专题19,选修1-1综合练习（文）（解析版）

1、专题19,选修1-1综合练习（文）（解析版） 1 题 专题 19 选修 1-1 综合练习 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1若函数 ) (x f y = 可导，则" 0 ) ( =¢ xf 有实根'是" ) (x f 有极值'的( )。 a、必要不充分条件 b、充分不必要条件 c、充要条件 d、既不充分也不必要条件 【答案】a 【解析】 0 ) ( =¢ xf ，但 ) (xf ¢在零点左侧和右侧都同时大于零或者小于零时 ) (x f 在零点处无

2、极值， 但 ) (x f 有极值则 ) (xf ¢在极值处一定等于 0 ，故选 a。 2下列函数在点 0 = x 处没有切线的是( )。 a、 x x x f cos 3 ) (2+ = b、 x x x g sin ) ( × = c、 xxx h 21) ( + = d、xx wcos1) ( = 【答案】c 【解析】函数 xxx h 21) ( + = 在 0 = x 处不可导，点 0 = x 处没有切线，故选 c。 3已知双曲线 c ： 12222= -byax( 0 > a ， 0 > b )的一条渐近线方程是 x y 3 = ，它的一个焦点坐标为 )

3、 0 2 ( ， ，则双曲线 c 的方程为( )。 a、 12 62 2= -y x b、 1322= - yx c、 16 22 2= -y x d、 1322= -yx 【答案】d 【解析】双曲线 c ： 12222= -byax( 0 > a ， 0 > b )的一个焦点坐标为 ) 0 2 ( ， ， 2 = c ，焦点在 x 轴上， 2 渐近线方程是 x y 3 = ， 3 =ab，令 m b 3 = ( 0 > m )，则 m a= ， 2 22 2= = + = m b a c ， 1 = m ， 1 = a ， 3 = b ，双曲线方程为 1322= -yx ，

4、故选 d。 4已知点 ) 1 2 ( ， a 为抛物线 py x 22= ( 0 > p )上一点，则 a 到其焦点 f 的距离为( )。 a、23 b、212 + c、 2 d、 1 2 + 【答案】a 【解析】把 ) 1 2 ( ， a 代入抛物线中，解得 1 = p ，则抛物线的准线方程为21- = y ， 由抛物线的定义得23)21( 1 | | = - - = af ，故选 a。 5如果1p 、2p 、np 是抛物线 c ： x y 42= 上的点，它们的横坐标依次为1x 、2x 、nx ， f 是抛物线c 的焦点，若 102 1= + × + +nx x x ，则

5、= + × + + | | | | | |2 1f p f p f pn( )。 a、 10 + n b、 20 + n c、 10 2 + n d、 20 2 + n 【答案】a 【解析】由题可知抛物线的焦点为 ) 0 1 ( ， ，准线为 1 - = x ， 由抛物线定义可知 1 | |1 1+ = x f p 、 1 | |2 2+ = x f p 、， 故 10 | | | | | |2 1+ = + × + + n f p f p f pn，故选 a。 6已知椭圆 c ： 12222= +byax( 0 > > b a )，点 m 、 n 、 f 分别

6、为椭圆 c 的左顶点、上顶点、左焦点，若 = Ðmfn o90 + Ðnmf ，则椭圆 c 的离心率是( )。 a、21 2 - b、21 3 - c、21 5 - 3 d、23 【答案】c 【解析】依题意有2 2b a mn + = ， c a mf - = ， a nf = ，o90 + Ð = Ð nmf mfn ， nmf nmf mfn Ð = + Ð = Ð cos ) 90 sin( sino，即2 2b aaab+= ，解得21 522-=ab， 离心率21 5122-= - =abe ，故选 c。 7已知抛

7、物线 c ： x y 162= ，焦点为 f ，直线 l ： 1 - = x ，点 l aÎ ，线段 af 与抛物线 c 的一个交点为 b ，若 fb fa 5 = ，则 = | | af ( )。 a、 3 4 b、 2 6 c、 35 d、 40 【答案】c 【解析】过 b 作 be l 于 e ，设 l 与 x 轴的交点为 d ，则| | | | |fdbefaba= ， fb fa 5 = ， | |5| | |45| | |be befdbafa= = = ， 4 | | = be ， 又 7 3 | | | | = + = be fb ， 35 | | 5 | | = =

8、 fb fa ，故选 c。 8若关于 x 的不等式 0 < + - × a ax e xx的解集为 ) ( n m， ( 0 < n )，且 ) ( n m， 中只有一个整数，则实数 a 的取值范围是( )。 a、 )1 12e e， b、 )21322e e， c、 )2 12e e， d、 )1322e e， 【答案】b 【解析】设xe x x g × = ) ( ， a ax y - = ，由题设原不等式有唯一整数解， 即xe x x g × = ) ( 在直线 a ax y - = 下方，xe x x g × + = ¢ )

9、 1 ( ) ( ， 4 ) (x g 在 ) 1 ( - -¥， 递减，在 ) 1 ( ¥ + - ， 递增， 故eg x g1) 1 ( ) (min- = - = ， a ax y - = 恒过定点 ) 0 1 ( ， p ， 结合函数图像得pb pak a k < £ ，即eae 21322< £ ，故选 b。 9已知函数 c bx ax x x f + + + =2 32131) ( 在1x 处取得极大值，在2x 处取得极小值，满足 ) 0 1 (1， - Î x ， ) 1 0 (2， Î x ，则24 2+

10、+ab a的取值范围是( )。 a、 ) 3 0 ( ， b、 3 0 ， c、 ) 3 1 ( ， d、 3 1 ， 【答案】c 【解析】 c bx ax x x f + + + =2 32131) ( ， b ax x x f + + = ¢2) ( ， 函数 ) (x f 在区间 ) 0 1 ( ， - 内取得极大值，在区间 ) 1 0 ( ， 内取得极小值， 0 ) (2= + + = ¢ b ax x x f 在 ) 0 1 ( ， - 和 ) 1 0 ( ， 内各有一个根， 0 ) 0 ( <¢ f， 0 ) 1 ( > -¢ f

11、， 0 ) 1 ( >¢ f， 即ïîïíì> + +> + -<0 10 10b ab ab，在 aob 坐标系中画出其表示的区域，212 124 2+´ + =+ +abab a， 令21+=abm ，其几何意义为区域中任意一点与点 ) 1 2 ( - - ， 连线的斜率， 分析可得 1210 <+<ab，则 324 21 <+ +<ab a，24 2+ +ab a的取值范围是 ) 3 1 ( ， ，故选 c。 10已知1f 、2f 分别是双曲线 e ： 12222= -b

12、yax( 0 > a ， 0 > b )的左、右焦点，且 2 | |2 1= f f ，若 p 是该双曲线右支上一点，且满足 | | 2 | |2 1pf pf = ，则2 1 fpf d 面积的最大值是( )。 a、 1 b、34 c、35 d、 2 【答案】b 【解析】设 m pf = | |1， n pf = | |2， q = Ð2 1 pff ，由题意得 n m 2 = ， 1 = c ， 5 由双曲线定义得 a n m 2 = - ， a a c a n - = - ³ = 1 2 Þ31³ a Þ32³ n

13、Þ942³ n ， 由余弦定理得22 2 244 524cosnnmnc n m -=- += q ， 2222)44 5( 1 sin212 1nnn mn sf pf- = q =d 349256)920( 94116 40 9412 2 2 4³ + - - = - + - = n n n ， 当949202> = n 时，2 1 fpf d 面积的最大值是34，故选 b。 11点 p 到曲线 c 上每一点的距离的最小值称为点 p 到曲线 c 的距离，已知点 ) 0 2 ( ， p ，若点 p 到曲线 c 的距离为 3 ，在下列曲线中不符合题意的是(

14、)。 a、 0 32 2= - y x b、 3 ) 3 ( ) 1 (2 2= - + + y x c、 45 9 52 2= + y x d、 x y 22= 【答案】c 【解析】a 选项，由 0 32 2= - y x 可知 0 3 = ± y x ， 则点 ) 0 2 ( ， p 到直线 0 3 = ± y x 的最短距离为 3 = d ，符合题意， b 选项， 3 ) 3 ( ) 1 (2 2= - + + y x 是圆心为 ) 3 1 ( ， - c ，半径为 3 = r 的圆， 则点 ) 0 2 ( ， p 到曲线 c 的最短距离为： 3 3 ) 3 ( )

15、1 2 ( | |2 2= - + + = - = r pc d ，符合题意， c 选项， 45 9 52 2= + y x 可化为椭圆 c ： 15 92 2= +y x，设 c 上任意一点 ) sin 5 cos 3 ( q q， q ， 则点 ) 0 2 ( ， p 到曲线 c 上任意一点的距离为： q + q + q - = q + q - = =2 2 2 2sin 5 cos 9 cos 12 4 ) sin 5 ( ) cos 3 2 ( | | pq d q - = - q = + q - q = cos 2 3 ) 3 cos 2 ( 9 cos 12 cos 42 2， 5

16、 1 £ £ d ，最小值为 1 ，不符合题意， d 选项， x y 22= 上任意一点 ) 2 2 (2t t m ， ，则点 ) 0 2 ( ， p 到曲线 c 上任意一点的距离为： 2 2 4 2 2 24 4 8 4 ) 2 ( ) 2 2 ( | | t t t t t pm d + + - = + - = = 6 343)21( 2 4 4 42 2 2 4³ + - = + - = t t t ，符合题意， 故填 c。 12已知函数2 323) ( ax x x f - = ，且关于 x 的方程 0 ) ( = +a x f 有三个不等的实数根，则实

17、数 a 的取值范围是( )。 a、 ) 2 0 ( ) 2 ( ， ， u - -¥ b、 ) 2 ( ) 2 ( ¥ + - -¥ ， ， u c、 ) 2 2 ( ， - d、 ) 2 ( ) 0 2 ( ¥ + - ， ， u 【答案】b 【解析】令 a ax x a x f x g + - = + =2 323) ( ) ( ，得 ) ( 3 3 3 ) (2a x x ax x x g - = - = ¢ ， 当 0 = a 时， 0 ) ( ³¢ xg ，函数 ) (x g 为增函数，不合题意， 当 0 <

18、 a 时， ) ( a x ， -¥ Î 、 ) 0 ( ¥ + ， 时， 0 ) ( >¢ xg ， ) 0 ( ， a xÎ 时， 0 ) ( <¢ xg ， ) ( a x ， -¥ Î 、 ) 0 ( ¥ + ， 时， ) (x g 单调递增， ) 0 ( ， a xÎ 时， ) (x g 单调递减， a x= 时函数有极大值为 a a a a g + - =3 323) ( ， 0 = x 时函数有极小值为 a g = ) 0 ( ， 由ïîï

19、íì<> + -00233 3aa a a得 2 - < a ， 当 0 > a 时， ) 0 ( ， -¥ Î x 、 ) ( ¥ + ， a 时， 0 ) ( >¢ xg ， ) 0 ( a x ， Î 时， 0 ) ( <¢ xg ， ) 0 ( ， -¥ Î x 、 ) ( ¥ + ， a 时， ) (x g 单调递增， ) 0 ( a x ， Î 时， ) (x g 单调递减， 0 = x 时函数有极大值为 a g = ) 0 (

20、 ， a x= 时函数有极小值为 a a a a g + - =3 323) ( ， 由ïîïíì< + ->02303 3a a aa得 2 > a ， 综上，实数 a 的取值范围是 ) 2 ( ) 2 ( ¥ + - -¥ ， ， u ，故选 b。 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13已知1f 、2f 为椭圆 c ： 116222= +yax的左、右焦点， m 为椭圆上一点，且2 1 fmf d 内切圆的周长等于 p 3 ， 7 若满足条件的点 m 恰好有两个，则 = a

21、。 【答案】 5 ± 【解析】由题意得内切圆的半径等于23，因此2 1 fmf d 的面积为2) ( 3) 2 2 (2321 c ac a+= + ´ ´ ， 即 c yc am2 | |212) ( 3´ ´ =+，满足条件的点 m 恰好有两个， m 为椭圆短轴端点，即 4 | | =my ， c a 5 3 = ，而 162 2= -c a ， 252= a ， 5 ± = a 。 14已知抛物线 y x 42= 的焦点为 f ，准线为 l ， p 为抛物线上一点，过 p 作 l pa 于点 a ，当o30 = Ðaf

22、o ( o 为坐标原点)时， = | | pf 。 【答案】34 【解析】令 l 与 y 轴交点为 b ，在 abf rtd 中，o30 = Ðafb ， 2 = bf ， 33 2= ab ，若 ) (0 0y x p ， ( 00 >x )，则33 20= x ， 代入 y x 42= 中，则310 =y ，而341 | | | |0= + = = y pf pf 。 15函数 ) (x f y = 的导函数的图像如图所示，给出下列判断： 函数 ) (x f y = 在区间 ) 5 3 ( ， 内单调递增； 函数 ) (x f y = 在区间 ) 321( ， - 内单调递

23、减； 函数 ) (x f y = 在区间 ) 2 2 ( ， - 内单调递增； 当21- = x 时，函数 ) (x f y = 有极大值； 当 2 = x 时，函数 ) (x f y = 有极大值； 则上述判断中正确的是 。 【答案】 【解析】 ) 4 3 ( ， 时 0 ) ( <¢ xf ， ) (x f 单调递减， ) 5 4 ( ， 时 0 ) ( >¢ xf ， ) (x f 单调递增，错， ) 221( ， - 时 0 ) ( >¢ xf ， ) (x f 单调递增， ) 3 2 ( ， 时 0 ) ( <¢ xf

24、， ) (x f 单调递减，错， ) 2 2 ( ， - 时 0 ) ( >¢ xf ， ) (x f 单调递增，对， ) 2 2 ( ， - 时 0 ) ( >¢ xf ， ) (x f 单调递增，当21- = x 时 ) (x f 不是极大值，错， ) 221( ， - 时 0 ) ( >¢ xf ， ) (x f 单调递增， ) 3 2 ( ， 时 0 ) ( <¢ xf ， ) (x f 单调递减， 2 = x 为极大值，对。 8 16已知函数 ) ( 2 ) (1 1 2 + - -+ × + - =x xe

25、e a x x x f 有唯一一个零点，则 = a 。 【答案】21 【解析】 0 )1( 1 ) 1 ( ) ( 2 ) (11 2 1 1 2= + × + - - = + × + - =- + - -xx x xee a x e e a x x x f ， 函数 ) (x f 有唯一一个零点等价于方程 )1( 1 ) 1 (11 2-+ × = + - -xxee a x 有唯一解， 等价于 1 ) 1 ( ) (2+ - - = x x g 与 )1( ) (11-+ × =xxee a x h 的图像只有唯一一个交点， 当 0 = a 时， 1

26、 2 ) (2- ³ - = x x x f ，此时有两个零点，矛盾， 当 0 < a 时， ) (x g 在 ) 1 ( ， -¥ 上单调递增，在 ) 1 ( ¥ + ， 上单调递减， 函数 ) (x g 的图像的最高点为 ) 1 1 ( ， a ， )1( ) (11-+ × =xxee a x h 的图像的最高点为 ) 2 1 ( a b ， ， 1 0 2 < < a ，此时 ) (x g 与 ) (x h 的图像有两个交点，矛盾， 当 0 > a 时，函数 ) (x g 的图像的最高点为 ) 1 1 ( ， a ， )

27、(x h 的图像的最底点为 ) 2 1 ( a b ， ， 由题可知点 a 与点 b 重合时满足条件，即 1 2 = a ，即21= a ，符合条件， 综上所述，21= a 。 三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17（10 分）已知 r mÎ ，设命题 p ： 1 1 ， - Î "x ， 0 2 8 4 22 2³ - + - - m m x x 成立，命题 q ： 2 1 ， Î $x ，1 ) 1 ( log221- < + -mx x 成立。如果" q pÚ

28、'为真，" q pÙ '为假，求 m 的取值范围。 【解析】若 p 为真：对 1 1 ， - Î "x ， 2 2 8 42 2- - £ - x x m m 恒成立， 设 2 2 ) (2- - = x x x f ，配方得 3 ) 1 ( ) (2- - = x x f ， ) (x f 在 1 1 ， - 上的最小值为 3 - ， 3 8 42- £ - m m ，解得2321£ £m ， p 为真时2321£ £m ， 3 分 若 q 为真： 2 1 ， Î $

29、x ， 2 12> + -mx x 成立，xxm12-< 成立， 设xxxxx g1 1) (2- =-= ，易知 ) (x g 在 2 1 ， 上是增函数， ) (x g 的最大值为23) 2 ( = g ， 23< m ， q 为真时23< m ， 6 分 q pÚ 为真， q pÙ 为假， p 与 q 一真一假， 9 当 p 真 q 假时ïïîïïíì³£ £232321mm，23= m ，当 p 假 q 真时ïïî

30、ïïíì<> <232321mm m 或，21< m ， 综上所述， m 的取值范围是21< m 或23= m 。 10 分 18（12 分）设圆 0 15 22 2= - + + x y x 的圆心为 a ，直线 l 过点 ) 0 1 ( ， b 且与 x 轴不重合， l 交圆 a 于 c 、 d 两点，过 b 作 ac 的平行线交 ad 于点 e 。 (1)证明 | | | | eb ea + 为定值，并写出点 e 的轨迹方程； (2)设点 e 的轨迹为曲线1c ，直线 l 交1c 于 m 、 n 两点，过 b 且与 l

31、 垂直的直线与圆 a 交于 p 、 q 两点，求四边形 mpnq 面积的取值范围。 【解析】(1)证明： | | | | ac ad = ， ac eb/ ，故 adc acd ebd Ð = Ð = Ð ， | | | | ed eb = ，故 | | | | | | | | | | ad ed ea eb ea = + = + ， 1 分 又圆 a 的标准方程为 16 ) 1 (2 2= + + y x ，从而 4 | | = ad ， 4 | | | | = + eb ea ， 2 分 由题设得 ) 0 1 ( ， - a ， ) 0 1 ( ， b ， 2

32、 | | = ab ， 点 e 的轨迹是以 a 、 b 为焦点的椭圆， 设 e ： 12222= +byax( 0 > > b a )， 0 ¹ y ， 3 分 则 2 = a 、 1 = c ， 3 = b ，则轨迹 c 的方程为 13 42 2= +y x( 0 ¹ y )； 4 分 (2)当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 ) 1 ( - = x k y ( 0 ¹ k )， ) (1 1y x m ， 、 ) (2 2y x n ， ， 由îíì= +- =12 4 3) 1 (2 2y xx k y得：

33、 0 12 4 8 ) 4 3 (2 2 2 2= - + - + k x k x k ， 0 > d 恒成立， 6 分 则222 14 38kkx x+= + ，222 14 312 4kkx x+-= × ，222 124 3) 1 ( 12| | 1 | |kkx x k mn+= - + = ， 7 分 过点 ) 0 1 ( ， b 且与 l 垂直的直线 m ： ) 1 (1- - = xky ， a 到 m 的距离为122+ k， 8 分 13 44 )12( 4 2 | |22222+=+- =kkkpq ， 故四边形 mpnq 的面积3 411 12 | | |

34、|212+ = ´ ´ =kpq mn s， 9 分 可得当 l 与 x 轴不垂直时，四边形 mpnq 面积的取值范围为 ) 3 8 12 ( ， ， 10 分 当 l 与 x 轴垂直时，其方程为 1 = x ， 3 | | = mn ， 8 | | = pq ，四边形 mpnq 的面积为 12 ， 11 分 10 综上，四边形 mpnq 面积的取值范围为 ) 3 8 12 ， 。 12 分 19（12 分）已知函数 x e e x fx x4 2 ) (2- - = 。 (1)求 ) (x f 的单调区间； (2)当 0 > x 时， x a e x f ax) 1

35、 4 ( ) ( + - < × 恒成立，求 a 的取值范围。 【解析】(1) ) (x f 的定义域为 r ， ) 2 )( 1 ( 2 4 2 2 ) (2- + = - - = ¢x x x xe e e e x f ， 令 0 ) ( =¢ xf ，解得 2 ln = x ， 2 分 当 ) 2 ln ( ， -¥ Î x ， 0 ) ( <¢ xf ，则函数 ) (x f 在 ) 2 ln ( ， -¥ 上单调递减， 3 分 当 ) 2 (ln ¥ + Î ， x ， 0 ) ( &

36、gt;¢ xf ，则函数 ) (x f 在 ) 2 (ln ¥ + ， 上单调递增； 4 分 (2)令 x e a e a x a e x f a x gx x x+ + - × = + + - × = ) 1 2 ( ) 1 4 ( ) ( ) (2， 则当 ) 0 ( ¥ + Î ， x 时， 0 ) ( < x g 恒成立， ) 1 )( 1 2 ( 1 ) 1 2 ( 2 ) (2- - × = + + - × = ¢x x x xe e a e a e a x g ， 5 分 当210 &

37、lt; < a ， ) 2 ln ( ¥ + - Î ， a x 时， 0 ) ( >¢ xg 恒成立， ) (x g 在 ) 2 ln ( ¥ + - ， a 上是增函数，且 ) ) 2 ln ( ( ) ( ¥ + - Î ， a g x g ，不符合题意， 7 分 当21³ a ， ) 0 ( ¥ + Î ， x 时， 0 ) ( >¢ xg 恒成立， ) (x g 在 ) 0 ( ¥ + ， 上是增函数，且 ) ) 0 ( ( ) ( ¥ + 

38、06; ， g x g ，不符合题意， 9 分 当 0 £ a ， ) 0 ( ¥ + Î ， x 时，恒有 0 ) ( <¢ xg ，故 ) (x g 在 ) 0 ( ¥ + ， 上是减函数， 于是" 0 ) ( < x g 对任意 ) 0 ( ¥ + Î ， x 都成立'的充要条件是 0 ) 0 ( £ g ， 即 0 ) 1 2 ( £ + - a a ，解得 1 - ³ a ，故 0 1 £ £ - a ， 11 分 综上， a 的取值范

39、围是 0 1 ， - 。 12 分 20（12 分）已知点 p 是圆1f ： 16 ) 1 (2 2= + + y x 上任意一点(1f 是圆心)，点2f 与点1f 关于原点对称，线段2pf 的中垂线 m 分别与1pf 、2pf 交于 m 、 n 两点。 (1)求点 m 的轨迹 c 的方程； (2)直线 l 经过2f ，与抛物线 x y 42= 交于1a 、2a 两点，与 c 交于1b 、2b 两点，当以2 1 bb 为直径的圆经过1f时，求 | |2 1 aa 。 【解析】(1)由题意得 ) 0 1 (1， - f ， ) 0 1 (2， f ，圆1f 的半径为 4 ，且 | | | |2m

40、p mf = ， 1 分 | | 4 | | | | | | | | | |2 1 1 1 2 1f f pf mp mf mf mf > = = + = + ， 点 m 的轨迹是以1f 、2f 为焦点的椭圆， 2 分 设 c ： 12222= +byax( 0 > > b a )，则 2 = a 、 1 = c ， 3 = b ， 11 则轨迹 c 的方程为 13 42 2= +y x； 3 分 (2)当直线 l 与 x 轴垂直时，可取 )231 (1， b ， )231 (2- ， b ，又 ) 0 1 (1， - f ，此时 01 2 1 1¹ ×

41、f b f b ， 以2 1 bb 为直径的圆不经过1f ，不满足条件， 4 分 当直线 l 不与 x 轴垂直时，设 l ： ) 1 ( - = x k y ，由ïîïíì= +- =13 4) 1 (2 2y xx k y， 得 0 12 4 8 ) 4 3 (2 2 2 2= - + - + k x k x k ， 0 > d 恒成立，恒有两个交点， 6 分 设 ) (1 1 1y x b ， ， ) (2 2 2y x b ， ，则222 14 38kkx x+= + ，222 14 312 4kkx x+-= × ， 7

42、 分 以2 1 bb 为直径的圆经过1f ， 01 2 1 1= × f b f b ， 又 ) 0 1 (1， - f ， 0 ) 1 )( 1 (2 1 2 1= × + - - - - y y x x ， 即 0 1 ) )( 1 ( ) 1 (22 122 12= + + + - + × + k x x k x x k ，解得792= k ， 9 分 由îíì- =) 1 (42x k yx y得： 0 ) 4 2 (2 2 2 2= + + - k x k x k ，直线 l 与抛物线有两个交点， 0 ¹ k ，

43、设 ) (3 3 1y x a ， 、 ) , (4 4 2y x a ，则2 224 3424 2k kkx x + =+= + ， 14 3= ×x x ， 11 分 964242 | |24 3 2 1= + + = + + =kp x x a a。 12 分 21（12 分）已知函数2 3) ( ax x x f - = ，常数 r aÎ 。 (1)若 1 = a ，过点 ) 0 1 ( ， 做曲线 ) (x f y = 的切线 l ，求 l 的方程； (2)若曲线 ) (x f y = 与直线 1 - = x y 只有一个交点，求实数 a 的取值范围。 【解析】(

44、1)设切点 ) (0 0y x p ， ，则 p 处的切线方程为2030 0 020) )( 2 3 ( x x x x x x y - + - - = ， 1 分 该直线经过点 ) 0 1 ( ， ，则2030 0 020) 1 )( 2 3 ( 0 x x x x x - + - - = ， 2 分 化简得 0 202130= + - x x x ，解得 00 =x 或 10 =x ， 3 分 切线方程为 0 = y 和 1 - = x y ； 4 分 (2)由题意可知 0 12 3= + - - x ax x 只有一个根，设 1 ) (2 3+ - - = x ax x x g ， 5

45、分 则 1 2 3 ) (2- - = ¢ ax x x g ， 0 12 42> + = d a ， ) (xg¢有两个零点1x 、2x ， 6 分 即 0 1 2 32= - - ax x 有两个根1x 、2x ，322 1ax x = + ， 0312 1< - = ×x x ，xxa21 32-= ， 7 分 设2 10 x x < < ，则 ) (x g 在 ) (1x ， -¥ 和 ) (2¥ + ， x 单调递增，在 ) (2 1x x， 单调递减， 12 则 ) (1x g 为极大值， ) (2x g 为

46、极小值， 8 分 则方程 0 12 3= + - - x ax x 只有一个根等价于 0 ) (1> x g 且 0 ) (2> x g 或 0 ) (1< x g 且 0 ) (2< x g ， 又当 0 ) ( =¢ xg 时 12 21121 313 223 2 3+ - - = + - ×- = + - -xx x xxxx x ax x ， 10 分 设 12 21) (3+ - - =xx x h ， 02123) (2< - - = ¢ x x h ， ) (x h 为减函数， 又 0 ) 1 ( = h ， 1 < x 时 0 ) ( > x h ， 1 > x 时 0 ) ( < x h ， 1x 、2x 都大于 1 或小于 1 ，