关于长期成本曲线与短期成本曲线关系的理论分析和数学证明

1、关于长期成本曲线与短期成本曲线关系的理论分析和数学证明2004年第2期总第282期企业经济ENTERPRISEEC0N0MYNO.2.2004SerlalNO.282关于长期成本曲线与短期成本曲线关系的理论分析和数学证明唐玉兰-,唐群,杨圣宏(1.深圳广播电视大学,广东深圳518000;2.江西科技师范学院,江西南昌330013;3.深圳职业技术学院,广东深卸l5180oo)摘要】微观经济学中通常用"数学坐标曲线"来研究长期成本与短期成本曲线的关系.本文根据市场经济的发展需求,在经济分析确定产量和长期总成本时,对企业短期生产要素进行调整;为了达到总成本取得最小值的目的,我们

2、将在建立短期成本曲线与长期成本曲线数学模型的基础上,采用多元复合函数求导取极值的方法,对短期成本曲线与长期成本曲线的关系作了深入探讨,并进行了严格的数学证明.关键词】短期成本曲线;长期成本曲线;证明中图分类号】F406.72文献标识码】A文章编号】10065024(2004)02002903在微观经济学的理论研究中,阐述了长期成本与短期成本关系的如下命题:命题I:长期总成本曲线是短期总成本曲线簇的包络曲线;命题:长期平均成本曲线是短期平均成本曲线簇的包络曲线;命题:长期平均成本曲线与某特定的短期平均成本曲线的切点和长期边际成本曲线与对应的短期边际成本曲线的交点,有相同的横坐标(即产量相同).由

3、于在众多的经济学论着中,未对上述命题作出全面,严格的数学证明,因此.对长期成本与短期成本关系的理论分析常出现不同的解释.为此,本文对此问题进行深入探讨,并对上述命题进行数学证明.一,关于长期成本与短期成本关系的理论分析在经济学中,成本(COST)是指生产者为使用生产要素而支付的一切费用.一般的意义上讲,成本可分类如下表短期成本长期成本短期固定成本短期总成本STC长期总成本LTC短期可变成本短期平均固定成本短期平均成本SAT长期平均成本LAC短期平均可变成本短期边际成本SMC长期边际成本LMC经济学中在研究成本时,短期是指厂商不能根据所要达到的产量来调整其全部生产要素的时期.也就是说,企业在生产

4、投入中一部分生产要素,如:工人的工作,原料,燃料和辅助材料等可变成本,会随着生产数量的多少而改变,而投入的机器,厂房,设备和管理人员的工资等生产要素为固定成本,在一定的时期不随产量的变化而改变.短期总成本是固定成本与可变成本之和.而长期是指厂商根据所要达到的产量来调整全部生产要素的时期.因此,长期中一切生产要素都是可以凋整的.进行经济理论分析时,短期内,因不可调整的生产要素为固定成本,所研究的问题是怎样确定产量,而使短期平均成本最低.在长期,因为所有生产要素都可进行调整,研究的问题是,怎样根据市场需求确定的产量来凋整在短期内不可凋整的生产要素,而使总成本最低?从这个意义上讲,厂商在各种产量水平

5、上的最低总成本即为长期总成本.并在此基础上研究长期平均成本与长期边际成本的变化规律,特别是他们和短期平均成本与短期边际成本的关系.经济理论中,常将成本的变动规律用横坐标表示产量,纵坐标表示成本的成本曲线,这样,长期成本与短期成本的关系就可表示为长期成本曲线与短期成本曲线关系的命题I,.如图:(1)(2)(3),图中曲线LTC,LAC,LMC分别表示长期总成本曲线,长期平均成本曲线,长期边际成本曲线;曲线STC,SAC,sMC分别表示短期总成本曲线,短期平均成收稿日期】20031118f作者简介】唐玉兰(1956一),女,江苏建湖人,深圳广播电视大学副教授,主要从事经济学研究;唐群(1960一)

6、,女,江西丰城人.江西科技师范学院副教授,研究方向为经济学和微观经济学;杨圣宏(1941一),男.江西南昌人,深圳职业技术学院教授,主要从事数学研究.一29企业经济2004年第2期总第282期本曲线,短期边际成本曲线.TC0图(2)长期平均成本LAC图(3)长期边际成本曲线LMC二,关于长期成本曲线与短期成本曲线关系数学证明(一)命题I的证明短期总成本c是由短期内不能凋整的生产要素(如厂房,设备,管理人员等)的成本F,和随产量Q变化的生产要素(如原材料,人工等)成本组成,所以,短期总成本可记为C=C(Q,Fo)1)式中F.是F在短期内取的固定值.当Q变化时,(1)式表示短期总成本c随产量Q变化

7、的短期总成本曲线.在长期中,一切生产要素都是可以调整的,总成本中除了短期内随产量Q变化的生产要素的成本外,在短期内不能调整的生产要素成本F也可调整为不同的值,此时,总成本可记为C=C(Q,F)2)式中F是可调整的变数,(2)式中F每凋整为一个固定值F.时,即得到(1)式确定的一条短期总成本曲,随着F的调整值变化,(2)式表示一簇短期总成本曲线.问题是在长期中,生产厂商怎样随着由市场需求确定的产量Q,来调整短期内不能凋整的生产要素的成本F值,而使总成本C最低?设生产厂商根据市场变化决定产量Q取定值Qo,此时总成本C随F的调整而变化,得到C=C(Q.,F)3)为使总成本C取最小值,将(3)式对F求

8、导数,并令其为零,得到dF=dQo?dF+=0一'aF一Qo为定值.:0:04)一3O一设满足(4)的解为:F=F(Qo)5)即产量为Q.时,生产厂商将F的值调整为F(Qo)时,总成本最小,最小值为C=C(Qo,F(Qo)当产量为Q.时,生产厂商将F的值调整为F(Q)时.此时得到表示为产量Q函数的长期总成本C=C(Q,F(Q)6)其中F(Q)满足:=04')(6)式即为长期总成本曲线的方程.下面证明,长期总成本曲线(6)是短期总成本曲线簇(2)的包络曲线.当Q=Q.时,容易验证长期总成本曲线(6)与短期总成本曲线簇(2)中,F取满足(4)式的定值F(Qo)的一条短期总成本曲线C

9、=C(Q,F(Qo)7)有公共点P(Qo,Co),其中Co=C(Qo,F(Qo)又长期总成本曲线(6)过点P的切线斜率为s)+')F(Q)满足4')式.=0s',而短期总成本曲线(7)Et点P的切线斜率为K,:dc(e9)一IQ:IQ=%-I-?dF(Qo)F()为常数,.?.dF(Qo)=0故,:Q=%9')显然,=l.:%=l.:%Kl=K1故长期总成本曲线(6)和短期总成本曲线(7)在公共点P处有公切线,长期总成本曲线(6)与短期总成本曲线(7)相切.即证得长期总成本曲线(6)是短期成本曲线簇(2)的包络一Q一关于长期成本曲线与短期成本曲线关系的理论分析和

10、数学证明曲线(二)命题II的证明通过(2)式表示的一簇短期总成本曲线.可得短期平均成本曲线簇.曲线c=通过(6)式表示的长期总成本曲线,可得长期平均成本=下面证明,长期平均成本曲线(11)是短期平均成本曲线簇(1O)的包络曲线.当Q=Qo时,容易验证长期平均成本曲线(11)与短期平均成本曲线簇中,取满足(4)式的定值的一条短期平均成本曲线:l2)0l,有公共点s(Qo,-i:),其中一C(Qo,F(Qo)LoQo又长期平均成本曲线(11)过点S的切线斜率为=晶专Q'QQQ=QdQJQ:QnQj.KC(Qo,F(+Qo)一Qo0n式中K-为(8)式中长期总成本曲线(6)在点P处切线的斜率

11、.而短期平均成本曲线(12)过点的切线斜率为=晶)=专Q?_C(Q.F(】ldC(Q,F(Qo)IQdQIQ:%.K.2C(.,.Q.o.,.V.(.Q,.o.)一QoQo!专C(Q'F(式中K!为(9)式中短期总成本曲线(7)在点P处切线的斜率.由命题I的证明知K.=KKl(4故长期平均成本曲线(11)与短期平均成本曲线(12)在点处公切线,长期平均成本曲线(11)和短期平均成本曲线(12)相切.即证得长期平均成本曲线(11)是短期平均成本曲线簇(10)的包络曲线.(三)命题III的证明由命题II的证明知,(11)式表示的长期平均成本曲线与(12)式表示的特定的一条短期平均成本曲线有切点S(Q.Co),其横坐标表示的产量为Q.又边际成本是成本对产量的变化率,由命题I.II的证明知,长期边际成本为LMC=所以长期边际成绩曲线过点M1(Qo,),又由(8)式知,M即为点(Qo,K);而由与特定的短期平均成本曲线(12)对应的短期总成本曲线(7),可得对应的短期边际成本为sMc=所以,对应的短期边际成本曲线过点M(Qo,JQ:),又由(9)式知,Mz即为点(,K2).由命题I的证明知K-=K:,所以,点M.和M:点重合为点M.此即证得长期平均成本曲线与特定的某短期平均成本曲线的切点S,和长期边际成本曲线与对应的短期边际成本曲线的交