江苏省南京师大附中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷(20211202013153)

1、2014-2015 学年江苏省南京师大附中高一（上）期中数学试卷一、填空题： （本大题共14 小题；每小题3 分，共 42 分，把答案填在答题卡的相应位置）1 （3 分）设全集 u=0 ，1，2，3，4，a=0 ，1，2，3，b=2 ，3，4，则（?a）（?b）=2 （3 分）函数y=log2（3x2）的定义域是3 （3 分）如图，设实数a，b，c，d0，且不等于1，曲线 ， ， ， 分别表示函数y=ax，y=bx，y=logcx，y=logdx 在同一坐标系中的图象，则a，b， c，d 的大小顺序为4 （3 分）某高级中学高一特长班有100 名学生，其中学绘画的学生有67 人，学音乐的学生有

2、 45 人，而学体育的学生既不能学绘画，也不能学音乐，人数是21 人，那么同时学绘画和音乐的学生有人5 （3 分）已知幂函数y=x的图象过点（8，4） ，则这个函数的解析式是6 （3 分）已知函数f（ n）=，其中 n n，则 f（8）等于7 （3 分）设 lg2=a，lg3=b，则 log512=8 （3 分）函数y=lg（x22x）的单调递增区间是9 （3 分） f（x）是定义在（0，+）上的单调增函数，若f（x） f（2x） ，则 x 的取值范围是10 （ 3分） （log43+log83） （log32+log92）+log=11 （ 3 分）函数f（x）=xlog2x3 的零点所在区

3、间为（k，k+1） （k z） ，则 k 的值是12 （ 3分）已知函数f（x）=的定义域是一切实数，则m 的取值范围是13 （3 分）若函数 y=x2 3x4 的定义域为 0，m，值域为 ，4，则 m 的取值范围是14 （ 3 分）已知 f（x）是 r 上的奇函数，满足f（x+2）=f（x） ，当 x （0，1）时， f（x）=2x2，则 f（log6）=二、解答题： （本大题共6 小题，共计58 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内.）15 （ 8分）集合a=x|3 x10 ，b=x|2 x7，c=x|x a，（1）求 ab；（2）求（ ?ra） b；（3

4、）若 a c ?，求 a 的取值范围16 （ 8分）函数y=a2x+2ax1（a 0 且 a 1）在区间 1，1上有最大值14，试求 a 的值17 （10 分）已知 a为实数， 当 a 分别为何值时， 关于 x 的方程 |x26x+8|a=0 有两个、 三个、四个互不相等的实数根？18 （ 10 分）某校学生研究性学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化老师讲课开始时学生的兴趣激增，接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散该小组发现注意力指标f （t） 与上课时刻第t 分钟末的关系如下 （t（0， 40，设上课开始时，t=0） ：f（t）=（a0

5、且 a 1） 若上课后第5 分钟末时的注意力指标为 140，（1）求 a 的值；（2）上课后第5分钟末和下课前5 分钟末比较，哪个时刻注意力更集中？（3）在一节课中，学生的注意力指标至少达到140 的时间能保持多长？19 （ 10 分）已知函数f（x） =2ax+（a r） （1）当 0a 时，试判断f（x）在（ 0，1上的单调性并用定义证明你的结论；（2）对于任意的x （0，1，使得 f（x） 6 恒成立，求实数a的取值范围20 （ 12 分）已知函数f（x） =lg（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）若 f（x） 1，求实数x 的取值范围；（3）关于 x 的方程 10f（x）=ax 有实

6、数解，求实数a 的取值范围2014-2015 学年江苏省南京师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题： （本大题共14 小题；每小题3 分，共 42 分，把答案填在答题卡的相应位置）1 （3 分）设全集 u=0 ，1，2，3，4，a=0 ，1，2，3，b=2 ，3，4，则（?a）（?b）=0 ，1，4考点 ：交、并、补集的混合运算专题 ：集合分析：由全集 u，以及 a， b，求出 a 的补集与b 的补集，找出两补集的并集即可解答：解：全集u=0 ，1，2， 3，4 ， a=0 ，1，2，3 ，b=2 ，3，4 ，?a=4 ，?b=0 ，1，则（ ?a）（ ?b）=0 ，1，4

7、，故答案为： 0 ，1， 4 点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2 （3 分）函数y=log2（3x2）的定义域是 x|x 考点 ：函数的定义域及其求法分析：对数函数的真数一定要大于0，即， 3x20，从而求出x 的取值范围解答：解：因为3x 20，得到 x故答案为： x|x 点评：对数函数定义域经常考，注意真数一定要大于03 （3 分）如图，设实数a，b，c，d0，且不等于1，曲线 ， ， ， 分别表示函数y=ax，y=bx，y=logcx，y=logdx 在同一坐标系中的图象，则a，b， c，d 的大小顺序为dcab考点 ：对数函数的图像与性质；指数函

8、数的图像与性质专题 ：函数的性质及应用分析：根据指数函数的和对数的函数的图象和性质判断即可解答：解：由函数的图象可得 y=ax 是减函数， y=bx是减函数，故底数a，b 都是大于0 且小于 1 的实数作出直线x=1 和函数 图象的交点，可得ab，故 0ba 1由函数的图象可得函数 y=logcx 和 y=logdx 是增函数，故底数c，d 都是大于1的实数作出直线y=1 和函数 图象的交点，可得dc，故有d c1综上可得d cab 故答案为： dca b 点评：本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质，属于基础题4 （3 分）某高级中学高一特长班有100 名学生，其中学绘画的学生有67

9、人，学音乐的学生有 45 人，而学体育的学生既不能学绘画，也不能学音乐，人数是21 人，那么同时学绘画和音乐的学生有33 人考点 ：venn 图表达集合的关系及运算专题 ：集合分析：根据学生学特长之间的关系即可得到结论解答：解：学体育的学生既不能学绘画，也不能学音乐，人数是21 人，学绘画和学音乐的人数是10021=79 人，学绘画的学生有67 人，学音乐的学生有45 人，同时学绘画和音乐的学生有67+4579=33 人，故答案为： 33 点评：本题考查两个集合的交集、并集、补集的定义，比较基础5 （3 分）已知幂函数y=x的图象过点（8，4） ，则这个函数的解析式是f（x） =考点 ：幂函数

10、的概念、解析式、定义域、值域专题 ：函数的性质及应用分析：设幂函数f（x）=x，把点（ 8，4）代入即可解出解答：解：设幂函数f（x）=x，把点（ 8，4）代入可得4=8，解得 =f（x）=故答案为： f（x）=点评：本题考查了幂函数的定义，属于基础题6 （3 分）已知函数f（ n）=，其中 n n，则 f（8）等于 7考点 ：函数的值专题 ：计算题分析：根据解析式先求出f（8）=ff （13），依次再求出f（13）和 ff （13），即得到所求的函数值解答：解：函数f（n） =，f（8）=ff （13），则 f（13）=133=10，f（8）=ff （13）=103=7，故答案为： 7点评：

11、本题是分段函数求值问题，对应多层求值按“ 由里到外 ” 的顺序逐层求值，一定要注意自变量的值所在的范围，然后代入相应的解析式求解7 （3 分）设 lg2=a，lg3=b，则 log512=考点 ：对数的运算性质专题 ：计算题分析：利用换底公式进行转化求解是解决本题的关键，然后将所得分式的分子与分母的真数化为 2，3 的乘积的形式进行代入计算出结果解答：解： log512=故答案为：点评：本题考查对数换底公式的运用，考查对数运算性质的应用，考查学生等价转化的能力和运算化简得能力8 （3 分）函数y=lg（x22x）的单调递增区间是（2， +） 考点 ：对数函数的单调性与特殊点专题 ：计算题分析：

12、由 x22x0，得 x0 或 x2，u=x22x 在（ 2，+）内单调递增，而y=lgu 是增函数，由 “ 同增异减 ” ，知函数y=lg （x22x）的单调递增区间是（2， +） 解答：解：由 x22x 0，得 x0 或 x2，u=x22x 在（ 2，+）内单调递增，而 y=lgu 是增函数，由“ 同增异减 ” ，知函数y=lg （ x22x）的单调递增区间是（2，+） 故答案为：（2，+） 点评：本题考查对数函数的单调性和应用，解题时要认真审题，注意灵活运用“ 同增异减 ”求解复合函数的单调区间的方法9 （3 分） f（x）是定义在（0，+）上的单调增函数，若f（x） f（2x） ，则 x

13、 的取值范围是（ 1，2） 考点 ：函数单调性的性质专题 ：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：由于 f （x） 是定义在（ 0， +） 上的单调增函数， 则 f （ x） f （2x） ， 等价为，解出即可解答：解：由于f（x）是定义在（0，+）上的单调增函数，则 f（x） f（2x） ，等价为，解得，即有 1x2则解集为（ 1，2） 故答案为：（1，2） 点评：本题考查函数的单调性的运用：解不等式，考查运算能力，属于基础题10 （ 3分） （log43+log83） （log32+log92）+log=考点 ：对数的运算性质专题 ：函数的性质及应用分析：利用对数的运算法则和换

14、底公式求解解答：解： （log43+log83） （ log32+log92）+log=（ log6427+log649） （log94+log92）+=log64243?log98+=1=故答案为：点评：本题考查对数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质和运算法则的合理运用11 （ 3 分）函数f（x）=xlog2x3 的零点所在区间为（k，k+1） （k z） ，则 k 的值是 2考点 ：函数零点的判定定理专题 ：函数的性质及应用分析：求 f （x） ，判断函数f（x）取得最值的情况，以及取得零点的情况，及零点的个数，并且能够得到函数f（x）只有一个零点，并且是在（2ln2，

15、+）内容易判断f（2） 0，f（3） 0，所以零点在区间（2，3）内，所以根据已知f（x）在（ k，k+1） ，k z，内有零点，所以 k=2解答：解： f（x）=ln2+log2x，令 f （x）=0 得， x=2ln2，且 02ln2 1；x （0，2ln2）时， f（ x） 0，x （2ln2，+）时， f （x） 0；f（x）在（ 0，2ln2）上单调递减，在（2ln2，+）上单调递增；又 x 趋向于 0 时， log2x0，x0， xlog2x0，即函数 f（x）在（ 0，2ln2）内不存在零点；又 f（ 2）=230，f（ 3）=3log2330；f（x）在区间（ 2，3）内存在一

16、个零点，且在（2ln2，+）内只有一个零点；由已知 f（x）零点所在区间为（k， k+1） ， （k z） ；k=2故答案为： 2点评：考查通过判断函数导数符号判断函数单调性的方法，以及函数零点的概念，以及单调函数取得零点的情况12 （ 3分）已知函数f（x）=的定义域是一切实数，则m 的取值范围是0 m 4考点 ：一元二次不等式的应用专题 ：不等式的解法及应用分析：问题等价于mx2+mx+1 0 对一切 x r 恒成立，分m=0，和 m 0 两种情况可得答案解答：解：函数f（x） =的定义域是一切实数，mx2+mx+1 0 对一切 x r 恒成立，当 m=0 时，上式变为10，恒成立，当 m

17、 0 时，必有，解之可得0m 4，综上可得0 m 4 故答案为0 m 4 点评：本题考查二次函数的性质，涉及函数的定义域和不等式恒成立问题，属基础题13 （3 分）若函数y=x23x4 的定义域为 0，m，值域为 ， 4，则 m 的取值范围是，3考点 ：二次函数的性质专题 ：计算题；数形结合分析：根据函数的函数值f（）=，f（0）=4，结合函数的图象即可求解解答：解： f（x）=x23x4=（ x）2，f（）=，又 f（0） =4，故由二次函数图象可知：m 的值最小为；最大为 3m 的取值范围是： m 3故答案 ， 3点评：本题考查了二次函数的性质，特别是利用抛物线的对称特点进行解题，属于基础

18、题14 （ 3 分）已知 f（x）是 r 上的奇函数，满足f（x+2）=f（x） ，当 x （0，1）时， f（x）=2x2，则 f（log6）=考点 ：抽象函数及其应用专题 ：计算题；函数的性质及应用分析：由题意先判断3log6 2，从而可知先用f（x+2）=f（x）转化到（ 1， 0） ，再用奇偶性求函数值即可解答：解： 3log6 2，又 f（ x+2） =f（x） ，f（log6）=f（log6+2）=f（log） ， 1log0，0 log2 1，又 f（ x）是 r 上的奇函数，f（log）=f（log2）=（2） =（ 2）=，故答案为：点评：本题考查了抽象函数的应用，属于中档题

19、二、解答题： （本大题共6 小题，共计58 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内.）15 （ 8分）集合a=x|3 x10 ，b=x|2 x7，c=x|x a，（1）求 ab；（2）求（ ?ra） b；（3）若 a c ?，求 a 的取值范围考点 ：交、并、补集的混合运算专题 ：集合分析：（1）由 a 与 b，求出两集合的并集即可；（2）由全集r 及 a，求出 a 的补集，找出a 补集与 b 的交集即可；（3）根据 a 与 c 的交集不为空集，求出a的范围即可解答：解： （1） a=x|3 x10， b=x|2 x7，ab=x|2 x10 ；（2） a=x|3

20、 x 10，b=x|2 x 7，?ra=x|x 3 或 x 10 ，则（ ?ra） b=x|2 x3；（3） a=x|3 x 10，c=x|x a，且 a c ?，a 3点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键16 （ 8分）函数y=a2x+2ax1（a 0 且 a 1）在区间 1，1上有最大值14，试求 a 的值考点 ：指数函数综合题分析：令 b=ax构造二次函数y=b2+2b1，然后根据a 的不同范围（ a1 或 0a1）确定b 的范围后可解解答：解：令 b=ax则 a2x=b2y=b2+2b1=（b+1）22 对称轴 b=1 若 0a1，则 b=ax是减函

21、数，所以a1a 所以 0ab所以 y 的图象都在对称轴b=1 的右边，开口向上并且递增所以 b=时有最大值所以 y=b2+2b 1=14b2+2b15=0（ b3） （b+5） =0 b0，所以b=3，a= 符合 0a1 若 a1 则 b=ax是增函数，此时0 ba y 的图象仍在对称轴b=1 的右边，所以还是增函数b=a 时有最大值所以 y=b2+2b 1=14 b0，所以 b=a=3，符合 a1 所以 a= 或 a=3 点评：本题主要考查指数函数单调性的问题对于这种类型的题经常转化为二次函数，根据二次函数的图象和性质进行求解17 （10 分）已知 a为实数， 当 a 分别为何值时， 关于

22、x 的方程 |x26x+8|a=0 有两个、 三个、四个互不相等的实数根？考点 ：函数的零点与方程根的关系专题 ：计算题；作图题；函数的性质及应用分析：方程 |x26x+8|a=0 的解的个数可转化为函数y=|x26x+8|与 y=a 的交点的个数， 作函数 y=|x26x+8|的图象，由数形结合求a解答：解：方程 |x26x+8|a=0 的解的个数可转化为函数 y=|x26x+8|与 y=a 的交点的个数，作函数 y=|x26x+8|的图象如下，故由图象可知，当 a=0 或 a1 时，关于x 的方程 |x26x+8|a=0 有两个互不相等的实数根，当 a=1 时，关于x 的方程 |x26x+

23、8| a=0 有三个互不相等的实数根，当 0a1 时，关于x 的方程 |x26x+8|a=0 有四个互不相等的实数根点评：本题考查了函数图象的作法及方程的根与函数交点的关系，属于中档题18 （ 10 分）某校学生研究性学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化老师讲课开始时学生的兴趣激增，接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散该小组发现注意力指标f （t） 与上课时刻第t 分钟末的关系如下 （t（0， 40，设上课开始时，t=0） ：f（t）=（a0 且 a 1） 若上课后第5 分钟末时的注意力指标为 140，（1）求 a 的值；（2）上课后第5分

24、钟末和下课前5 分钟末比较，哪个时刻注意力更集中？（3）在一节课中，学生的注意力指标至少达到140 的时间能保持多长？考点 ：分段函数的应用专题 ：计算题；应用题；函数的性质及应用分析：（1）由题意， 100?60=140，从而求a的值；（2）上课后第5分钟末时f（5）=140，下课前5 分钟末 f（35）=15 35+640=115，从而可得答案；（3）分别讨论三段函数上f（t） 140 的解，从而求出f（ t） 140 的解，从而求在一节课中，学生的注意力指标至少达到140 的时间能保持的时间解答：解： （1）由题意得，当t=5 时， f（t）=140，即 100? 60=140，解得，

25、a=4；（2） f（5）=140，f（35）=15 35+640=115，由于 f（5） f（35） ，故上课后第5 分钟末比下课前5 分钟末注意力更集中；（3） 当 0t 10 时，由（ 1）知， f（ t） 140 的解集为 5，10， 当 10t 20 时， f（t） =340140，成立； 当 20t 40 时， 15t+640 140，故 20t，综上所述， 5 t，故学生的注意力指标至少达到140 的时间能保持5=分钟点评：本题考查了分段函数的应用，同时考查了实际问题转化为数学问题的能力，属于中档题19 （ 10 分）已知函数f（x） =2ax+（a r） （1）当 0a 时，试判

26、断f（x）在（ 0，1上的单调性并用定义证明你的结论；（2）对于任意的x （0，1，使得 f（x） 6 恒成立，求实数a的取值范围考点 ：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性专题 ：导数的综合应用分析：（1）利用定义证明即可，（2）利用导数判断函数的最值，需要分类讨论，问题得以解决解答：解： （1）f（x）在（ 0，1上的单调性递减，理由如下：设 x1，x2 （0，1，且 x1 x2，则 f（x1） f（x2）=2ax1+2ax2=2a（x1 x2）+=（12ax1x2） ，x1，x2 （0，1，且 x1x2， 0a ，x2x10，0 x1?x21，02ax1x21，1 2a

27、x1x20，f（x1） f（x2） 0，f（x）在（ 0，1上的单调性递减，（2） f（x）=2ax+，f （x）=2a=， 当 a 0 时， f （x） 0，函数 f（x）在（ 0，1单调递减，f（x）min=f （1）=2a 6，解得 a 3，a 0 时，对于任意的x （ 0，1，使得 f（ x） 6 恒成立， 当 a0 时，令 f （x）=0，解得 x=，当 f （x） 0，即 x，函数 f（x）单调递增，当 f （x） 0，即 0 x，函数 f（x）单调递减，当 1 时，即 0a 时， f（x）在（ 0，1上的单调性递减，f（x）min=f （1）=2a 6 恒成立解得 a 3，当1 时，即 a时，f（x）在（ 0，上的单调递减，在（， 1）上单调递增，f（x）min=f （）=2a?+ 6 恒成立，解得 a ，综上所述实数a 的取值范围为（，+）点评：本题主要考查了函数的单调性和导数与函数的最值问题，以及求参数的取值范围，属于中档题20 （ 12 分）已