二次函数动轴与动区间问题

1、1 / 8 二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设fxaxbxc a( )()20，求fx( )在xmn，上的最大值与最小值。分析：将f x( )配方，得顶点为baacba2442，、对称轴为xba2当a0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在m ，n 上f x( )的最值：（ 1 ） 当bamn2，时 ，fx( )的 最 小 值 是fbaacbaf x2442， ( )的 最 大 值 是f mf n()( )、中的较大者。（2）当bamn2，时若bam2，

2、由fx( )在mn，上是增函数则fx( )的最小值是f m()，最大值是fn( )若nba2，由fx( )在mn，上是减函数则fx( )的最大值是f m()，最小值是f n( )当a0时，可类比得结论。二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。 对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（ 3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值” 。例 1. 函数yxx242在区间 0，

3、3上的最大值是_，最小值是 _。解：函数yxxx224222()是定义在区间0， 3 上的二次函数，其对称轴方程是x2，顶点坐标为（2，2） ，且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在0，3上，如图 1 所示。函数的最大值为f ( )22，最小值为f ( )02。图 1 练习 .已知232xx，求函数f xxx( )21的最值。解：由已知232xx，可得032x，即函数fx( )是定义在区间032，上的二次函数。2 / 8 将二次函数配方得f xx( )12342，其对称轴方程x12，顶点坐标1234，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间032，内，如图2 所示。函数f x( )的最小值为f

4、( )01，最大值为f32194。图 2 2、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值” 。例 2. 如果函数f xx( )()112定义在区间tt，1上，求fx( )的最小值。解：函数fxx( )()112，其对称轴方程为x1，顶点坐标为（1，1） ，图象开口向上。图 1 图 2 图 3 如图 1 所示，若顶点横坐标在区间tt，1左侧时，有1t，此时，当xt时，函数取得最小值fxf tt( )( )()min112。如图 2 所示，若顶点横坐标在区间tt，1上时，有tt11，即01t。当x1时，函数取得最小值f xf( )( )m

5、in11。如图 3 所示，若顶点横坐标在区间tt，1右侧时， 有t11， 即t0。 当xt1时，函数取得最小值f xf tt( )()min112综上讨论，0110, 11, 1)1()(22mintttttxf例 3. 已知2( )23f xxx，当1()xtttr，时，求( )f x的最大值解：由已知可求对称轴为1x（1）当1t时，2minmax( )( )23( )(1)2f xf tttf xf tt，（2）当11tt ，即01t 时， 根据对称性，若2121tt即102t时，2max( )( )23f xf ttt若2121tt即112t 时，2max( )(1)2f xf tt（3

6、）当11t即0t时，2max( )( )23fxf ttt3 / 8 综上，21,3221, 2)(22maxtttttxf观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨

7、论。根据这个理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：当a0时)(212)()(212)()(21max如图如图，nmabnfnmabmfxf)(2)()(2)2()(2)()(543min如图如图如图，mabmfnabmabfnabnfxf当a0时)(2)()(2)2()(2)()(876max如图如图如图，mabmfnabmabfnabnfxff xf mbamnf nbamn( )( )()()( )()()min，如图如图2122129103、轴变区间定二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次

8、函数在定区间上的最值”。例 4. 已知x21，且a20，求函数fxxax( )23的最值。4 / 8 解：由已知有112xa，于是函数fx( )是定义在区间11，上的二次函数，将fx( )配方得：f xxaa( )23422二次函数f x( )的对称轴方程是xa2顶点坐标为aa2342，图象开口向上由a2可得xa21，显然其顶点横坐标在区间11，的左侧或左端点上。函数的最小值是fa() 14，最大值是fa( )14。图 3 例 5. (1) 求2f ( x)x2ax1在区间 -1,2 上的最大值。(2) 求函数)(axxy在 1,1x上的最大值。解： (1)二次函数的对称轴方程为xa，当1a2

9、即1a2时，maxf (x )f ( 2 )4a5；当1a2即1a2时，maxf (x )f(1)2a2。综上所述：max12a2,a2f ( x )14a5,a2。(2)函数4)2(22aaxy图象的对称轴方程为2ax，应分121a，12a，12a即22a，2a和2a这三种情形讨论，下列三图分别为（1）2a；由图可知max( )( 1)f xf（2）a22；由图可知max( )()2af xf（3）2a时；由图可知max( )(1)f xf5 / 8 2,)1 (22,)2(2,)1(afaafafy最大；即2,122,42,) 1(2aaaaaay最大4. 轴变区间变二次函数是含参数的函数

10、，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值” 。例 6.已知24 ()(0),ya xa a，求22(3)uxy的最小值。解：将24 ()ya xa代入 u 中，得，即时，即时，（二）、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。例 7. 已知函数2( )21f xaxax在区间 3,2上的最大值为4，xx 数 a 的值。解：2( )(1)1, 3,2f xa xa x（1）若0,( )1,afx，不符合题意。（2）若0,a则max( )(2)81f xfa，由814a，得38a（3）若0a时，则max( )( 1)1f xfa，由14a，得3

11、a综上知38a或3a例8.已知函数2( )2xf xx在区间, m n上的最小值是3m最大值是3n，求m，n的值。解法 1：讨论对称轴中1 与,2mnmn的位置关系。若，则maxmin( )( )3( )()3f xf nnf xf mm，解得6 / 8 若12mnn，则maxmin( )(1)3( )()3f xfnf xf mm，无解若12mnm，则maxmin( )(1)3( )( )3f xfnf xf nm，无解若，则maxmin( )()3( )( )3f xf mnf xf nm，无解综上，4,0mn解析 2：由211( )(1)22f xx，知113,26nn，则, (,1m

12、n，又在, m n上当x增大时)(xf也增大所以maxmin( )( )3( )()3f xf nnf xf mm，解得4,0mn评注：解法2 利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m，n的取值 x 围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。例 9. 已知二次函数2f ( x )ax( 2a1)x1在区间3,22上的最大值为3， xx 数 a 的值。这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分a0与a0两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。 若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程就简明多了。具体解法为：（1）令2a1f()3

13、2a，得1a2此时抛物线开口向下，对称轴方程为x2，且32,22，故12不合题意；（2）令f( 2 )3，得1a2此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故1a2符合题意；（3）若3f()32，得2a3此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故2a3符合题意。综上，1a2或2a3解后反思：若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法，利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处7 / 8 取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍，从而避开繁难的分类讨论，使解题过程简洁、明了。三、巩固训练1函数y12xx在1

14、, 1上的最小值和最大值分别是（）)(a1 ,3 )(b43,3 （c）21,3 （d）41, 3 2函数242xxy在区间4, 1上的最小值是（）)(a7)(b4)(c2)(d2 3函数5482xxy的最值为（）)(a最大值为 8，最小值为0 )(b不存在最小值，最大值为8 （c）最小值为0, 不存在最大值)(d不存在最小值，也不存在最大值4若函数 4, 0,422xxxy的取值 x 围是 _ 5已知函数fxaxaxa( )()()22130322在区间，上的最大值是1，则实数a的值为6如果实数yx,满足122yx，那么)1)(1(xyxy有（）(a)最大值为1 , 最小值为21(b)无最大

15、值，最小值为43（c）)最大值为1, 无最小值(d) 最大值为1，最小值为437已知函数322xxy在闭区间,0m上有最大值3，最小值2，则m的取值 x 围是（）(a) ),1 (b) 2,0(c) 2 ,1 (d) 2,(8若12, 0,0yxyx，那么232yx的最小值为 _ 9设21,xxrm是方程01222mmxx的两个实根，则2221xx的最小值 _ 10 设),(1,44)(2rtttxxxxf求函数)(xf的最小值)(tg的解析式。11 已知)(xf22aaxx，在区间 1 ,0上的最大值为)(ag，求)(ag的最小值。12. （2009xx卷）设a为实数，函数2( )2()|f xxxaxa.(1)若(0)1f，求a的取值 x 围；(2)求( )f x的最小值；(3)设函数( )( ),( ,)h xf x xa，直接写出(不需给出演算步骤)不等式( )1h x的解集 .解析 本小题主要考查函数的概念、性质、 图象与解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用8 / 8 数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。（1）若(0)1f，则20| 111aa aaa（2）当xa时，22( )32,f xxaxa22min( ),02,0( )2(),0,033faaaafxaafaa当xa时，22(