九年级同步第1讲：相似形与比例线段-教师版

1、(d5相似形与比例线段内容分析9 / 22放缩与相似形是九年级上学期第一章第一节的内容， 主要对相似多边形的概 念和性质进行讲解，重点是理解相似形的相关概念和相似多边形性质的运用.通过对相似多边形的学习，为后面学习相似三角形的知识奠定基础.比例线段是九年级上学期第一章第二节的内容， 主要对比例线段的有关概念 和性质进行讲解，重点是理解不同概念和性质之间的联系和区别， 熟练比例线段 之间的转换，并能结合具体图形，运用比例线段的性质进行解题.通过对比例线 段的学习，一方面为之后学习平行线分线段成比例做好准备， 另一方面服务于之 后相似三角形知识的学习.模块一：相似形的概念及性质知识精讲1、相似形的

2、概念相似形：我们把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形.2、相似多边形的性质如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例.当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1.例题解析【例1】相似的图形，它们的形状相同，它们的大小相同.（选填 定”或不一定”或定不"）【难度】【答案】一定，不一定.【解析】相似图形是形状相同的两个图形，由其定义可得出结论.【总结】考查相似图形的概念，注意全等图形是特殊的相似图形.【例2】在下边的方格图中，分别画出ABC和四边形ABCD的一个相似图形.【难度】【答案】略.【解析】答案不唯一.如图 是其中一种.【总结

3、】考查对于相似图形 定义的把握，可以采用全等 是特殊的相似画图，若要画 比例选段，将各边长分别在 横向和纵向等比例分解即可.A4J4/*/J/F/J/f/J/d/1cBCA/D/Jf/fC【例3】下列给出的图形中，不是相似形的是()(A)由同一张底片印出来大小不同的照片(B) 一张巨幅画像和用照相机把它拍出来的照片(C)小明在平面镜和在哈哈镜里看到的他自己的像(D)五星红旗上的大五角星和小五角星【难度】【答案】C【解析】哈哈镜反映人像及物件的扭曲面貌，呈现出与原物不同的像，即不是相似形.【总结】考查相似图形的特征，形状完全相同.【例4】下列说法不一定正确的是()(A)所有的等边三角形都相似(B

4、)有一个角是100的等腰三角形都相似(C)所有等腰直角三角形都相似(D)所有的直角三角形都相似【难度】【答案】D【解析】直角三角形两个锐角角度不固定，形状不一定相同.【总结】对于三角形而言，只要三角形的角大小都相同，三角形即相似.【例(1)两个等腰三角形；(4)两个等边三角形；(7)两个正方形；(A) 3 组(B)【难度】【答案】B【解析】相似的是(3) (4)【总结】考查相似图形的特征, 于其它多边形来说5】下列各组中的两个图形一定相似的有(2)两个直角三角形；(5)两个矩形；(8)两个等腰梯形；4 组(C)(3)两个等腰直角三角形;(6)两个菱形；(9)两个圆.5组(D) 6组(9)形状完

5、全相同，对于三角形来说，三个角大小相等即可，对 除了考虑角的大小，还要考虑边的大小对应.【例6】已知四边形 ABCD和四边形A'B'C'D'是相似的图形，并且点 A与点A'、点B与点B'、点C与点C'、点D与点D'分别是对应顶点，已知BC 4, CDA'B' 3.3 , B'C' 3 , B75 , C 105 , D 95 ,求 AB, C'D'的长和A'的AB 4.4, C D 2.7,相似形形状完全相同，由此相似形各内角对应相等，各边对应成比例.CD 3.6, AB 3

6、.3代入，求得： AB4.4AB CDBC 4 心将AB C D BC 3根据四边形内角和，可求得:A 360 BCD 360751059585，相似图形对应角相等可知A【总结】考查相似图形的定义，注意相应的边角对应关系.【例7】如图,ABC和 ADE是相似形，顶点 A、 B、C分别与点A、E对应,已知 A35,AE 1.2 , AB 2.5 ,【答案】AD应相等,有股ABED1.51 .求 AD、BC的长和 AED的度数.AED 80 .相似形形状完全相同，由此相似形各内角对各边对应成比例.AE DE 1.2AC BC3 ,将 AB 2.5, ED 51代入,可求得AD 1.5, BC根据三

7、角形内角和为180°,可求得：C 180B 1803565根据相似图形对应角相等可知AED C 80 .【总结】考查相似图形的定义，注意相应的边角对应关系.【例8】已知 ABC的三边长分别是3、4、5,与其相似的 A'B'C'的最大边长是15, 求A'B'C'的最小边长.【难度】【答案】最小边长为 9.一,15【解析】3-9. 5【总结】考查三角形三边的对应关系，两个相似三角形中最长边对应最长边，最短边对应最短边.【例9】已知甲、乙两个三角形相似，甲三角形的三边长分别为4、6、8,乙三角形其中一边的长为2,求乙三角形的另外两边的长.【难

8、度】【答案】3, 4或4 , 8或1, 3. 332【解析】分类讨论.(1)乙三角形中边长为 2的边对应甲三角形中边长为 4的边时，边长对2 1 11应比值为，则另两边长分别为 6 - 3,6 4； (2)乙三角形中边长为 2的边 4 22221对应甲二角形中边长为6的边时，边长对应比值为- -，则另两边长分别为6 31 41 8 4 - -,8 - ; (3)乙三角形中边长为 2的边对应甲三角形中边长为 4的边时，边 3 33 321113长对应比值为 4,则另两边长分别为 4 4 1,6 4 -.【总结】三角形中，注意三边的对应关系，对题目指代不明确的，需进行分类讨论.【例10如图，矩形A

9、BCD中，AB 2CD ,线段EF 10 ,在EF上取一点M ,分别以EM、MF为一边作矩形 EMNH、矩形MFGN ,使矩形MFGN与矩形ABCD相似，且点M与 点A、点F与点B ,点G与点C ,点N与点D分别是对应顶点，令 MN x .求出矩 形EMNH的面积S与x的函数关系式.【难度】【答案】S 2x2 10x 0 x 5 .【解析】根据矩形 MFGN与矩形ABCD相似，可对应得MF 2GF 2MN 2x,因此 EM 10 2x ,进而可求E'力得：S MN EM x 10 2x2x2 10x .【总结】考查简单的函数对应关系，找准线段关系即可进行准确表示相关结果.模块二：比例的

10、性质知识精讲1、比和比例一般来说，两个数或两个同类的量 a与b相除，叫做a与b的比，记作a: b (或表示为-); bd成比例.如果a : b c: d (或a b2、比例的性质(1)基本性质:如果,那么ad bc ;b d如果a ,那么b - , ab d a c cc d；dc dd(2)合比性质:如果ac,那么bdb如果a，那么 bdb(3)等比性质：如果a c k ,那么-ac a - k . b db d b d例题解析【例11】下列各组线段中，成比例的一组是(C)a3,b4,c5,d 6)(B)a8 ,b0.05 ,c 0.6 , d10(D)a9 ,b6 , c3, d 4【解析

11、】只有A选项?黄足acbd可知其成比例.【总结】考查成比例的定义，根据比例的基本性质即可确定.【例12】(i)求卷,B M的第四比例项；(2)若x 1 , x, x 4的第四比例项是4,求x.【难度】【答案】(1)屎；(2) 2.【解析】(1)根据比例的基本性质可得第四比例项=*型 尺;2(2)依题意有 x 1 :x x 4 : 4,根据比例的基本性质 x x 4 4 x 1，整理得x2解得x 2 .【总结】考查比例的基本性质和比例中相关定义.【例13(1) 6是a和b的比例中项，则融(2) b是9和4的比例中项，则b ;(3)线段a 6厘米，b 16厘米，则线段a和b的比例中项是 .【难度】

12、【答案】(1) 35; (2)6; (3) 476cm .6【解析】(1)由题意可知ab62 ,由此JOH6,Tab64竺；ab 66(2)由题意可知b2 9 4 36 ,可解得b 6;(3) a、b都为线段，因此其比例中项只能是线段，取正值，即为忖76 4«cm【总结】考查比例中项的定义，注意线段比例中项和数字比例中项的区别.【例14(1)若2 2 ,则y ；y 3 y若刍b,则空;45 a b(3)若 2x 5y 0,贝U 3x y : 4x 3y 【难度】【答案】(1)1 ； (2)13； (3) 17:14 .3【解析】(1)根据比例的合比性，U 2_y 3由：4b425bb

13、b,可得a -b,原式二T553 b5一一 5一 5. 5 一(3)由 2x 5y 0,可得 x 2y,原式二32y y : 4 -y 3y17 :14【总结】考查比例性质运用中的基本计算，确定单位“1再准确计算.【例15(1)已知：ab -,求2a 4b的值; a 33a b已知：二？二，求y 3z的值；3 5 73y 2z(3)已知：3x 2y z,求x y 2z的值.2x y z【难度】【答案】(1) 1 ; (2) 26; (3) 11. 5_. . . _. a b 2【解析】(1)令b 2 k ,得a 3k, ba 3令冬-k ,得 x 3k, y 5k, z3 5 7k ,做二_

14、 2 3k 4k1一 3 3kk57k,5k 3 7k3 5k 27k26;kk令 3x 2y z k ,得 x -，y -，z k ,原式322kk-2 k- 3kk-2k - 32【总结】考查换元思想，也可采用【例14】确定单位“1的思想.【例16】设线段x、yx y z x y zz满足 234 ,求x、y、z的值.x y z 18【难度】x 2【答案】y 6 .z 1013 / 22【解析】由（1）可得口2,再结合（2）18,可得:2 1894,由此可得到x y 8z xy z 1612 ,结合（2）式可解得x 2 y 6 . z 10【总结】考查比例的等比性质的应用.【例17】设ab

15、b c c a ，求8a 9b 5c的值.a b 2 b c 3 c a【难度】【答案】0.【解析】根据分式基本性质，得6 ab3 bc2 ca6 ab6 bc6 ca6k a b , 3 b c 6k bc,2 c a 6k c a ,三式相加，即得 8a 9b 5c 0 .【总结】考查比例的性质的综合应用.3x 3y 3y 3z 3z 3x 例18右m ,求m的值.z x y【难度】【答案】6或3.【解析】(1) xyz 0时，根据比例的等比性 m 3x 3y 3y3z 3z3x 6;z x y(2) x yz0 时，可得 x y z,则m 3 x y &3.z z【总结】考查比例

16、的等比性质，但需要注意对式子用等比性时一定要注意根据分母是否为0进行分类讨论.【例19已知_a_ _b_ 工 k,则一次函数y kx 3的图像一定经过第几象限？ b c a c a b【难度】【答案】三、四.【解析】（1）ab c 0时，根据比例的等比性k a b c，此时一次函数y lx32 a b c22经过一、三、四象限；a b c 0时，可得b c a ,则k _a_1,此时一次函数y x 3经过二、三、a四象限；综上所述，函数必经过三、四象限.【总结】考查比例的等比性质， 注意根据分母是否为 0分类讨论，同时考查一次函数所在象限与系数的关联.模块三：比例线段|知识精讲1、比例线段的概

17、念对于四条线段a、b、c、d ,如果a :b c:d （或表示为a ）,那么a、b、c、d b d叫做成比例线段，简称比例线段.2、黄金分割如果点P把线段AB分割成AP和PB （ AP PB）两段（如下图），其中AP是AB和PB的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P称为线段 AB的黄金分割点.其中，AP 5 1AP0.618 ,称为黄金分割数，简称黄金数.AB 214/22A与B两地【例20】在比例尺为1:40000的地图上，量得 A与B两地的距离是24厘米，则的实际距离是.【难度】【答案】9.6km .【解析】实际距离=图上距离寸匕例尺，可知两地实际距离为24 40000 960000c

18、m 9.6km ,注意单位的转化.【总结】考查应用比例尺的定义，比例尺=图上距离 出际距离，公式转化.则这张地图【例21】东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米,的比例尺是()(A) 1:5(B) 1:500000(C) 1:5000000(D) 500000:1【难度】【答案】B【解析】比例尺=图上距离顷际距离，比例尺=65 一1一 .32.5 100000 500000【总结】考查比例尺的定义，注意单位的换算.【例 22(1)若 AB 0.1 , CD 0.75 ,则 AB : CD ;(2)若 AB 1m, CD 25cm ,则 AB : CD ;(3)若 A

19、B m, CD n ,则 AB: AB CD .【难度】【答案】(1) 2:15； (2) 4:1； (3) m: m n .【解析】(1) 0.1:0.752:15 ； (2) 1m:25cm 100cm: 25cm 4:1 ； (3) m: m【总结】考查比例的化简计算，注意比例中的项带有单位时，注意单位的统一.26 / 22【例23】小智发现自己的数学辅导书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20厘米,则它的宽约为.(精确到百分位)【难度】【答案】12.36cm .【解析】这本书的宽约为 20立12.36cm .2【总结】考查黄金比的定义及其相关比值.【例2例如图,已知在四边形ABCD

20、中，点E、F分别在AB、CD上，空AEDCDF求证：(1)ABEBDCFC，【答案】略.【解析】证明:(1)八ABQ -AEDCDF AB DCEB FCAE EBAEDF FCDF根据比例的合比性质,EBAEFCDFAEEBDFFC根据比例的合比性质,AE IEBEBDF FCFCAB DCEB FC根据比例的合比性质,AB DCEB FCAB DCEB FCABEBDCFC【总结】考查比例的合比性质的应用.【例25】如果 ABC和 A'B'C'面积相等，且 AB: A'B' 9:25,那么边 AB与边A'B'上的高的比为()(A) 9

21、: 25(B) 25:9(C) 3:5(D) 5:3【难度】【答案】B【解析】面积相等的条件下，高与底边成反比，可知高之比为 25:9 .【总结】考查成反比的相关计算.【例26】已知有三条线段的长分别为3cm, 6cm, 9cm的线段，请再添一条线段，使这四条线段成比例，求所添线段的长度.【难度】【答案】18cm或4.5cm或2cm.【解析】设添加的线段长度为acm ,将a当作一个比例外项，根据比例的基本性质有：(1)对应的外项是 3cm时，a 6 9 3 18cm;(2)对应的外项是6cm时，a 3 9 6 4.5cm;(3)对应的外项是 9cm时，a 6 3 9 2cm【总结】考查比例的计

22、算，在顺序不确定的情况下，必须进行分类讨论.【例27】在 ABC中，点D、E分别在边 AB、AC上，且AD AE DE 3AB AC BC 4则AEEC,若 ADE的周长为90厘米，则 ABC的周长为厘米.【答案】(1) 3; (2) 120.【解析】(1)由任3,可得处4,即AE ECAC 4AE 3AE故EC L AE 3；AE 3 EC(2)根据比例的等比性,AD AEAB ACDEBCAD AE DEAB AC BC即 CVADE CVABC代入求得Cvabc 120cm.【总结】考查比例的合比性和等比性的综合应用.【例28如图，在梯形 ABCD中，ADBC ,对角线AC、BD相交于点

23、O .(1)图中有哪几对三角形的面积相等？为什么?AO DO(2)求证：.CO BO【难度】【答案】(1) SvabdSVACD , SV ABCSVBCD ，SVABOSvcdo ,同底等高，减去公共部分面积相等;(2)略.【斛析】(1)SVABDSVACD，SVABCSVBCD，向底等局，故S/ABD SVAODS/ACDSVAOD，即SVABOS/CDO ；(2)证明：QVAOD和VAOB同高,SVAODDOSVAOBBO同理SVAODSVCODAOCO ,又 SV ABO SVCDO ,AO DOCO BO【总结】考查梯形中的面积相等，基本图形面积的计算，等高条件下面积之比等于其高之比

24、.【例29如图，在 ABC中，BD AC ,垂足为D , E是BC边上的一点，EF AC , 垂足为F , SABD：酮边形abed 2:3 ,求AD : AF的值.【难度】【答案】AD : AF 2:3 .【解析】Q S ABD : S四边形ABED 2:3,SVADB : SVEDB又 BD AC , EF AC ,BD / EF .SVBDFSVEDB ，SVBDF:S/ADB1: 2 即 FD BD : AD BD 1:2,FD: AD 1:2 .AD: AD FD2: 2 1 ,即 AD : AF 2:3 .【总结】考查等高或同高三角形面积之比等于其底边之比.【例30】已知线段AB的

25、长度为l ,点P在线段上,PB"，求线段AP的长.AP AB【难度】【答案】ap理1.吏1 , P点是AB黄金分割点. 22【解析】根据题意，即有 lAP 竺，解得APAP 1【总结】考查黄金分割点的定义.【例31】(1)点P是线段AB的黄金分割点， AP BP , AB 6厘米，求BP的长；(2)已知点P是线段AB的黄金分割点，AB 娓1 ,求AP的值.【难度】【答案】(1) BP 9 375 cm ； (2) AP 2 或 AP 非 1 .【解析】(1)根据黄金分割点定义，且 AP BP,可知AP 亘AB ,此时23535-BP AB 69 3，5 cm；22(2)线段的黄金分割

26、点有两个，与原线段比例分别为近二和 1 ,22故 AP -5- AB 2 或 AP 3 & AB V5 1 .22【总结】注意黄金分割点和黄金分割的区别，一条线段的黄金分割点有两个，满足黄金分割黄金比的只有一个.【例32】如图，乐器上的一根弦 AB 80厘米，两个端点 A、B固定在乐器面板上，支撑点 C是靠近点B的黄金分割点，支撑点 D是靠近点A的黄金分割点，求 CD的长. 【难度】 千【答案】80<5160 cm.4口C35 135【解析】根据黄金分割点定义，知AC AB,故AD 1 AB AB ,222CD AC AD "5 1AB 3 5 AB 加 2 AB ,得

27、 CD 80>/5 160 cm. 22【总结】考查线段的黄金分割点有两个.【例33如图，在矩形 ABCD中截取正方形 ABMN ,已知CM 3 J5 ,求AD的长.【难度】【答案】2.【解析】由MN 2 BC CM BM 2 ,即 BC CM BC CM 2 ,35可得CM BC ,代入即得 AD BC 2 .2【总结】考查黄金比的综合应用.MN是BC和CM的比例中项,【例34如图，以长为2的线段AB为边作正方形 ABCD ,取AB的中点P,连接PD .在BA的延长线上取点F ,使PFPD .以AF为边作正方形 AMEF，点M在AD上.(1)求线段AM、DM的长；(2)求证：AM2 A

28、D DM ;(3)请指出图中的黄金分割点.【难度】【答案】(1) AM 收1 , DM 3医；(2)略；(3) M是线段AD的黄金分割点， A是线段BF的黄金分割点【解析】(1) P是AB的中点，AB 2,可知AP 1,根据勾股定理得：3 J5；贝U PF PD 押，AM AF PF AP 75 1 , DMAD AM(2)证明：AM 2而 AD DM ,即证;(3)根据定义可知 M是线段AD的黄金分割点，类似的，我们可以得到 AB2 BF AF 4, 可知A是线段BF的黄金分割点.【总结】考查黄金比的综合应用，黄金分割题目中容易出现别的黄金分割.【习题1】对一个图形进行放缩时，下列说法中正确

29、的是()(A)图形中线段的长度与角的大小都保持不变(B)图形中线段的长度与角的大小都会改变(C)图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变(D)图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变【难度】【答案】D【解析】根据相似形的定义，在缩放的过程中，图形始终保持与原图形相似，可知其线段长 度可以改变，角度保持不变.【总结】考查相似的定义.A/D/AB/【习题2】在下图中，画出四边形 ABCD的相似四边形 ABGDi ,使AB : AB 1:2.【难度】【答案】略【解析】如图即为所示.【总结】注意把握好相似图 形的定义，形状完全相同， 各对应边比例相等，在不能 计算的情况下将图形分别 在横向和纵向进

30、行分解即 可.【习题3】已知：a、b、c、d是四条线段，它们的长度分别是 a 1mm, b 0.8cm , c 0.02cm,d 0.4dm,它们是不是成比例线段？【难度】【答案】是【解析】将线段长度单位都转化为mm, a 1mm, b 8mm, c 0.2mm, d 40mm ,由a:c d :b ,可知线段a、b、c、d是成比例线段.【总结】讨论成比例线段时要注意单位的统一性.【习题4】已知甲、乙两地之间的距离为10千米，画在一张地图上的距离为 5厘米，那么在这张地图上量得的距离为2厘米的A、B两地的实际距离为千米.【难度】【答案】4.【解析】同一张地图上比例尺相等，则有【总结】考查应用比

31、例尺的定义，比例尺5cm 2 cm 一,可得 AB 4km .10km AB=图上距离 叁际距离，公式转化应用.【习题5】已知点D是边BC上一点，且 ABC与 DAC是相似形，点 A、B、C分别与点D、A、C 对应,CB:CA 3: 2 ,求 CD : DB 的值.【难度】【答案】4:5 .【解析】依题意可得CACB目，则CD -CA, CB 3CA ,DB CB CD -CA,CDCA 2326故 CD :DB -CA：-CA 4:5 . 36【总结】考查相似形的对应关系.【习题6】若a :b x y : x y ,则x: y【难度】【答案】a b : a b .【解析】根据比例的基本性质，

32、b x y a得 abx aby,故x:y ab:【总结】考查比例的基本性质.x y ,去括号得bx by ax ay ,移项, a b .【习题7】直线l上顺次有四点 A、BABCDC、d,且硬处3,则BC BC DCAD【难度】【答案】1,9.62AB 一AD【解析】 3 ,得AB 3BC , 3 ,得AD 3DCBCDCDC AB BC DC 4BC ,即得DC2BC ,故 AD 6BC ,则BCADABCD【总结】学会根据比例关系进行线段比例的转化.【习题8】点P是线段AB的黄金分割点，求 AP的值.AB【难度】【答案】理或3_J5 . 222【斛析】根据黄金分割点的7E义，AP2 B

33、p ab ,即AP AB AP AB ,两边同时除以AB2,可解得"="5 1 ；或BP2 AP BC ,类似的可得 -AP = 3 5 .AB 2AB 2【总结】注意线段的黄金分割点有两个.课后作业【作业1】举出日常生活中相似的图形的实例.【难度】【答案】答案不唯一.例：镜子中的虚像和人体的实像.【解析】考查相似图形的特征是形状完全相同的图形.【总结】考查相似图形的特征，注意多观察.【作业 2】若 2x y : 3x 2y 1:2 ,贝U x: 2y .【难度】【答案】2.【解析】根据 2x y : 3x 2y 1:2,由比例的基本性质，则有 3x 2y 2 2x y ,

34、整理得：x 4y,故 x:2y 4y: 2y 2 .【总结】考查比例的基本性质.【作业3】下列各组四边形中是相似多边形的是()(A) 一组邻边为2厘米和5厘米与一组邻边为 3厘米和6厘米的矩形(B)有一个内角为30的两个菱形(C)边长分别为3厘米和4厘米的两个菱形(D)两个高相等的等腰梯形【难度】【答案】B【解析】菱形一个内角确定，则每个内角都可以确定下来，同时，菱形四边相等，对应成比例，可知B选项正确；A选项边不对应成比例， C选项菱形有不稳定性， 形状不固定,D选项等腰梯形形状不固定.【总结】考查相似图形的特征.【作业4】已知 ABC的三边长分别是 4、5、6 ,与其相似的A'B'C'的最小边长是1