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1、培优训练二：实数（提高篇）（一）【容解析】（1）概念：平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数；要准确、深刻理解概念。如平方根的概念：文字概念：若一个数誥的平方是那么X是&的平 方根；符号概念：若+=“，那么兀=土石；逆向理解：若用是&的平方根，那么（2）性质：在平方根、算术平方根中，予开方数&P0O式子有意义； 在算术平方根中，其结果、丘是非负数，即0; 计算中的性质1：（需（a0）; 计算中的性质2:= a J"（:一°）；一 “（“SO）» 在立方根中，口=顷 （符号法则） 计算中的性质3：（需）畅=（i（3）实数的分类：有理数

2、9;正有理数 零正实数正有理数 正无理数实数无理数负无理数'正无理数负无理数实数零负实数负有理数 负无理数（二）典例分析1、利用概念解题：例1巳知：M=z,7+8是a+8的算术数平方根，奶二5是b 3立方根，求M + N的平方根。练习：1.巳知Jx + 2y =3习4x 3y =-2,求x + y的算术平方根与立方根。2若2a+l的平方根为±3, a-b + 5的平方根为±2,求a+3b的算术平方根。 d° + xy + 例2、巳知x、y互为倒数,c、d互为相反数，a的绝对值为3, z的算术平方根是5,求的值。2、利用性质解題：例1巳知一个数的平方根是2曰

3、一1和a-11,求这个数.变式：巳知2&1和a-11是一个数的平方根，则这个数是； 若2/22-4与3/22- 1是同一个数两个平方根，则山为例 2.若y= y/3-x + ylx-3 4-1,求(x+y) %的值例3. x取何值时，下列各式在实数围有意义。(1) 1 i 9 r例4巳知洱页与游戸互为相反数，求的值.y练习：1若一个正数曰的两个平方根分别为X+1和兀+ 3,求/曲的值。2若(x3)吟=o,求x+y的平方根；3. 巳知 y = Jl-2x +j4x-2+2.求 0 的值.4. 当*满足下列条件时,求*的围。(J) J(2 - x)； x- 2- x = Jx 3 >

4、x =x则Q的值是6. )uJT迈中x的取值围是;y = J口 中"的取值围是Q)y = J3 + X中x的取值围是;y = / 中"的取值围是_dx-37. 若x=5,则 J2x-1 =;若坂=一3,则 *一1=3、利用取值围解题：例1巳知有理数日满足|2004 -+- 2005,求a - 2OO42的值=例2巳知实数x, y满足卜一 1| + (3x + y -1)' = 0 ,则x+y2的值是 例3巳广吝空则層例4设等式a(x -a) +,a(y-a) = 4xa -J右在实数围成立，其中去x、y是两两不相等的实数,4、利用估算比校大小、计算：比较大小的常用方

5、法还有： 差值比较法：如：比较1血与1一、庁的大小。解 T (1 v2 ) (1 >/3 ) = */3 V2 >0 |-1 V2 >1 V3 o 商值比较法(适用于两个正数) 如：比较空二与的大小。 倒数法：倒数法的基本思賂是：对任意两个正实数a, b,先分别求出a与b的倒数，再根据当丄 > )时,a<b0来比较a与b的大小。(以后介绍) 取特值验证法：比较两个实数的大小，有时取特殊值矣更简单。如：当0<拓1时，x", x, 的大小顺序是.解：(特殊值法)取x = -9 则：x2 = -, -=2O v-<-<2, :.x2<x

6、<-o24 x42x 估算法的基本是思路是设a, b为任意两个正实数，先估算出a, b两数或两数中某部分的取值围，再 进行比较。例1.比较洱丄与;的大小o 7例2.若3 +石的小数部分是码3詰的小数部分是匕 求&"的值。例3设 = V6+a/2,B = 75+73.则a. B中数值较小的是A 点A的左边C点B与点C之间6、实数的计算练习：1估计佰+1的值是（）（A）在2和3之间（B）在3和4之间（C）在4和5之间 （D）在5和6之间2. 比较大小： 斗1；3石_2.1 （填">”、"<”）5、利用数形结合解題：例1实数念方在数轴上的位宣如

7、图所示，那么化简|&+b| + J（b a）?的结果是（）A% 2 bB、2&IIC 2aD 2 ba0b例2如图，数轴上表示1、的对应点为A、B,点B关于点A的对称点为C,则点C所表示的数是（ ） ALLCABA、J2 1 B、1 v 2|IIIC、2-V2 D> y/2-20172例3若实数a, b, c在数轴上的位置如图，化简：|a - - |c - d| + |Z? - c| - |fl| 练习：1如果有理数a、b、c在数轴上的位直如图所示，那么后_匕+列+ J（_"+W + d可以化简 为（）B 2a2b 如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别是a

8、、b、c,其中AB = BC,如果制网 > 艸，那么 该数轴的原点O的位直应该在（）B点A与点B之间D点B与点C之间或点C的右边例次解方程(x+1) 2=36.练习：(1) (x-l)=9(2) -(x + l)J=255(3) 8宀27 = 0;(4) (x-1)2-121=0.(三) 常见惜谋诊斯由81的平方根是±9得阿=±91、混淆平方根和算术平方根：由-3是9的平方根得：a/9=-3o -厉是5的平方根的相反数2、混通文字表示和符号表示：_、尿的算术平方根是4;阿的立方根是43、概念理解不透彻：(1) 平方根、算术平方根的概念不清：品是6的平方根；6的平方根是

9、、低与 P 互为相反数； &的算术平方根是贏填空：计算厲的结果是;皿的算数平方根是;25的算数平方根是;5的算数平方根是； 9的平方根是;®(-l)2的算数平方根是； 炉的算数平方根是;一8的立方根是.(2) 无理数的概念不清：开方开不尽的数是无理数； 无理数就是开方开不尽的数；无理数是无限小数；无限小数是 无理数；无理数包括正无理数、雲、负无理数；两个无理数的和还是无理数；两个无理数的积 还是无理数；LL22、/1填空：在-1.414, V2 , 7,3.14, 2+J3, 3.212212221 ，三，冷-,0.303003.这些数中，72无理数的个数有个；4、计算错课：

10、5、确定取值围错课(漏解或考虑不全面)若代数式工匚有意义，则x的取值围是x>nx2x-2r 1若代数式亠亠有意义，则入的取值围是x>27726、公式用错：7（-6）2 =-6；V（3.14-n）2 =3.14-n；若 c满足 J（c + 3）2 =（c + 3）,则 b-3（四）【巩固练习】1 寤的平方根（）A±8 B. 8C ±2/ 2. 如果77 = 0.25,那么y的值是（）A. 0.0625 B. 0.5C 0.53. 下列说法中正确的是（）A. 的平方根是±3B.1的立方根是±1D.2D±05C.Vi=±l D.

11、-V5是5的平方根的相反数4.若品=_a ,则实数日在数轴上的对应点一定在（）A原点左侧B原点右侧C原点或原点左侧D.原点或原点右侧若石=336,则6.7.8.A、0.03136B、0.3136数念方在数轴上的位直如图,A. 2a-bCb 下列说确的是(A. 0.25 是 0.5C . 72C> ±0.03136 D、±0.3136那么化简- d| - Q的结果是（）BbD-2a +b ） 的一个平方根的平方根是7B.正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0 负数有一个平方根D.若J(g-3)2 +3,则d的取值围是().A. a >3 E a >3 C

12、 a <3D a <39. 若念方为实数，且满足| a-2 | +7-=0,则b-a的值为（）A2B0C一2 D.以上都不对10. 在，3.1415926, V7 ,返，-届，O.i这6个数中，无理数有（）A1个B. 2个C3个D. 4个11. 若一个数的立方根等干它的算术平方根，则这个数是°12若"讣和都是5的立方根，则顷匚乔=(念b为正整数)符合以上规律，则而轲=£叵=賢巨所揭示的规律，可得出一般的结论是用字母力表示，力是正孥数且n>l)o15. 比较下列实数的大小：p硕 12 兰二0.5;16. 一个正方形的面积变为原来的山倍，则边长变为原来的倍；一个立方体的体积变为原来的R倍，则棱长变为原来的倍。17. 计算：*倍再心0|V6-V2|+|V2-1|-|3-a/6|18. 巳知一个2/1的立方根是3, 3$+決5的平方根是±7, c是疔 的整数部分，求a + 2b-c2的平方 根。19. 巳知&、6满足血+ 8+”-課=0,解关于x的方程(a + 2)x + b2 =a-20. 若|“| = 5, yb =7, a b = b a,求"b的值21. 设2+点的整数部分和小数部分分别是x、y,求U-1) 2+(