=0,解得 m=2, .1 y=x2-4x+3; 在 y=x2-4x+3 中，当 y=0 时，有 x2-

17、4x+3=0 可得 x=1 或 x=3, A (1, 0)、B (3, 0), .AB=2再根据解析式求出 C点坐标为(0, 3),.OC=3,II ABC 的面积?X 2X 3=3(2) . y=x2-2mx+3= (x-m) 2-m2+3,，对称轴为直线x=m,;二次函数y=x2-2mx+3的图象与x轴交于点A和点B.点A和点B关于直线x=m对称，a+n-m=m-a ,a=m-(3) y=x2-2mx+3 (m>)化为顶点式为 y= (x-m) 2-m2+3 (m>、3)当a为整数，因为n >0且n为整数 所以a+n是整数， 线段AB (包括A、B)上有且只有三个点的横坐

18、标是整数，n=2, a=m-1 ) . A (m-1 , 0)代入 y= (x-m) 2-m2+3 得(x-m) 2-m2+3=0,m2-4=0,.m=2, m=-2 (舍去)，a=2-1=1, 当a不是整数，因为n>0且n为整数 所以a+n不是整数，线段AB (包括A、B)上有且只有三个点的横坐标是整数，n=3,a=m-133:A (m-5 0)代入 y= (x-m) 2-m2+3 得 0= (m-m) 2-m2+3,考点：二次函数综合题.6.如图1,在平面直角坐标系中，直线1 y -x22与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛1 2物线y -x bx c经过A、C两点，与x轴的另一交点为

19、点 B. 2(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点, 连接BC、CD BD,设BD交直线AC于点E, 4CDE的面积为 S, BCE的面积为S1，S2,求：丁的最大值；S2如图2,是否存在点D,使得/ DCA= 2/ BAC?若存在，直接写出点 D的坐标，若不存 在，说明理由.一1 2 3 一一S14 _ , _【答案】(1) y - x -x 2 - ( 2)当a 2时，7的取大值是一；点D22S25的坐标是(2,3)【解析】【分析】(1)根据题意得到 A (-4, 0) , C (0, 2)代入y=-lx2+bx+c,于是得到结论；2(2) 如图，令y=0,解方

20、程得到xi =-4, x2=1,求得B (1, 0),过D作DMx轴于M,过B作BNx轴交于AC于N,根据相似三角形的性质即可得到结论； 根据勾股定理的逆定理得到 4ABC是以/ACB为直角的直角三角形，取 AB的中点P,求得P (-3, 0),得到PA=PC=PB5,过D作x轴的平行线交y轴于R,交AC的延线于22G, / DCF=2Z BAC=Z DGC+/ CDG,解直角三角形即可得到结论. 【详解】解：(1)根据题意得 A (-4, 0) , C (0, 2),1 2,抛物线y=-2x2+bx+c经过A. C两点，10= 1 16 4b c2 ,2= c,_ 3b-2,c=21 2 3

21、抛物线解析式为：y x2 -x 2 ；2 2(2)令y 0,1 23x x 2 02 2解得：x 4 ,x2 1- B (1, 0)过点D作DM x轴交AC于M,过点B作BN x轴交AC于点N,DM / BN DMEs BNESIS2DE DMBE BN设：D a, la2 3a 222Ia, 一 a2 B 10§ DM 2a 2a 1二. - - as BN 552Si4，当a 2时，9的最大值是-；S25.A (-4, 0) , B (1, 0) , C (0, 2),.AC=275, BC=V5, AB=5,.AC2+BC2=AB2,.ABC是以/ACB为直角的直角三角形, 取

22、AB的中点P,P(-3, 0),25PA=PC=PB=,2/ CPO=2Z BAC, .tan/CPO=tan (2/BAC)=-,3过D作x轴的平行线交y轴于R,交AC的延长线于G,如图,/ DCF=2Z BAC=Z DGC+Z CDG,/ CDG=Z BAC, .tan / CDG=tan/ BAC=1 ,2即 RC: DR=1 ,2令 D (a, -1a2-3a+2),22 " DR=-a, RC=-a? - a22(-a2- -a) : ( -a) =1： 222 ai=0 (舍去)，a2=-2,xd=-2,.,- 1a2-3a+2=3,22点D的坐标是2,3【点睛】本题是二

23、次函数综合题，涉及待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键，难度较大.7.若三个非零实数x, y, z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则 称这三个实数x, v, z构成 和谐三组数二(1)实数1, 2, 3可以构成 和谐三组数”吗？请说明理由；. k .(2)若M(t, yi), N(t+1, y* R(t+3, y3)三点均在函数 y= (k为常数，kw0)图象上，且这 x三点的纵坐标yi, y2, y3构成 和谐三组数”，求实数t的值；(3)若直线y=2bx+2c(bc工均)x轴交于点A(xi, 0),与抛物线

24、y= ax2+3bx+3c(a 依干B(x2, y2), C(xj, y3)两点. 求证：A, B, C三点的横坐标Xi, X2, X3构成 和谐三组数”；若a>2b>3c, X2=i,求点P(c, e)与原点O的距离OP的取值范围.a a【答案】(i)不能，理由见解析；(2)t的值为-4、-2或2； (3)证明见解析；Y2WOP2V J0 且 OPM.2【解析】【分析】(i)由和谐三组数的定义进行验证即可；(2)把M、N、R三点的坐标分别代入反比例函数解析式，可用 t和k分别表示出yi、y2、y3,再由和谐三组数的定义可得到关于t的方程，可求得t的值；c (3)由直线解析式可求得

25、 xi=-,联立直线和抛物线解析式消去V,利用一元二次b bc 方程根与系数的关系可求得X2+X3=-X2X3=-,再利用和谐三数组的定义证明即可；a a 由条件可得到a+b+c= 0,可得c= - (a+b),由a>2b>3c可求得。的取值范围，令 m =aOP2b,利用两点间距离公式可得到OP2关于m的二次函数，利用二次函数的性质可求得a的取值范围，从而可求得 OP的取值范围.【详解】(1)不能，理由如下：1、2、3的倒数分别为1、1、1 ,231 + 1 1, 1 + 1，1 + 1，2 32 33 2实数1, 2, 3不可以构成 和谐三组数(2) .力«, V1)

26、, N(t+1, y) R(t+3, y3)三点均在函数 K(k 为常数，kw0)图象上, xy1>平、y3均不为0,且y1 =y2=y3=.1 _t 工 _t1_1_ t 3一 一, 一 , 一 , yk y2 ky3k.y1, y2, y3构成 和谐三组数”，.有以下三种情况：,111,t t 1 t 3 rr-1y21 y3当=+ 时，则=-+ ,即 t= t+1+t+3 ,解得 t= - 4;11, t 1 t t 3 rr ,-+ 时，则=+,即 t+1 = t+t+3 ,解得 t = - 2 ；11. t 3tt 1r一 + 一时，则=+ + 即 t+3 = t+t+1,解得

27、 t=2; .t的值为-4、- 2或2;(3).a、b、c均不为0, X1, X2, X3 都不为 0,.直线y=2bX+2c(bc导冲由交于点A(x1，0),J cc - 0= 2bx1+2c,解得 X1=-,b联立直线与抛物线解析式，消去 y可得2bx+2c= ax2+3bx+3c,即ax2+bx+c= 0, 直线与抛物线交与 B(X2, y2), C(X3, y3)两点, ，X2、X3是方程ax2+bx+c= 0的两根，c X2X3=, ab. .X2+X3=,a11X2X3Xi 一 + =X2X3X2X3 Xi, X2, -.X2= 1X3构成和谐三组数a+b+c= 0,-a>2

28、b>3c,a.a>2b>3(- a- b),且 a>0,整理可得5b2b3a,P(c，3, a a.OP2=(-)2+(b)2= ()2+(-)2= 2(b)2+2-+1= 2(- +-)令m= b a则一gvmv1 且 rnO,且 OP2= 2(m+ 1)2+)5222,2>0,1 一< m< -时，OP2随m的增大而减小，当 m =-23时，OP2有最大临界值13 , 5251. c . 1一时，OP2有最小临界值一，22m=- 当-1mv1时，OP2随m的增大而增大，当时，OP2有最小临界值1，当m:1时，OP2有最大临界值5,221 c 5 一

29、 C- & O2<2 且 OP2w12 2.P到原点的距离为非负数，e WOP 邈且 OBM.22【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及新定义、函数图象的交点、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、二次函数的性质、分类讨论思想及转化思想等知识.在（1）中注意利用和谐三数组的定义，在（2）中由和谐三数组得到关于 t的方程是解题的关键，在 （3）中用a、 b、c分别表示出X1, X2, X3是解题的关键，在（3）中把OP2表示成二次函数的形式是解题 的关键.本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大.8.如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A (1

30、, 0)和点B与y轴交于 点C (0, 3),抛物线的对称轴与 x轴交于点D.(1)求二次函数的表达式；(2)在y轴上是否存在一点 P,使PBC为等腰三角形？若存在.请求出点P的坐标；(3)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在 AB上向点B运动，另一个点 N 从点D与点M同时出发，以每秒 2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点 M到达 点B时，点M、N同时停止运动，问点 M、N运动到何处时，4MNB面积最大，试求出最 大面积.【答案】(1)二次函数的表达式为：y=x2-4x+3; (2)点P的坐标为：(0, 3+3衣)或(0, 3-3 J2)或(0, -3)或(0, 0) ; (3

31、)当点M出发1秒到达D点时，4MNB面 积最大，最大面积是 1.此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点 N在对称轴上x轴 下方2个单位处.【解析】【分析】(1)把A (1, 0)和C (0, 3)代入y=x2+bx+c得方程组，解方程组即可得二次函数的表 达式；(2)先求出点B的坐标，再根据勾股定理求得BC的长，当PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：CP=CB;BP=BC;PB=PC;分别根据这三种情况求出点P的坐标；(3)设 AM=t 则 DN=2t,由 AB=2,彳导 BM=2-t, SA MNB=1 x (2-t) X 2t= t2+2t,把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可

32、得4MNB最大面积；此时点 M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处.【详解】解：(1)把 A (1, 0)和 C (0, 3)代入 y=x2+bx+c,1 b c 0 c 3解得：b= - 4, c=3,二次函数的表达式为：y=x2 - 4x+3；(2)令 y=0,则 x2 - 4x+3=0,解得：x=1或x=3,B (3, 0), BC=372 ,点P在y轴上，当4PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图 1,当 CP=CB时，PC=372，OP=OC+PC=3+3/2 或 OP=PC- OC=32 - 3 .Pi (0, 3+3/),P2 (0,

33、3-372)；当 PB=PC时，OP=OB=3, P3 (0, -3);当BP=BC时,.OC=OB=3此时P与O重合,P4 (0, 0)；综上所述，点P的坐标为：(0, 3+3 J2 )或(0, 3- 3 J2 )或(-3,0)或(0, 0)；(3)如图 2,设 AM=t,由 AB=2,得 BM=2-t,贝U DN=2tSA MNB=lx (2-t) X2th t2+2t= (t1)2+1,2当点M出发1秒到达D点时，4MNB面积最大，最大面积是 1.此时点N在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处.9.在平面直角坐标系 xOy中，已知抛物线的顶点坐标为(2, 0),

34、且经过点(4, 1),1如图，直线y= -x与抛物线交于 A、B两点，直线l为y=-1.4(1)求抛物线的解析式；(2)在l上是否存在一点 P,使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.(3)知F(X0, y0)为平面内一定点， M (m, n)为抛物线上一动点，且点 M到直线l的 距离与点M到点F的距离总是相等，求定点 F的坐标.y=1x2-x+1. (2)点P的坐标为(色，131) . (3)定点F的坐标为(2, 1)【解析】分析：(1)由抛物线的顶点坐标为(2,0),可设抛物线的解析式为y=a (x-2) 2,由抛物线过点(4, 1),利用待定系数法即可求出抛

35、物线的解析式;(2)联立直线 AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B；连接AB'交直线l于点巳此时PA+PB取得最小值，根据点 B的 坐标可得出点B'的坐标，根据点 A、B'的坐标利用待定系数法可求出直线 AB'的解析式，再 利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点 P的坐标；(3)由点M到直线l的距离与点 M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出(1 -yo) m2+ (2-2xo+2yo) m+xo2+y02-2yo-3=0,由m的任意性可得出关2 2于xo、y0的方程组，解之即可求出顶

36、点F的坐标.详解：(1) .抛物线的顶点坐标为(2, 0), 设抛物线的解析式为 y=a (x-2) 2.;该抛物线经过点(4, 1),1- 1=4a,解得：a=-,4，抛物线的解析式为 y=l (x-2) 2= x2-x+1.44(2)联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：1 y= -x41 2y= -x4x1=11，y=x2=4y2=1点A的坐标为(1, 1)4作点B关于直线l的对称点 所示).B',B的坐标为(4, 1).连接AB'交直线l于点P,此时PA+PB取得最小值(如图1点 B (4, 1),直线l 为 y=-1,点B的坐标为(4, -3).设直线AB'

37、的解析式为y=kx+b (kwQ ,(1, 1)、B，(44-3)代入 y=kx+b,得:4k1 b= .4,解得:b= 313 k=124 b3直线AB的解析式为y+4,123当 y=-1 时，有x+ =-1123解得：x=28, 13点P的坐标为(磊，-1).(3)二点M到直线l的距离与点 M到点F的距离总是相等, (m-xo) 2+ (n-yo) 2= (n+1) 2,m2-2xom+xo2-2yon+yo2=2n+1. M (m, n)为抛物线上一动点，n= m2-m+1 ,4-1 m2-2xom+x02-2y0/ 12212(m-m+1) +yo =2 ( m-m+1) +1,整理得

38、：(1 - -yo) m2+ (2-2xo+2yo) m+xo2+y02-2yo-3=0.2 2- m为任意值，,11 c1 2 2 y0=02 2xo 2yo=O,22x° y02 yo 3= 0x0=2 ?y0=1，定点F的坐标为（2, 1）.点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P的位置；（3）根据点M到直线l的距离与点 M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于 xo、yo

39、的方程组.10.如图，在平面直角坐标系 xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经 过点A、C B的抛物线的一部分 G与经过点A、D、B的抛物线的一部分 C2组合成一条封 闭曲线，我们把这条封闭曲线称为蛋线”.已知点C的坐标为（0, -：），点M是抛物线C2：y mx2 2mx 3m （m<0）的顶点.（2）蛋线”在第四象限上是否存在一点P,使得4PBC的面积最大？若存在，求出 4PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当4BDM为直角三角形时，求 m的值.【答案】（1） A （ T , 0）、B （3, 0）.(2)存在.S»A PBC最大值为2716(3

40、) m ?或m 1时，4BDM为直角三角形.【解析】【分析】(1)在y mx2 2mx 3m中令y=0,即可得到 A、B两点的坐标.(2)先用待定系数法得到抛物线Ci的解析式，由 Spbc= Spoc+ Sbop-Sboc得到PBC面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值.(3)先表示出 DM2, BD2, MB2,再分两种情况： / BMD=90时；/ BDM=90时，讨 论即可求得m的值.【详解】解：(1)令 y=。，则 mx2 2mx 3m 0, . m< 0, . x2 2x 3 0,解得：Xi1 , X2 3 .A (1,0)、B (3, 0).(2)存在.理由如下：设抛物

41、线C1的表达式为y a x 1 x 3 (a 0),一 一31把C(0,一)代入可得a一.22 1, 八 幡 1231- C 1 的表达式为：y x 1x 3,即y xx .2221 o 3设P (p，-p2 p 二)， 22c33 227 S>A PBC= S POC+ Sk BOP-SBOC= T (P 二)4216332. a <0,，当p 3时，Spbc最大值为 .(3)由 C2可知：b (3, 0) , D (0, 3m) , M (1, 4m ), BD2=9m2 9, BM2=16m2 4, DM2=m2 1.当/BMD=90 时，BM2+ DM2= BC2,即 16

42、m2 4 + m2 1 =9m2解得：m1-, m2 (舍去).2当/ BDM=90 时，2BD2+ DM2= BM2,即 9m2 9 + m2 1=16m24,解得：m11综上所述，mm2-22或m 1时，4BDM为直角三角形. / MBD<90 , 讨论 / BMD=90 和 / BDM=90 两种情况：11.如图，直线y=-x+4与x轴交于点B,与y轴交于点C,抛物线y= - x2+bx+c经过8, C两点，与x轴另一交点为A.点P以每秒J2个单位长度的速度在线段 BC上由点B 向点C运动(点P不与点B和点C重合)，设运动时间为 t秒，过点P作x轴垂线交x轴 于点E,交抛物线于点

43、M.(1)求抛物线的解析式；，y ，一八、 j rMQ 1,(2)如图 ，过点P作y轴垂线交y轴于点N,连接 MN交BC于点Q,当 时，NQ 2求t的值；(3)如图，连接AM交BC于点D,当4PDM是等腰三角形时，直接写出 t的值.【答案】(1) y=- x2+3x+4； (2) t的值为1； (3)当PDM是等腰三角形时，t = 1或2t = 2 1.【解析】 【分析】 (1)求直线y=-x+4与x轴交点B,与y轴交点C,用待定系数法即求得抛物线解析式.(2)根据点B、C坐标求得/OBC=45,又PE±x轴于点E,得到4PEB是等腰直角三角 形，由PB J2t求得BE=PE=t即可

44、用t表示各线段，得到点 M的横坐标，进而用 m表 示点M纵坐标，求得 MP的长.根据MP / CN可证VMPQsVNCQ ,故有MP MQ 1=±=,把用t表示的MP、NC代入即得到关于t的方程，求解即得到 t的值.NC NQ 2(3)因为不确定等腰 4PDM的底和腰，故需分 3种情况讨论： 若MD=MP,则/ MDP=Z MPD=45 °,故有 / DMP=90 ；不合题意； 若 DM=DP,贝U / DMP=Z MPD=45 ； 进而得AE=ME,把含t的式子代入并解方程即可； 若MP=DP,则/PMD=/PDM,由对顶角相等和两直线平行内错角相等可得zcfd=z pm

45、d=/PDM=/CDF进而得CF=CD用t表示M的坐标，求直线 AM解析式，求得 AM与y轴交点F的坐标，即能用t表示CF的 长.把直线AM与直线BC解析式联立方程组，解得 x的值即为点D横坐标.过D作y轴 垂线段DG,得等腰直角4CDG,用DG即点D横坐标，进而可用t表示CD的长.把含t的 式子代入cf=cd解方程即得到t的值.【详解】(1)直线 y=-x+4 中，当 x=0 时，y= 4C (0, 4)当 y= - x+4= 0 时，解得：x= 4B (4, 0):抛物线y=-x2+bx+c经过B, C两点16 4b c0 0 c 40解得:，抛物线解析式为-B (4, 0)y= - x2

46、+3x+4，C (0, 4),/ BOC= 90°.OB=OC/ OBC= / OCB= 45 ° MEx 轴于点 E, PB= J2 t,22 / BE90 °.,PE.RtBEP中，sin PBE=PE PBBE= PE= PB=t , 2.1. xM = xP= OE= OB- BE=4 t, yP= PE = t丁点M在抛物线上 ,、2_ ,、2_yM=- (4 t) 34 t) 4= - t 5t, 2.,MP= 丫岫Yp= t 4t ,.PNy轴于点N/ PNO= / NOE= / PEO= 90 °四边形ONPE是矩形.ON= PE= t

47、.NC=OC- ON=4- t. MP / CN .MPQsNCQMP MQ 1NC NQ 2,t2 4t 14 t 21解得：t尸一，t2=4 (点P不与点C重合，故舍去) 21 t的值为2(3) . /PEB= 90°, BE= PE/ BPE= / PBE= 45 °/ MPD= / BPE= 45 °若 MD = MP ,则/ MDP= / MPD= 45/ DMP= 90 ;即DM / x轴，与题意矛盾 若 DM = DP,则 / DMP= / MPD=45° / AEM=90 ° .AE= MEy = x2+3x+4= 0 时，解得

48、：xi = 1, X2 = 4A (-1, 0),由(2)得，xm = 4 t, ME = yM = - t2+5t - AE= 4 - t - 11 1) = 5 - t5 - t = - t2+5t解得：ti=1, t2=5 (0<t<4,舍去) 若 MP= DP,则 / PMD= / PDM如图，记AM与y轴交点为F,过点D作DG±y轴于点G/ CFD= / PMD= / PDM= / CDF.CF= CD,. A (T, 0) , M(4t2+5t),设直线AM解析式为y= ax+m直线AM:y= txt25t解得:F (0, t).CF= OC- OF= 4-

49、tx+t = x+4,解得:DG= xD= / CGD= 90/ DCG=45CD= 2DG2 4 t. 4- t=t 1解得：t= .21综上所述，当 PDM是等腰三角形时,t=1或1=421 .本题考查了二次函数的图象与性质，解二元一次方程组和一元二次方程，等腰直角三角形 的性质，相似三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的分类讨论，要充分利用等腰的性质 作为列方程的依据.12.在平面直角坐标系 xOy中（如图），已知抛物线y = x22x,其顶点为 A.写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的不动点” 试求抛物

50、线y= x2 2x的 不动点”的坐标；平移抛物线y=x22x,使所得新抛物线的顶点 B是该抛物线的 不动点”，其对称轴与x 轴交于点C,且四边形 OABC是梯形，求新抛物线的表达式 .【答案】（l）抛物线y=x22x的开口向上，顶点 A的坐标是（1, 1）,抛物线的变化情况 是：抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，右侧的部分是上升的；（2）（0, 0）、（3, 3）; 新抛物线的表达式是 y=（x+1）2- 1.【解析】【分析】（1） Q a 1 0,故该抛物线开口向上，顶点 A的坐标为1, 1 ;（2）设抛物线 不动点”坐标为t,t ,则t t2 2t,即可求解；新抛物线顶点B为 不动点”，则

51、设点B m,m ,则新抛物线的对称轴为：x m,与x轴的交点C m,0 ,四边形OABC是梯形，则直线x m在y轴左侧，而点 A 1, 1，点B m,m ,则 m 1,即可求解.【详解】（1）Q a 1 0,抛物线y=x2 2x的开口向上，顶点 A的坐标是（1, 1）,抛物线的变化情况是：抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，右侧的部分是上升的（2）设抛物线y=x22x的 不动点”坐标为（t, t）.则 t = t22t,解得 t1 = 0, t2=3.所以，抛物线y=x22x的不动点”的坐标是（0, 0）、（3, 3）.;新抛物线的顶点B是其 不动点”，设点B的坐标为（m, m），新抛物线的对称轴为直线 x=m,与x轴的交点为C(m, 0) 四边形OABC是梯形，直线x= m在y轴左侧.,. BC与OA不平行 .OC/ AB.又,一点A的坐标为(1, 一 1),点B的坐标为(m , m),m = 1. 新抛物线是由抛物线 y=x22x向左平移2个单位得到的， 新抛物线的表达式是 y= (x+ 1)2-1.【点睛】本题为二次函数综合运用题，涉及到二次函数基本知识、梯形基本性质，此类新定义题 目，通常按照题设顺序，逐次求解即可.13.如图1,抛物线卜=5：+皿+亡经过平行四边形ABCD的顶点、E(-L。)、D(L3，抛物线与工轴的另一交点为 积相等的两部分，与抛物线交于另一点 坐标