最新北京小学奥数排列组合经典例题

1、排列组合问题教学目标：1.使学生正确理解排列、组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解排列、排列数和组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列或组合；3.掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会、分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习， 对排列组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握排列与组合的联系和区别，并掌握一些排列组合技巧，如捆绑法、挡板法等。5.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数。知识点拨：一 . 加法原理： 做一件事情， 完成它有 N 类办法，在第一类办法中有 M1 中不同的方法，在第二类办

2、法中有 M2 中不同的方法，在第 N 类办法中有 Mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+ +Mn 种不同的方法。二 . 乘法原理： 如果完成某项任务，可分为 k 个步骤，完成第一步有 n1 种不同的方法，完成第二步有 n2 种不同的方法，完成第步有 种不同的方法，那么完成此项任务共有 × ×× 种不同的方法。三 . 两个原理的区别做一件事，完成它若有n 类办法，是 分类问题 ，每一类中的方法都是 独立的，故用加法原理。每一类中的每一种方法都可以独立完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同 ( 即分类不重 ) ；完成此任务的任何一种方法，都属于某

3、一类( 即分类不漏 )做一件事，需要分 n 个步骤， 步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的共15页第1页步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n 步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同这样完成一件事的分“ 类”和“ 步 ”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来四 . 排列及组合基本公式1. 排列及计算公式从 n 个不同元素中，任取 m(mn) 个元素按照 一定的顺序 排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的一个 排列；从 n 个不同元素中取出m(m

4、n) 个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出mm个元素的 排列数，用符号 P n 表示 .m2) (n -m+1)P n =n(n-1)(n-= n!( 规定 0!=1) .(n-m)!2.组合及计算公式从 n 个不同元素中，任取 m(mn) 个元素 并成一组 ，叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的一个 组合；从 n 个不同元素中取出 m(mn) 个元素的所有组合的个数， 叫做从 n个不同元素中取出m个元素的 组合数 . 用符号 Cmn 表示 .mmn!Cn = P n /m!=(n-m)! ×m!一般当遇到 m比较大时（常常是mn-mm>0.5n 时），可用

5、 Cn = Cn 来简化计算。n0规定： C n =1, C n =1.3. n 的阶乘 (n!) n 个不同元素的全排列nP n=n!=n ×(n-1) ×(n-2) 3×2×1例题精讲：一、排列组合的应用【例1】 小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？（ 1）七个人排成一排；（ 2）七个人排成一排，小新必须站在中间.（ 3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间.（ 4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边.（ 5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上.（ 6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.（ 7）七个人战成

6、两排，前排三人，后排四人.小新、阿呆不在同一排。共15页第2页【解析】 （ 1） P775040（种）。（ 2）只需排其余6 个人站剩下的6 个位置 P66720 （种） .（ 3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6 个位置 2×P66= 1440(种 ) （ 4）先排两边，再排剩下的5 个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置2P55240 (种 )（ 5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5 个人中选 2 人，再排剩下的 5 个人， P52P552400 （种） .（ 6）七个人排成一排时，7 个位置就是各不相同的现在排成两排，不管前后排各有几个人，7 个位置还是各不相同的，所以本

7、题实质就是7 个元素的全排列 P775040 （种） .（ 7）可以分为两类情况： “小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以2 即可 4×3×P55 ×2= 2880(种 )排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列。【例2】 用 1、 2、 3、 4、 5、 6 可以组成多少个没有重复数字的个位是5 的三位数？【解析】 个位数字已知， 问题变成从从5 个元素中取2 个元素的排列问题，已知 n5 ， m2 ，根据排列数公式，一共可以组成P525420 (个 )符合题意的三位数。【巩固】用 1、 2、 3、4

8、、 5 这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是3的无重复数字的五位数？【解析】 可以分两类来看： 把 3 排在最高位上，其余 4 个数可以任意放到其余 4 个数位上，是 4 个元素全排列的问题，有 P44 4 3 2 1 24 (种) 放法，对应 24 个不同的五位数； 把 2，4， 5 放在最高位上，有3 种选择，百位上有除已确定的最高位数字和3 之外的 3 个数字可以选择，有 3 种选择，其余的3 个数字可以任意放到其余3 个数位上，有P336 种选择由乘法原理，可以组成 33 654 (个 )不同的五位数。由加法原理，可以组成245478( 个)不同的五位数。【巩固】用 0

9、到 9 十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则 5687 是第几个数？【解析】 从高位到低位逐层分类： 千位上排 1， 2 ， 3 或 4 时，千位有 4 种选择，而百、十、个位可以从0 9 中除千位已确定的数字之外的 9 个数字中选择，因为数字不重复，也就是从9 个元素中取 3个的排列问题，所以百、十、个位可有 P93987504 (种 )排列方式由乘法原理，有45042016 (个 ) 千位上排 5 ，百位上排0 4 时，千位有 1种选择，百位有5 种选择，十、个位可以从剩下的八个数字中选择也就是从8个元素中取2个的排列问题，即 P828756，由乘法原理

10、，有1 5 56 280(个 ) 千位上排 5 ，百位上排 6 ，十位上排 0 ， 1 ， 2 ， 3， 4 ， 7 时，个位也从剩下的七个数字中选择，有1 1 6 7 42(个) 千位上排 5 ，百位上排 6 ，十位上排 8时，比 5687小的数的个位可以选择0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 共 5 个共15页第3页综上所述，比5687小的四位数有20162804252343(个 )，故比 5687 小是第 2344个四位数【例3】用1、 2、 3、 4、5 这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3 的倍数？【解析】 按位数来分类考虑： 一位数只有1个3；两位数：由1与2， 1与5

11、，2与 4，4与5四组数字组成，每一组可以组成P222 12 (个 )不同的两位数，共可组成2 4 8 (个 )不同的两位数；三位数：由1 ，2与3；1，3与5；2，3与4；3，4与 5 四组数字组成，每一组可以组成P333 216(个 )不同的三位数，共可组成6424 (个 )不同的三位数；四位数：可由1， 2， 4，5这四个数字组成，有P44432 1 24 (个 )不同的四位数；五位数：可由1， 2， 3，4， 5 组成，共有 P5554 321120 (个 )不同的五位数由加法原理，一共有1 8 24 24 120 177 (个 )能被 3整除的数，即 3的倍数【巩固】 用 1、2、3

12、、 4、5、6 六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶数？【解析】 由于组成偶数， 个位上的数应从 2 ， 4 ， 6 中选一张， 有 3种选法； 十位和百位上的数可以从剩下的5 张中选二张，有 P525 4 20 (种 )选法由乘法原理，一共可以组成3 20 60 (个 )不同的偶数【例4】 某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0 数码组成，且四个数码之和是9 ，那么确保打开保险柜至少要试几次？【解析】四个非 0 数码之和等于 9 的组合有 1， 1， 1， 6； 1，1， 2， 5； 1， 1，3， 4； 1， 2， 2， 4； 1，2， 3，

13、 3；2， 2， 2，3 六种。第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑6 的位置就可以了，6 可以任意选择4 个位置中的一个，其余位置放 1 ，共有 4 种选择；第二种中，先考虑放 2 ，有 4 种选择，再考虑 5 的位置，可以有 3 种选择，剩下的位置放 1 ，共有 4 312 (种 )选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有12种选择最后一种，与第一种的情形相似，3 的位置有 4 种选择，其余位置放2 ，共有 4 种选择综上所述，由加法原理，一共可以组成412 12 1212 456 (个 ) 不同的四位数，即确保能打开保险柜至少要试56 次【例5】 两对三胞胎喜相逢，他们围坐在桌子

14、旁，要求每个人都不与自己的同胞兄妹相邻，( 同一位置上坐不同的人算不同的坐法) ，那么共有多少种不同的坐法？【解析】 第一个位置在6 个人中任选一个，有C616 (种 ) 选法，第二个位置在另一胞胎的3人中任选一个，有C313 (种 )选法同理，第3，4，5，6个位置依次有2 ， 2 ， 1， 1种选法由乘法原理，不同的坐法P1P1P1P1P1P163221172(种 )。有 632211【例6】 一种电子表在6 时 24 分 30 秒时的显示为6: 24：30，那么从 8 时到 9 时这段时间里， 此表的 5 个数字都不相同的时刻一共有多少个?【解析】 设 A:BC DE 是满足题意的时刻，

15、有A 为 8， B、 D 应从 0， 1，2， 3，4， 5 这 6 个数字中选择两个不同的数字，所以有 P62 种选法，而 C、E 应从剩下的 7 个数字中选择两个不同的数字，所以有P72 种选法，所以共有 P62×P72= 1260 种选法。从 8 时到 9 时这段时间里，此表的5 个数字都不相同的时刻一共有1260 个。【例7】 一个六位数能被11 整除，它的各位数字非零且互不相同的将这个六位数的6 个数字重新排列，最少还能排出多少个能被11 整除的六位数 ?【解析】 设这个六位数为 abcdef ，则有 (ac e) 、 (b df ) 的差为0 或 11 的倍数且a、 b、

16、 c、 d、 e、 f共15页第4页均不为 0，任何一个数作为首位都是一个六位数。先考虑 a、 c、 e 偶数位内， b、 d、 f 奇数位内的组内交换，有P3P= 36 种顺序；3 ×33再考虑形如 badcfe 这种奇数位与偶数位的组间调换，也有P33×P33= 36 种顺序。所以，用均不为0 的 a、b、c、d、e、f 最少可排出 36+ 36= 72 个能被 11 整除的数 (包含原来的 abcdef )。所以最少还能排出72- 1= 71 个能被 11 整除的六位数。【例8】 已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5 名同学进行的手工制作比赛中，决出了第一至第五名的名次甲、

17、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军 ”对乙说：“你当然不会是最差的 ”从这个回答分析，5 人的名次排列共有多少种不同的情况？【解析】 这道题乍一看不太像是排列问题，这就需要灵活地对问题进行转化仔细审题，已知“甲和乙都未拿到冠军”，而且“乙不是最差的” ，也就等价于5 人排成一排，甲、乙都不站在排头且乙不站在排尾的排法数，因为乙的限制最多，所以先排乙，有3种排法，再排甲，也有3种排法，剩下的人随意排，有P33216(种) 排法由乘法原理，一共有3 3 6 54 (种 )不同的排法。3【例9】4名男生， 5 名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法： 甲

18、不在中间也不在两端； 甲、乙两人必须排在两端； 男、女生分别排在一起； 男女相间【解析】 先排甲， 9 个位置除了中间和两端之外的6 个位置都可以，有6种选择，剩下的 8 个人随意排，也就是 8 个元素全排列的问题，有P888 765 432 1 40320 (种 )选择由乘法原理，共有6 40320 241920( 种)排法 甲、乙先排，有P222 1 2 (种 )排法；剩下的7 个人随意排，有P7776543 2 15040 (种 )排法由乘法原理，共有25040 10080(种 )排法 分别把男生、女生看成一个整体进行排列，有P2221 2 (种 )不同排列方法，再分别对男生、女生内部进

19、行排列，分别是4个元素与5 个元素的全排列问题，分别有P44432124 (种 )和 P5554321120(种 )排法由乘法原理，共有224120 5760(种 )排法 先排4 名男生，有 P44432 124(种 )排法，再把5 名女生排到 5 个空档中，有P555 4 3 2 1 120 ( 种 )排法由乘法原理，一共有241202880(种)排法。【巩固】 五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目。如果贝贝和妮妮不相邻，共有（）种不同的排法。【解析】 五位同学的排列方式共有5×4×3×2×1= 120（种）。如果

20、将相邻的贝贝和妮妮看作一人，那么四人的排列方式共有4×3×2×1= 24（种）。因为贝贝和妮妮可以交换位置，所以贝贝和妮妮相邻的排列方式有24×2= 48(种 )；贝贝和妮妮不相邻的排列方式有120-48= 72（种）。【例 10】一台晚会上有 6 个演唱节目和 4个舞蹈节目求： 当 4个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？ 当要求每 2个舞蹈节目之间至少安排1 个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？【解析】 先将4 个舞蹈节目看成1 个节目，与 6个演唱节目一起排，则是7 个元素全排列的问题，有77!76543215040P7(种

21、 )方法第二步再排 4 个舞蹈节目，也就是 4 个舞蹈节目全排列的问题，有P444!4 321 24(种) 方法根据乘法原理，一共有504024(种 )方法120960共15页第5页 首先将 6 个演唱节目排成一列(如下图中的“” )，是 6 个元素全排列的问题，一共有64321720 (种 )方法P6 6!65×××××××第二步，再将 4个舞蹈节目排在一头一尾或2 个演唱节目之间 (即上图中“×”的位置)，这相当于从7 个“×”中选4 个来排，一共有P747 65 4 840 (种) 方法根据乘法原理

22、，一共有720840(种 )方法。604800【巩固】由 4 个不同的独唱节目和 3个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相邻，开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种？【解析】 先排独唱节目，四个节目随意排，是4 个元素全排列的问题，有 P444 32 1 24 种排法；其次在独唱节目的首尾排合唱节目，有三个节目，两个位置，也就是从三个节目选两个进行排列的问题，有P23 2 6( 种)排法；再在独唱节目之间的3个位置中排一个合唱节目，有3种排法由乘法原理，一3共有 2463432(种 )不同的编排方法【小结】 排列中，我们可以先排条件限制不多的元素，然后

23、再排限制多的元素如本题中，独唱节目排好之后，合唱节目就可以采取“插空”的方法来确定排法了总的排列数用乘法原理把若干个排列数相乘，得出最后的答案。【例11】 从 1， 2， 8 中任取 3 个数组成无重复数字的三位数，共有多少个？（只要求列式）从 8 位候选人中任选三位分别任团支书，组织委员，宣传委员，共有多少种不同的选法？ 3位同学坐8 个座位，每个座位坐1 人，共有几种坐法？ 8个人坐 3个座位，每个座位坐1 人，共有多少种坐法？一火车站有 8 股车道，停放 3 列火车，有多少种不同的停放方法？ 8种不同的菜籽，任选 3 种种在不同土质的三块土地上，有多少种不同的种法？【解析】 按顺序，有百

24、位、十位、个位三个位置，8 个数字（ 8 个元素）取出3 个往上排，有 P83 种3 种职务 3个位置，从 8 位候选人（ 8 个元素）任取 3 位往上排，有3P8 种 3 位同学看成是三个位置，任取 8 个座位号（ 8 个元素）中的 3 个往上排（座号找人） ，每确定一种号码即对应一种坐法，有 P83 种 3 个坐位排号 1， 2， 3 三个位置，从 8 人中任取 3 个往上排（人找座位） ，有 P83 种 3 列火车编为 1， 2， 3 号，从 8 股车道中任取 3 股往上排，共有 P83 种土地编 1， 2， 3 号，从 8 种菜籽中任选 3 种往上排，有 P83 种。【巩固】 现有男同

25、学 3 人，女同学 4 人 ( 女同学中有一人叫王红 ) ，从中选出男女同学各2 人，分别参加数学、英语、音乐、美术四个兴趣小组：( 1) 共有多少种选法 ?( 2) 其中参加美术小组的是女同学的选法有多少种?( 3) 参加数学小组的不是女同学王红的选法有多少种?( 4) 参加数学小组的不是女同学王红，且参加美术小组的是女同学的选法有多少种?【解析】 （ 1）从 3 个男同学中选出 2 人，有 3 2 = 3 种选法。从 4 个女同学中选出2 人，有4 3=6种选法。22在四个人确定的情况下，参加四个不同的小组有4×3×2×1= 24 种选法。3×6&#

26、215;24= 432，所以共有 432 种选法。（ 2）在四个人确定的情况下，参加美术小组的是女同学时有2×3×2×1= 12种选法。3×6×12= 216，所以其中参加美术小组的是女同学的选法有216 种。（ 3）考虑参加数学小组的是王红时的选法，此时的问题相当于从3 个男同学中选出2 人，从 3 个女同共15页第6页学中选出 1 人， 3 个人参加3 个小组时的选法。3×3×3×2×1= 54，所以参加数学小组的是王红时的选法有54 种， 432- 54= 378，所以参加数学小组的不是女同学王红的

27、选法有378 种。（ 4）考虑参加数学小组的是王红且参加美术小组的是女同学时的选法，此时的问题相当于从3 个男同学中选出 2 人参加两个不同的小组，从3 个女同学中选出1 人参加美术小组时的选法。3×2×3= 18，所以参加数学小组的是王红且参加美术小组的是女同学时的选法有18 种， 216-18= 198，所以参加数学小组的不是女同学王红，且参加美术小组的是女同学的选法有198 种。【例12】某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3 个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的48 名选手分成 8 个小组，每组6 人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8 个小组产生的前2名共 16人再分成4

28、 个小组，每组4 人，分别进行单循环赛；第三阶段：由4 个小组产生的 4个第1名进行 2场半决赛和2 场决赛，确定1至4 名的名次问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？【解析】 第一阶段中，每个小组内部的6个人每 2人要赛一场，组内赛26515场，共 8 个小组，有C62143158120 场；第二阶段中，每个小组内部4人中每 2 人赛一场，组内赛 C426 场，共 4 个小组，21有 64 24 场；第三阶段赛2 2 4场根据加法原理，整个赛程一共有120244 148场比赛。【例13】由数字 1，2，3 组成五位数， 要求这五位数中1，2，3 至少各出现一次， 那么这样的五位数共有_个。 (

29、 2007 年“迎春杯”高年级组决赛)【解析】 这是一道组合计数问题由于题目中仅要求1，2 ， 3至少各出现一次，没有确定1， 2，3出现的具体次数，所以可以采取分类枚举的方法进行统计，也可以从反面想，从由1,2,3组成的五位数中，去掉仅有 1个或 2个数字组成的五位数即可(法 1)分两类：1 ，2 ， 3中恰有一个数字出现3次，这样的数有C315460(个)； 1， 2 ， 3中有两个数字各出现2 次，这样的数有 C32 5 C4290(个 )符合题意的五位数共有6090 150 (个 )(法2)从反面想，由1， 2 ， 3 组成的五位数共有35 个，由 1， 2 ， 3 中的某 2 个数字

30、组成的五位数共有3 (252)个，由1， 2 ， 3中的某1 个数字组成的五位数共有3 个，所以符合题意的五位数共有353(2 52)3150 (个 )。【例14】 10 个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法？【解析】(法 1)乘法原理按题意，分别站在每个人的立场上，当自己被选中后，另一个被选中的，可以是除了自己和左右相邻的两人之外的所有人，每个人都有7 种选择，总共就有 710 70 种选择，但是需要注意的是，选择的过程中，会出现“选了甲、乙，选了乙、甲”这样的情况本来是同一种选择，而却算作了两种，所以最后的结果应该是(10111)102 35(种 )(法 2) 排除法

31、可以从所有的两人组合中排除掉相邻的情况，总的组合数为 C102 ，而被选的两个人相邻的情况有 10 种，所以共有 C1021045 10 35 (种 )。【例15】 8 个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间（不一定相邻），小慧和大智不能相邻，小光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种？【解析】 冬冬要站在小悦和阿奇的中间，就意味着只要为这三个人选定了三个位置，中间的位置就一定要留给冬冬，而两边的位置可以任意地分配给小悦和阿奇小慧和大智不能相邻的互补事件是小慧和大智必须相邻小光和大亮必须相邻，则可以将两人捆绑考虑只满足第一、三个条件的站法总数为：C73P22C41P22P333360 （种

32、）同时满足第一、三个条件，满足小慧和大智必须相邻的站法总数为：C63P22P32P22P22960 （种）共15页第7页因此同时满足三个条件的站法总数为：3360 960 2400（种）。【例16】小明有 10 块大白兔奶糖 , 从今天起 , 每天至少吃一块 . 那么他一共有多少种不同的吃法?【解析】 我们将 10 块大白兔奶糖从左至右排成一列,如果在其中9 个间隙中的某个位置插入“木棍”,则将 lO 块糖分成了两部分。我们记从左至右 ,第 1 部分是第 1 天吃的 ,第 2 部分是第2 天吃的 ,，如 :|表示第一天吃3了粒 ,第二天吃了剩下的 7 粒：| |表示第一天吃了 4 粒 ,第二天

33、吃了 3粒 ,第三天吃了剩下的 3 粒不难知晓 ,每一种插入方法对应一种吃法,而 9 个间隙 ,每个间隙可以插人也可以不插入,且相互独立， 故共有 29= 512 种不同的插入方法 ,即 512 种不同的吃法。【巩固】小红有 10 块糖，每天至少吃1 块， 7 天吃完，她共有多少种不同的吃法？【解析】 分三种情况来考虑： 当小红最多一天吃4 块时，其余各每天吃1块，吃 4 块的这天可以是这七天里的任何一天，有7 种吃法； 当小红最多一天吃 3块时，必有一天吃 2 块，其余五天每天吃 1块，先选吃 3 块的那天，有 7 种选择，再选吃 2 块的那天，有 6 种选择，由乘法原理，有 7 6 42种

34、吃法； 当小红最多一天吃2 块时，必有三天每天吃2 块，其四天每天吃1 块，从7 天中选 3 天，有C73 76535 (种 )吃法。321根据加法原理，小红一共有7 42 35 84 (种 )不同的吃法还可以用挡板法来解这道题，10 块糖有 9个空，选 6 个空放挡板，有C96C9384 ( 种 )不同的吃法。【巩固】 把 20 个苹果分给3 个小朋友，每人最少分3 个，可以有多少种不同的分法？【解析】 (法 1)先给每人 2 个，还有14 个苹果，每人至少分一个， 13 个空插2 个板，有 C13278 种分法(法 2) 也可以按分苹果最多的人分的个数分类枚举。【巩固】 有 10 粒糖，分

35、三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法？【解析】 如图：|，将10粒糖如下图所示排成一排，这样每两颗之间共有9 个空，从头开始吃，若相邻两块糖是分在两天吃的，就在其间画一条竖线隔开表示之前的糖和之后的糖不是在同一天吃掉的，九个空中画两条竖线，一共有9 8 236 种方法【例17】某池塘中有 A、B、C 三只游船，A 船可乘坐 3人， B 船可乘坐 2 人， C 船可乘坐 1人，今有3个成人和 2 个儿童要分乘这些游船，为安全起见， 有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，那么他们 5 人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种？【解析】 由于有儿童乘坐的游船上必须至少有1个成人陪同，

36、所以儿童不能乘坐C 船若这 5 人都不乘坐 C 船，则恰好坐满 A、B 两船， 若两个儿童在同一条船上，只能在 A 船上，此时 A船上还必须有 1个成人， 有 C313种方法； 若两个儿童不在同一条船上，即分别在 A、B 两船上， 则 B船上有 1 个儿童和 1个成人， 1个儿童有 C212 种选择， 1个成人有 C313 种选择，所以有 236 种方法故 5 人都不乘坐 C 船有 369 种安全方法；若这 5 人中有 1人乘坐 C 船，这个人必定是个成人，有C313 种选择其余的2 个成人与 2个儿童，若两个儿童在同一条船上，只能在A 船上，此时 A 船上还必须有 1个成人，有 C212 种

37、方法，所以此时有 3 2 6 种方法；若两个儿童不在同一条船上，那么B 船上有1个儿童和1个成人，此时1个儿童和 1 个成人均有 C212 种选择，所以此种情况下有3 2212 种方法；故 5 人中有 1 人乘坐C 船有共15页第8页61218种安全方法所以，共有91827 种安全乘法【例18】从 10名男生， 8名女生中选出 8 人参加游泳比赛在下列条件下，分别有多少种选法？恰有 3名女生入选；至少有两名女生入选；某两名女生，某两名男生必须入选；某两名女生，某两名男生不能同时入选；某两名女生，某两名男生最多入选两人。【解析】 恰有 3 名女生入选，说明男生有5人入选，应为 C83C10514

38、112 种；要求至少两名女生人选，那么“只有一名女生入选”和“没有女生入选”都不符合要求运用包含与排除的方法，从所有可能的选法中减去不符合要求的情况：C188C108C107C8143758； 4人必须入选，则从剩下的14人中再选出另外4 人，有 C1441001 种；从所有的选法C188 种中减去这4 个人同时入选的C144 种：C188C14443758 100142757分三类情况：4人无人入选；4人仅有 1人入选； 4人中有 2 人入选，共：C148C41C147C42C14634749。【巩固】 在 6名内科医生和4 名外科医生中，内科主任和外科主任各一名，现要组成5 人医疗小组送医

39、下乡，按照下列条件各有多少种选派方法？ 有 3 名内科医生和2 名外科医生； 既有内科医生，又有外科医生； 至少有一名主任参加； 既有主任，又有外科医生。【解析】 先从 6名内科医生中选3名，有 C6365420 种选法；再从4 名外科医生中选2名，321共有 C42436 种选法根据乘法原理，一共有选派方法206120种21 用“去杂法”较方便，先考虑从10 名医生中任意选派5人，有 C105109876252 种选派方54321法；再考虑只有外科医生或只有内科医生的情况由于外科医生只有4人，所以不可能只派外科医生如果只派内科医生，有C65C616种选派方法所以，一共有2526246 种既有

40、内科医生又有外科医生的选派方法。 如果选1 名主任， 则不是主任的8名医生要选4人，有 2C8428765140 种选派方法； 如果4321选 2 名主任，则不是主任的8名医生要选3人，有 1C83187656种选派方法 根据加法原理，321一共有14056196种选派方法 分两类讨论：若选外科主任，则其余4人可任意选取，有49876126种选取方法；C94321若不选外科主任，则必选内科主任，且剩余4 人不能全选内科医生，用“去杂法”有448765543265 种选取法C8C543214321根据加法原理，一共有12665191种选派方法。【例19】在 10 名学生中，有5 人会装电脑，有3人会安装音响设备，其余2 人既会安装电脑，又会安装音响设备，今选派由6 人组成的安装小组，组内安装电脑要3 人，安装音响设备要3人，共有多少种不同共15页第9页的选人方案？【解析】 按具有双项技术的学生分