椭圆题型情况总结(较难)

1、、焦点三角形21.设F1、F2是椭圆;32y_ 1的左、2（法一）解：如图，设xF2B(0根据椭圆的定义,|AFi| 2.3在AAf2Fi和A BFFi中应用余弦定理,椭圆题型总结右焦点，弦 AB过F2,求ABR的面积的最大值。),Ml(2 . 3(2 3m)2 n)224 m 4mcos24ncos一 m -=.3一S F1AB5cos1 2IF1F2I|yBL2 , ,3 cos，1 c，、.yA l 万 2 (m n)sin( .3cos 3 cos)sin4.3sinsin2令sint ,所以 0 t < 1， g(t)t2 t2j-Vm,|BF21 n ,n,又 IF1F2I在

2、（0, 1上是增函数,故ABE的面积的最大值为 -43 .3（法二）解：设 AB： x=my+1 ,与椭圆 2x2+3y2=6 联立，消 x 得（2m2+3）y2+4my-4=0AB过椭圆内定点 F2,A恒大于0.设A（X1,y1）,B（X2,y2）,则A =48(n2+1)S abf1 =|y 1-y2|= 4 32 m2 3= 4,3m21(2m2 3)2令 t=m2+1 >, m2=t-1 ,则 S abf4.31, 91,+)4t t 41AB的斜率的倒数，但又包含斜率不存在的情f(t)=4t - 4在 tC1,+)上单倜递增，且f(t)C9,+2.如图，M (-2, 0)和N

3、(2, 0)是平面上的两点，动点 P满足:(1)求点P的轨迹方程；(2)若|PM PN1 cos MPNPMPN6.标.解：由椭圆的定义，点 P的轨迹是以M、.N为焦点，长轴长 2a=6的椭圆.因此半焦距c=2,长半轴a=3,从而短半轴,求点P的坐2椭圆的方程为92匕1.5(2)由 PM |gPN1 cosMPN，得 PM gPN因为cosMPN 1,P不为椭圆长轴顶点，故P、在HMN中,MN| 4,由余弦定理有将代入，得42PM故点P在以M、N为焦点,MNPMcosMPNM、PNPM|gPN 2.N构成三角形.2 PM gPN2 PN实轴长为由(I )知，点P的坐标又满足即P点坐标为3 &l

4、t;3二、点差法MN的中点，弦MN所在的直线2( PM gPN2).y2 1 上.2y 一 ，、一 ，1 ,所以由方程组52 一 25x 9y2 c 2x 3y45,3.3、3-2-，333(a > b >0)中，若直线l的斜率为kMN ,则kMN223.直线l经过点A(1 , 2),交椭圆工 36 16cosMPN .解得3<323.32史.2l与椭圆相交于 M、N两点，点P(x0, y°)是弦V。b2Xoa2 .1于两点P1、P2,(1)若A是线段P1P2的中点，求l的方程；(2)求P1P2的中点的轨迹.解：（1）设 Pi(xi, yi)、P2(x2, y2),

5、2 x1 则362 x236(x12y1而2 y216x2)(xX2)36(y y2)(y y2) 016- A(1 , 2)是线段 P1P2 的中点，x1+x2=2, y1 +y2=4,. 2(x1 x2)364(yi y2)160 ,即.y22。x x29.l的方程为29(x 1)2,即 2x+9y-20=0.(2)设P1P2的中点M(x,y),贝U X1+X2=2x, y+y2=2y,代入*式，得k % y24x ,又直线l经过点A(1, 2), k 9y整理，得 4x(x-1)+9y(y-2)=0 ,1 2 （x ） 一P1P2的中点的轨迹：2_52(y 1)210§1

6、76;4.在直角坐标系xOy中，经过点（0,衣）且斜率为k的直线l与椭圆1有两个不同的交点P和Q.（1）求k的取值范围;（2）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B,是否存在常数k,使得向量OP OQ与AB共线？如果存在，求 k的取值范围；如果不存在，请说明理由解:直线l的方程为y kx J2.kx2,得:1.(2k2 1)x2 4、2kx2 0.直线l与椭圆1有两个不同的交点,32k28(2k21） >0.解之得：k <二或k2.2>2k的取值范围是2(2)在椭圆22 1中，焦点在x轴上，aWb 1,A(.2,0),B(0,1),AB ( .2,1).设弦 PQ的

7、中点为 M(xo，y0),则 OM(x0,y10).由平行四边形法则可知:OP OQ2OM.Op OQ与AB共线， OM与丽共线.Xo由(i)可知之时,2直线1与椭圆没有两个公共点,不存在符合题意的常数 k.三、最值问题5.已知P为椭圆1上任意一点，M (m, 0) (mCR),求PM的最小值。目标：复习巩固定点与圆锥曲线上的点的连线段的最值问题。提示：设P(x,y),用距离公式表示出 PM,利用二次函数思想求最小值。解：设 P(x,y), PM= (xm)1 y2 = J(x m)23x2 2mx 13 4m 2=.4(x 3),x £ -2,2,结合相应的二次函数图像可得(2)(

8、3)说明:4m c-2<4m<3m<3 一一时，(PM) min = |m+2| ；239 3m2时，(PM) min=23m>2,即 m>2时，(PM) min=|m-2|. 32(1)类似的，亦可求出最大值；(2)椭圆上到椭圆中心最近的点是短轴端点，最小值为b,最远的yoXo由kpQ xa-c,最远的点是长轴点是长轴端点，最大值为 a; (3)椭圆上到左焦点最近的点是长轴左端点，最小值为右端点，最大值为 a+c;26.在椭圆 y2 1求一点P,是它到直线l: x+2y+10=0的距离最小，并求最大最小值。 4目标：复习研究圆锥曲线上的点与直线的距离问般处理方法

9、。提示：(1)可等价转化为与直线l平行的椭圆的切线l之间的距离；(1)也可以用椭圆的参数方程。直2x 2y m 0解法一：设直线m： x+2y+m=0与椭圆xy21相切，则x2,消去x,得8y2+4my+m 2-4=0,4 y2 14A =d军得 m= 2 2.当m=2成时，直线与椭圆的切点 P与直线l的距离最近，最近为 |10 2 2| = 2 5 ” ,此时点P的 ,55坐标是（应，彳）;当m=-272时，直线与椭圆的切点 P与直线l的距离最远，最远为|10 2、2| = 2君_2ZW 此时点p的.55坐标是 （短与。解法二：设椭圆上任意一点 P（2cos 0 ,sin 0q,0,2 ）2

10、 . 2sin（ ） 10则p到直线i的距离为12cos_2sin=尸卫5.5.当9=一时，P到直线l的距离最大，最大为 2.5里此时点P的坐标是 （行弓）；当95时，P到直线l的距离最小，最小为 2 5 5 ,此时点P的坐标是（金,）。452说明：在上述解法一中体现了数形结合”的思想，利用数形结合顺利把点与直线的距离问题迅速转化成两平行线间的距离。在解法二中，利用椭圆的参数方程可迅速达到消元的目的，而且三角形式转换灵活多变,利用正余弦的有界性求最值或取值范围问题是一个不错的选择。227.设AB是过椭圆上 上 1中心的弦，F1是椭圆的上焦点，925（1）若ABF1面积为4而，求直线 AB的方程

11、；（2）求 ABF1面积的最大值。2解：（1）设AB: y=kx,代入椭圆 921 ,得 x2=2512252 = 2 ，Xi=-X2=1 k_ 25 9k29 252252 )25 9k|=4 弋5 ,|xi-X2|=2 v5 ,PC1又，Saabfi= 3 |OF i| |xi-X2|=2|xi-X22252 5，、一2 52 =5 , k= * , .直线 AB 的方程为 y= - xo259k33一、-1225(2) Saabfi= - |OF1| |xi-X2|=4 J2，当 k=0 时，(S/ABF 1)Max =12。225 9kx y8. (2014金山区一模23题)已知曲线

12、Ci ：+ U=1(a>b>0)所围成的封闭图形的面积为4、；5,曲线a b，2.5Ci的内切圆半径为.记曲线C2是以曲线 G与坐标轴的交点为顶点的椭圆.设AB是过椭圆C2中心3的任意弦，l是线段AB的垂直平分线， M是l上异于椭圆中心的点.(1)求椭圆C2的标准方程；(2)若MO = mOA (。为坐标原点)，当点A在椭圆C2上运动时，求点M的轨迹方程；(3)若M是l与椭圆C2的交点，求 MBM的面积的最小值.Ci是以(F，0)、(0,力)、(a, 0)、(0, b)为顶点的菱形,故一 一一 cc3T _ >.又a>b>0,解得：a2=5, b2=4,因此所求的

13、椭圆的标准方程为彳 +彳=1；4分(2)假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y=kx(kw 0) A(xa, yA),l - Tk 力当，|OAF=*1,a 4 + 5P 办 4 +5/4+ 5/设M(x, y),由题意得:|MO|2=m2|OA|2, (m>0),即:因为l是AB的垂直平分线，所以直线 l的方程为>=一?，代入上式消去k得:fC_+ _ = 1(m>0),.9 分2 20d +/) P -+ y =牌 专十,又x2+y2wq整理得:Ay +5当k=0或斜率不存在时，上式仍然成立,10分综上所述，点 M的轨迹方程为 J +上干= l(m&g

14、t;0)4加切2i.-1：(3)当k存在且不为零时，由(2)得：右二, y：=,|OA|2= 壮A 4十弼/区4 + 514+弼a 口= 134，得：京=20xy=-,OMF 郊13分(44 51)(5+ 4元)14分$400(1s 4十%产十上十4M2)1600(140 .o一Qq +=(5)，当且仅当4+5k2=5+4k2时，即k= 1时，等号成立,此时AABM的面积的最小值为16分当k=0时，s皿=父2对行工2=2/>¥ ,当k不存在时，用皿；工石乂4=2书>f ,综上所述, ABM的面积的最小值为9.设椭圆中心在坐标原点,A(2Q),B(0,1)是它的两个顶点，直

15、线 y kx(k 0)与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点.uur uuur(1)若ED 6DF ,求k的值;求四边形AEBF面积的最大值.(1)解：依题设得椭圆的方程为直线 AB, EF 的方程为 x 2y 2 , y kx(k 0)D(x0, kxo), E(X1, kx1)，F(x2, %),2、2其中x x2 ,且x1，x2满足万程(1 4k )x 4 ,故x2Xi-7=2=. a, 1 4k2uur uur由ED 6DF知x1小、X 6(x2 xo),得 xo y(6x2 x1)57x210一.，；71 4k由D在AB上知x0一2,2kxo 2 ,得 x0 .所以1 2k21 2

16、k107、1 4k2化简得24k2 25k2 )解法一一236 0 ,解付k或k.38根据点到直线的距离公式hi|x1 2kxi 22(1 2k 1 4k2)，h25(1 4k2)X2和式知，点E, F到AB的距离分别为2kx2 22(1 2k , 1 4k2)5(1 4k2)AB 422 1状,所以四边形 AEBF的面积为12 AB (h1h2)1g、,5g 4(1 2k)29 9.5(1 4k2)2(1 2k)J4k21 4k2当2k 1,即当1 , 一 一一时，上式取等号.所以2S的最大值为2衣解法二：由题设,BO 1, AOkx2,由得x2y 0 ,故四边形 AEBF的面积为S Sa

17、BEF SA AEF x22 y2几 2y2)2 收 4y2 4x2y2 W "2(x2 4y；) 272,当x22 y2时，上式取等号.所以S的最大值为2J2.四、垂直关系10.(上海春季)已知椭圆C的两个焦点分别为 与(1, 0)、F2(1, 0),短轴的两个端点分别为B1、B2。(1)若FHF2为等边三角形，求椭圆 C的方程;Luur FQ ,求直线l的万程。ULLT(2)若椭圆C的短轴长为2,过点F2的直线l与椭圆C相交于P、Q两点，且F1P22a b 0)。解：(1)设椭圆C的方程为x- y- 1a(2)容易求得椭圆C的方程为 二2b22 y13a 2b根据题意知 a 2b

18、,解得a2a2 b2 14 , b21 ,故椭圆C的方程为三3343y2 1。当直线i的斜率不存在时，其方程为1,不符合题意;当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y k(x 1)。y k(x 1)由 y2，得(2k2 1)x2X 2y 12224k2x 2(k21) 0。设 P(x1,y1)，Q(X2, y2),X14k22k2X1X2_22(k1)2k2uuir，F1P (X1 1,必)，uurFQ (X2 1,， uuu因为F1Puuiruur uuirF1Q ,所以 F1P F1Q0,1) y1 y2X1X2(X1X2)k2(x11)(X21)22(k2 1)X1X2 (k21)(X1

19、X2)k2 17k2 12k2 1故直线l的方程为0。211.如图，设椭圆y2 1的上顶点为B,右焦点为F,直线l与椭圆交于M、N两点，问是否存在直线2l使彳导F为ABMN的垂心。若存在，求出直线 l的方程；若不存在，说明理由。解：由已知可得，B(0, 1), F(1, 0), .kBF=-1o. BFL, 可设直线l的方程为y=X+m,代入椭圆方程整理，得223x 4mx 2m 2设 M 国，y1)，N(X2,则 X1X24m,X1X2. BNXMF , y1X12m2I3 y21X21,即 yy2X1X2y1X20。x2 m,(X1 m)(X2m) X1X2(X1即 2x1x2(m 1)(

20、X14m、21)()m m30,2 3m由 (4m)2 12(2m2 2) 24 8m2得m23又m 1时，直线l过B点，不合要求,m 4，3故存在直线l： y X 4满足题设条件。3m) x2 0。12. (2012年高考(湖北理)设A是单位圆x4k2x1x x2-2x2m 4k y2 1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点 M在直线l上，且满足|DM | m|DA|(m 0,且m 1)。当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。(I )求曲线C的方程，判断曲线 C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标;(II)过原点且斜率为k的直线交曲线C于P, Q两点，其中P在第

21、一象限，它在y轴上的射影为点N ,直线QN交曲线C于另一点H 。是否存在使得对任意的k 0,都有PQ PH *存在，求m的值；若不存在，请说明理由。解析:1)，1y01mly卜(I)如图 1,设 M(x,y), A(xo, yo),则由 |DM | m| DA|(m 0,且 m可得x x0 , | y | m | y。| ,所以汽因为A点在单位圆上运动，所以将式代入式即得所求曲线C的方程为2x2 -y2 1 (m 0,且m m1)。1 m2,0)，(。1 m2, 0)；因为m (0,1)U(1,),所以当0 m 1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，两焦点坐标分别为当m 1时，曲线C是焦点在y轴上

22、的椭圆，两焦点坐标分别为(0,(0, Vm21)。(n)解法1 ：如图2、3,k 0,设 P(x1,kx1) , H(x2,y2),则 Q(为，kx1),N(0, %),直线QN的方程为y 2kx以，将其代入椭圆 C的方程并整理可得m20 。/_22、 22. 2 2(m 4k )x 4k xx k x1依题意可知此方程的两根为X1 ,X2,于是由韦达定理可得2m x1m 4k因为点H在直线QN上,所以V2 kX12kx222 km xLUJIT是 PQ ( 2x1, 2kx),uuLrPH 他 X,V2 kx1)，o4k2224 k x12km x22 ,2m 4km4k24(2 m )k

23、x工6/人UJUr LULT22m 4k而PQ PH等价于 PQ PH即 2 m2 0 ,又 m 0 ,得 m v2 ,故存在m亚，使得在其对应的椭圆x2PH 。OyDM nAxk 0 ,者B有PQ1上，对任意的图 2 (0 m 1)图 3 (m 1)解法 2:如图 2、3,x1(0, 1),设 P(x1,y1),H(x2,y2)，则 Q(x1,y1) ,N(0,y1),因为P , H两点在椭圆C上，所以2:m xi2m x22 yi2 y22m,两式相减可得2m ,222m (xi x2 )(yi2y22) 0。区依题意，由点P在第一象限可知，点H也在第一象限,H不重合,故(x1x2 )(x

24、1x2) 0。于是由式可得(yiy2)(yi的(xix2)(xix2)H三点共线，所以kQNkQH ,即生 xiyi于是由式可得kPQ kPH - xiyiy2xix2i (yi y2)(yiV2)2 (xi x2)(xix2)2 m O2而PQ PH等价于kPQ kPHi,即故存在m a ,使得在其对应的椭圆i上，对任意的i3. (i0浙江/2i)已知m>i,直线l:xmy2 x0 ,椭圆C：1 my2 i , Fi,F2分别为椭圆C的左、右焦点.(i)当直线过右焦点F2时，求直线的方程;(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，VAFF2 ,VBFF2的重心分别为 G,H.若原点O在以线

25、段GH为直径的圆内，求实数 m的取值范围.2【解】(I)因为直线l : x my m 20经过F2(Jm2 i,0),所以2二 m ，口 2i ，得m 2 , 2又因为m i,所以m . 2 ,故直线l的方程为x J2yi 0.(n)设 A(x，y) BNyz)my2 x-2 m2m2 ,消去x得：2y2imy2mi 04则由28(m- i)42m 8 0,知8 ,且有yimy2-,yiy2由于Fi(c,0), F2 (c,0),由重心坐标公式可知G(1i予H(Ogh(%x2)292(yi y2)9设M是GH的中点，则xiM (6x2 yiy2由题意可知2 MO| |GH即 4(xi x)2

26、" y2)2(xi X2)2 (y_66992m 一叩 xx2 y1y2 (my -)(my?22/2m、/ 2 m 1my1y2 (m 1)(- 二)，所以-2828又因为m 1且 0 ,所以12,所以m的取值范围是（1,2）.14. （09山东/22）设椭圆E:2 xF a2' 1 (a, b>0)过 M(2, J2), N(启，1)两点, b。为坐标原点.(1)求椭圆 uuuB,且 OAE的方程；（2）uur、升OB ?右存在,是否存在圆心在原点的圆,写出该圆的方程，并求【解】（I）因为椭圆E:2L 1 b2(a,b>0)使得该圆的任意一条切线与椭圆|AB|

27、的取值范围；若不存在，说明理由过 M (2, 72 ), N(T6 , 1)两点,E恒有两个交点A,42所以a62 a2b71b71-2 a1b718 ,所以142 ab28 .，椭圆E的方程为42 x -8（H）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点 A, B,且OA OB ,设该圆的切线方程为y kx m,y解方程组x2x8kx2y42222(kx m) 8,即(1 2k )x24kmx 2 m 80,设 A(x,yi),B(X2,y2)，yi y2 (kxim)(kx2 m)XiX1X24kmx221 2k2，2m 81 2k2,2k x1x2 km(x1 x

28、2)要使OA OB ,需使Mx?yy20,22k2(2m2 8)2k22 24k m21 2 k222m2 8k221 2k22即2m 81 2k222m 8k22c-0 ,所以 3m 8k 81 2 k2因为直线ykxm为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为m1 k22m1 k22m二2-/ 3m 81 8此时圆x2y28都在椭圆的内部, 3所以圆的切线与椭圆必有两个不同的交点，且uuuOAuurOB .而当切线的斜率不存在时，切线2幺1的两个交点为4(缉3遍）或（"2.6“ uur uuu),满足 OA OB .3综上，存在圆心在原点的圆 x2y2 3,使得该圆的任意一条切线

29、与椭圆E恒有两个交点uuu uuuA,B,且 OA OB .|AB| .1 k2 xiX2I3231k24k4 4k21'当k0 时 |AB |33214k2-,因为44k2 3 k24>8所以0所以32332万14k2所以4J6 |AB|<2J3当且仅当上时取2当k 0时，|AB|述 3而当AB的斜率不存在时，两个交点为(缉32、57/ 2.6 口-)或(,亭),所以此时1AB栏,综上，|AB|的取值范围为4j6w|AB|<2相，即:3| AB | C 4V6，273. I3【另解】对于求|AB|,有个更简单的方法:如图，设 AOT，Q AOB“c2.6 ,、AB(

30、tancot ),3tanAT "AOT哼，所以当tan 1 时，|AB|min当tan or 720-, |ABU 2店. 2五、存在性问题215.以椭圆 y2 1(a 1)的短轴的一个端点 B(0,1)为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形，问这样 a的直角三角形是否存在？如果存在，请说明理由，并判断最多能作出几个这样的三角形；如果不存在，请 说明理由.2解：过点B(0,1)分别作斜率为1的直线，必与椭圆 三 y2 1各另有一交点 M,N,则 BMN即a为所求的等腰直角三角形，故这样的内接等腰直角三角形至少有一个；如除了 (1)给出的内接等腰直角三角形外，还存在其他的内接等腰直角三

31、角形，那么设直线1l1：y kx 1, l2：y -x 1, (k 0,k 1),则l1与I2均过点B(0,1),且互相垂直，l1与l2与椭圆分别 k交于E, F ,11 a2k2 aF(-1k21a24 T) 2 1a k7F(2a2kk2rk22 %) a|BE|2 (1k2)xE2(1k2)_ 22a2k22. 21 a k2|BF|2 (12Xf_ 22a2kk22(1k2)2a2k222 k 0,k2a2k_27Ta k2a2k2 a2k3a2kk22(k 1)(k kk(k 1)1)由 k 0,k1得，a2 3 a v'3 ,由于椭圆关于y轴对称,故当a J3时，还存在斜率

32、k 1的内接等腰直角三角形两个综合：当1 a J3时，可作出一个椭圆的内接等腰直角三角形（图1）,当a >3时，可作出三个椭圆的内接等腰直角三角形（图2）2 .216. (2015虹口二模)已知圆F1 ： (x+ 1) + y = 8,点F2(1,0),点Q在圆F1上运动，QF2的垂直平分线交QF1于点P .(1)求动点P的轨迹C的方程；uiun umr uur(2)设M、N分别是曲线C上的两个不同点，且点M在第一象.限，点N在第三象限，若OM 2ON 2OF1O为坐标原点，求直线MN的斜率；-1S(0，1)c过点 3的动直线l交曲线C于A、B两点，在y轴上是否存在定点T ,使以AB为直

33、径的圆恒过这个点？若存在，求出点 T的坐标；若不存在，请说明理由 .解：(1)因为QF2的垂直平分线交QF1于点P.所以PF2 PF1 |PF2|PF1| |PQ| IFQ 2 .2 F1F22,所以，动点P的轨迹C是以点F1、F2为焦点的椭 圆.3分22x y 1设椭圆的方程为 a2 b2 ，则2a2j2,2c2,222b a c 1故动点P的轨迹C的方程为(2)设 MR,b1),N(a2b)(a1 0Q 0属 0b 0),则a12 2bl22,a22 2b222uuur uur uiur因为 OM 2ON 2OF则 a12a22,b1 2b2由、解得4,b2所以直线MN的斜率kMN(3)设

34、直线1的方程为b2b13 1414kxPQ ,从而,1kx 一3则由9(2 k2Y410分1)x2 12kx 160,-1S（0,）由题意知，点 3在椭圆C的内部，所以直线1与椭圆C必有两个交点，设A(X1,y1)、B(X2, y2),则X1X24k162, X1 X22. 3(2 k 1)9(2 k 1)uur12分uir假设在y轴上存在定点T（0，m）满足题设，则TA （X1，y m）,TBm),因为以AB为直径的圆恒过点uir uirT,所以TA TB(xi, yim)(X2, y2 m) 0,X1X2(yi m)(y2 m) 014分y1因为kx1，2kx2313 ,故（）可化为X1

35、x2m(y1(k21) X1X2k( m¥2)13)( X1X2)16(k21)9(2 k21)2218( m2 1) k2k (m3(3 m4k一) 2"33(2 k22 2m 5)1)9(2 k21)uur uur由于对于任意的k R,TA TB 0,恒成立，故2 .m 123m :2m 50解得m因此，在y轴上存在满足条件的定点(0,1)16分22, , ，一一一x y17. （2015嘉定二模）已知椭圆C : % a b0）的左、右焦点分别为E、F2 ,点B （0,b）,过点B且与BF2垂直的直线交x轴负半轴于点uuuirD ,且 2FEuuuuF2Dr0。求证：B

36、F1F2是等边三角形;(2)若过B、D、F2三点的圆恰好与直线l： x 43y 30相切，求椭圆C的方程;(3)设过（2）中椭圆C的右焦点F2且不与坐标轴垂直的直线l与C交于P、Q两点，M是点P关于x轴的对称点。在x轴上是否存在一个定点N ,使得M、Q、N三点共线，若存在，求出点 N的坐标;若不存在，请说明理由。(1)设 D(X0, 0)(X0 0),由 F2(c,0) , B(0,b),故 F2B ( c,b), BD (X0 , b),因为 F2B BD ,所以 ex。b2 0 , (1 分)Xob2,故 F2 D cb- c,0 , （2 分） c又 F1F2（2c,0）,故由2FiF2

37、F2D 0 得 3c0,所以，b2 3c2。（3 分） c所以，tan BF2F1 b cBF2F160 ,即 BF1F2是等边三角形。（4分）（2）由（1）知，b v,3c ,故a 2c,此时，点D的坐标为（3c, 0）,（1分）BDF2是直角三角形，故其外接圆圆心为E（ c,0）,半径为2c, （3分）所以，| c 3| 2c, c 1, b 222所求椭圆C的方程为1 O43（6分）（3）由（2）得F2（1,0）,因为直线l过F2且不与坐标轴垂直，故可设直线 l的方程为:y k（x 1）, k 0。（1 分）y k（x 1）由X24v2，得（3 4k2）x2 8k2x134k2 120,

38、（2分）设 P（ X1,y1），Q（X2, y2）,则有 X1X28k23 4k2 'x1x22_4k 12/八、T，（3 分）3 4k由题意,M（X1,y1），故直线 QM的方向向量为d（X2X1 , y2y1），所以直线QM的方程为工 工汉，（4分）X2Xiy2y1y1（ X2X1）yX2 y2Xik（x1 1）x2 k（x2 1）x1X1y2y1y2y1k（X2 1） k（X11）2kxix2 k（x1 x2）k（x1 x2） 2k2x1x2（X1 X2）（X1 X2） 222。4k2 12 8k22 -7Z2 23 4k23 4k2工2 3 4 k224， 一、4 o （5 分

39、）6即直线QM与x轴交于定点（4,0）。所以，存在点N（4,0）,使得M、Q、N三点共线。（6分）(注：若设 N (x0, 0),由M、Q、N三点共线，得XiyiX2Xoy200,27分得 X。X1y2X2y1oy1y2六、定点或定直线问题2X18.已知椭圆方程为一42 y_ 万1 ,当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交与两不同点 A, B时，在线段AB上取点Q ,满足 |AP QB|AQPB ,证明：点Q总在某定直线上解：设点Q、A、B的坐标分别为(x, y),(X1, y1),(X2, y2)。由题设知又 A, P,从而2X11又点A、(1)uuu uuu uuu uuuAP , PB , AQ , QB均不为零，记B, Q四点共线，从而X12 2X22-4x ，(1)B在椭圆C上，即2X1rnurAP22y1(2) X2并结合(3), (4)得LuurPB ，X12 2y22X24,L L4X+2y=4,uuuAPPBuuuAQuuuQB，则 0且 1UULTAQuuuQB,y1_y2 。1L (2)2X22y2 4,L L (4)即点Q(X,y)总在定直线2x y 2 0上。19.已知椭圆C中心在原点，焦点在 x轴上，焦距为2,短轴长为2，3.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l ： y kx m k 0与椭