专题一平面向量的概念及线性运算

1、专题一：平面向量的概念及线性运算fl知识梳理i.向量的有关概念名称定义备注向量既有_又有_的量；向量的大小 叫做向量的平面向量是自由向量零向量长度为的向量；其方向是任意的记作：单位向量长度等于的向量非零向量a的单位向量为平行向量方向或的非零向量0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量0的相反向量为2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算/、卜£X平行凹沟堆怯则(1) 交换律：a+ b= b+ a.(2) 结合律：(a + b) + c= a+ (b+ c).减

2、法求a与b的相反向 量一b的和的运算 叫做a与b的差三角形法则a b= a+ ( b)数乘求实数入与向量a的积的运算(1) 1怡匸丨阳1；(2) 当40时，沧的方向 与a的方向相同；当X0时，怯的方向与a的方向相反；当匸0时，怯=0X ®)=(入归；(入 + M a = X + 园；X a+ b)= X + ?b3. 共线向量定理向量a（0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数入使b=?a.考点自测1.设ao为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a= |a|a0；若a与a0平行，则a= |a|ao； 若a与ao平行且|a|= 1,则a= a°.上述命题中，假命题的个数是 （）A

3、. 0 B. 1 C. 2 D. 32 .已知0,A,B是平面上的三个点，直线AB上有一点C,满足2AC + CB= 0,则OC等于（）ff2 f 1 f1 f 2 fA . 20A-OB B . OA + 20B C.OA 3OB D . 3OA + OB3 .已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足PA+ BP+ CP= 0, AP= 沅，则实数 入 的值为.4. 在?ABCD 中，AB= a, AD = b, AN = 3NC, M 为 BC 的中点，则 MN =.（用 a,b表示）题型分类深度剖析题型一 平面向量的概念例1给出下列命题： 若|a|=|b|,则a= b;若A, B,

4、C, D是不共线的四点，则“ AB= DC”是“四边形 ABCD为平行四边形”的充要条件；若a = b, b= c,则a= c;a = b的充要条件是|a|= |b|且a / b.其中正确命题的序号是 .跟踪训练1下列命题中，正确的是 .（填序号） 有向线段就是向量，向量就是有向线段； 向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反； 向量AB与向量CD共线，则A、B、C、D四点共线; 如果a / b, b/ c,那么a / c； 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.题型二 平面向量的线性运算例2 （1）如图，正方形 ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三 “二.等分点，那么E

5、F等于（）1 f 1 fA.1AB- 1AD1 -fB. -AB +41 f 1 fc.3ab+1DA1 f 2 fD.2AB - 2ad（2）在厶ABC中，AB = c, AC= b,若点D满足BD = 2DC，则AD等于（）2 1a3 b+ 3 C5 2B.3C- 3b2 1C3b 3c1 2D3b+3Cfvj (1)如图，在正六边形abcdef 中，Ba + Cd + ef等于( )A. 0 b.Be c.ad d.cf1 2(2)设 D, E 分别是 ABC 的边 AB, BC 上的点，AD = AB, BE= _BC.BE若De =AAB+MC（d h为实数），贝U入+矗的值为题型三

6、共线定理的应用例3设两个非零向量 a与b不共线,(1)若 aB= a + b, BC = 2a+ 8b, Cd = 3(a- b),求证：A、B、D 三点共线;试确定实数k,使ka+ b和a+ kb共线.朮咗门F 如图，在 ABC中，点D是BC边上靠近B的三等分点,则AD等于(2 f 1 fA. 3AB- 3ACB.3AB+£aCc.|ab+£aCD.AB-|aC已知平面上不共线的四点O, A, B, C,若OA-4OB + 3OC= 0，则1等于(|BC|A . 3 B . 4 C. 5 D . 6方程思想在平面向量的线性运算中的应用典例：（12分）如图所示，在 ABO中

7、，0C= ：oA , OD = OB , AD与BC 相交于点 M，设OA = a, (5B= b.试用a和b表示向量OM.练出高分A组专项基础训练(时间：45分钟)1.下列说法正确的个数是()温度、速度、位移、功这些物理量都是向量；零向量没有方向；向量的模一定是正数；非零向量的单位向量是唯一的.A. 0 B. 1 C. 2 D. 32 .已知向量 a= (2,4), b= ( 1,1)，贝U 2a b等于()A. (5,7) B. (5,9) C. (3,7) D. (3,9)3 .设a, b不共线，AB = 2a+ pb, BC= a+ b, CD = a 2b,若A, B, D三点共线，

8、则实数p的值是()A. 2 B. 1 C. 1 D. 24 .已知点O ABC外接圆的圆心，且 OA + OB + OC= 0,则厶ABC的内角A等于()A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°5. 在厶ABC中，AB = 2, BC= 3, / ABC = 60 °, AD为BC边上的高，0为AD的中点，若aO=瓜B +启C，贝U H卩等于()八,m 1 J2A. 1 B.? C.3 D.36 .下列命题： 如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么 a+ b的方向必与a, b之一方向相同； 三角形 ABC中，必有AB+ BC+

9、 CA = 0； 若AB + BC+ CA = 0，贝U A, B, C为三角形的三个顶点; 若a, b均为非零向量，则|a+ b与ai+ |b|定相等.其中假命题的序号为.7 设0是厶ABC内部一点，且0A+ OC= 2OB，则 AOB与厶AOC的面积之比为 8. 在 ABC中，已知D是AB边上一点，若AD = 2IDB, CD = #CA+ CB,贝V匕9. 已知向量a= 2ei 3e2, b= 2& + 3e?，其中、e不共线，向量c= 2e! 9血.问是否存在这 样的实数入内使向量d= ?a +山与c共线？,t 2 tA10.如图所示，在 ABC中，D、F分别是BC、AC的中点

10、，AE = 3AD ,ttAB= a, AC = b. c（1）用 a、b 表示向量 AD, AE, AF , BE, BF求证：B, E, F三点共线.B组专项能力提升（时间：25分钟）11. 已知点O, A, B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且20P = 20）A+ Ba,则（）A .点P在线段AB上B .点P在线段AB的反向延长线上C .点P在线段AB的延长线上D .点P不在直线AB上12. 如图，已知AB是圆0的直径，点C, D是半圆弧的两个三等分点,AB= a, AC = b,则 AD等于()11 11A . a 2bB.qa b C. a+qbD.qa + b13 .设G为厶ABC的重心，且sin A GA + sin B GB+ sin C GC= 0，贝V B的大小为()A. 45° B . 60°C. 30° D. 1514.如图所示，在 ABC中，点0是