2004年高考数学(福建卷理工类)

1、11.2.3.4.5.6.2004 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工类）（福建卷）第I巻选择题共 60 分）、选择题：本大题共 12 小题，每小题 项是符合题目要求的.复数（口）10的值是1 +iA . 1tan15 +cot15B . 1的值是B . 2+ v3命题命题已知p :右 a、5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有C. 32C. 4b R,则|a|+|b|1 是|a+b|1 的充分而不必要条件;32q :函数 y=| X -1| -2的定义域是(g,1 U3 , +g).则p 或 q”为假B.“ p 且 q”为真p 真 q 假D. p 假 q 真Fi、F2是椭圆

2、的两个焦点，过Fi且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是已知 m、1若2若3若4若B 两点,可2C.2n 是不重合的直线,ma ,n/ am/ a ,m/ 3a A 3=n,m/m a ,m丄3其中真命题的个数是A . 0a、3是不重合的平面，有下列命题: ，贝 U m / n;，则a/3； n,贝 U m /a且 m /，则a/3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入班安排 2 名，则不同的安排方案种数为C. 24 名学生，要安排到该年级的两个班级且每2312 2B.Afc：2一 1 一 1 7.已知函数 y=log2x 的反函数是 y=f (x),则函数

3、 y= f (1 x)的图象是2 2A .A6C42 2C.A6A4D.2A：J01(B)(D)(O& 已知 a a、b b 是非零向量且满足(a a 2b b)JIJIA .B .63丄 a a, (b b 2 a a)丄 b b,2兀则 a a 与 b b 的夹角是C .3119.若(1-2)9展开式的第 3 项为 288，则lim (- -yx xC .-248n的球面上三点， ,O 为球心，则直线 : )B . arccos_?10 .如图，A、B、C 是表面积为AB=2 , BC=4，/ ABC=60 与截面 ABC 所成的角是OAarcsinarcsin3D. arccos

4、33)的值是D.11.定义在 R 上的函数JIf(x)满足 f(x)=f(x+2),当 x 3, 5时，f(x)=2- |x-4|,则(JIA. f(sin)f(cos )6 6 2兀2兀C . f(cos )f(cos1)f(cos2)f(si n2)QA . (2 . 7 2)a 万元B . 5a 万元4C. (2.7+1) a 万元D. (2 . 3 +3) a 万元第H卷(非选择题共 90 分)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在答题卡的相应位置13 .直线 x+2y=0 被曲线 x2+y2 6x 2y 15=0 所截得的弦长等于 _.15.某射手射

5、击 1 次，击中目标的概率是 互之间没有影响.有下列结论：1他第 3 次击中目标的概率是 0.9;2他恰好击中目标 3 次的概率是 0.93X0.1 ；3他至少击中目标 1 次的概率是-04.其中正确结论的序号是 _(写出所有正确结论的序号).16.如图 1,将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各 切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一 个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为_ 时，其容积最大 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=a a b b,其中向量 a a=(2cosx,1)

6、, b b=(cosx,(I)若 f(x)=1. 3 且 x33T(H)若函数 y=2sin2x 的图象按向量 c c=(m, n)(|m|)平移后得到函数 y=f(x)的图象,2求实数 m、n 的值.14.设函数FX 一 1f X 二 xIa x =0 .在x =0处连续,则实数a 的值为JI，求x;09 他连续射击 4 次，且各次射击是否击中目标相518(本小题满分 12 分)甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的 10 道试题中，甲能答对其中的 6 题， 乙能答对其中的 8 题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3 题进行测试， 至少答对 2 题才算合格.(I)求甲答对试题数E的概率

7、分布及数学期望；(n)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率619.(本小题满分 12 分)在三棱锥 SABC 中， ABC 是边长为SA=SC=2 .3 , M、N 分别为 AB、SB 的中点.(I)证明：AC 丄 SB;(H)求二面角 N CM B 的大小；(川)求点 B 到平面 CMN 的距离.720.（本小题满分 12 分）某企业 2003 年的纯利润为 500 万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20 万元，今年初该企业一次性投入资金 600 万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年（今年为1第一年）

8、的利润为 500（1+-）万元（n 为正整数）.2（I）设从今年起的前 n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A-万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求 An、Bn的表达式；（H）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？821 .(本小题满分 14 分)2x - a已知 f(x)=2(x R)在区间1, 1上是增函数x +2(I)求实数 a 的值组成的集合 A;1(H)设关于 x 的方程 f(x)= 的两个非零实根为 X1、X2.试问：是否存在实数 m,使得不x等式 m2+tm+1 凶X2|对任意

9、a A 及 t 1,1恒成立？若存在，求 m 的取值范围；若不 存在，请说明理由922.(本小题满分 12 分)1如图，P 是抛物线 C: y= x2上一点，直线 I 过点 P 且与抛物线 C 交于另一点 Q.2(I)若直线 I 与过点 P 的切线垂直，求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程；(H)若直线 I 不过原点且与 x 轴交于点 S,与 y 轴交于点 T,试求口的取|SP| |SQ|102004 年普通高等学校招生全国统一考试数学答案(理工类)(福建卷)、1.A2.C3.D 4.A5.B6.B7.C8.B9.A10.D11.D12.B13. 4 .514.1/215.1,316.2/317

10、.本小题主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能,考查运算能力满分 12 分.解：(I)依题设，f(x)=2cos2x+ . 3 sin2x=1+2sin(2x+).6二二.3由1+2sin(2x+)=1 ：j3，得 sin(2 x +)=.662二二二二5 -二二-wxW，一w2x+w，2x+= 一3326663n即 x=-4(H)函数 y=2sin2x 的图象按向量c=(m , n)平移后得到函数 y=2sin2(x m)+n 的图象, 即函数y=f(x)的图象.由(I)得 f(x) =2si n2(x+ )+1.12JIJIT|m|3 ,0),AC= ( 4

11、, 0, 0) ,SB= AC 丄 SB.0),MN= ( 1, 0，丁2).设 n n= (x, y, z)为平面 CMN 的一个法向量,广CM n n =3x+ % %3 3y=0 ,二面角（川） 在Rt NEF 中，NF=. EF2EN2SCMN= CM NF= -.3 , SCMB= BM2 - -2设点 B 到平面 CMN 的距离为h.TVB-CMN=VN-CMB,NE丄平面.1CMB，一 SCMN3NE，. h=ScMBNE=2.即点S.CMN34.2B 到平面CMN的距离为3/ ACSB= ( 4 , 0 , 0) (0,2.3, 2.2) =0,连结 OS、OB.(0,()由(

12、I)得CM= (3,2. 3, 2 .2),N(0 ,3,、2).14取 z=1,则 x= . 2 , y= 6,15MN n n= x+ . 2 z=0,二n=(2，一 .6 ,1),又OS=(0 , 0, 2、.2)为平面 ABC 的一个法向量, cos(n n,OS)=-OS=1.|n I OS 13二面角1N CM B 的大小为 arccos-3(川)由(I)(n)得MB=(1, J3 ,0),n n=( J2 , y6 ,1)为平面 CMN 的一个法向量，-Lr点 B 到平面 CMN 的距离 d=| n MB 1=4-2|n |3=10 n2+10n 500 100=10 n(n+1

13、)2n50因为函数 y=x(x+1) - 10 在(0, +8)上为增函数,2x5050当 1wnw3 时，n(n +1) 10W12100.2-16仅当 n4 时，BnAn.至少经过 4 年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利 润.21.本小题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分 14 分.20.本小题主要考查建立函数关系式、 数列求和、 不等式的等基础知识， 考查运用数学知识解 决实际问题的能力 解：(I)依题设，1Bn=500(1+)+(1+2)+ +(1 +2 2 2(n

14、)BnAn=(500n一n-100)2.满分 12 分.2An=(500 20)+(500 40)+ +(500 20n)=490n 10n ；11500)600=500n n2(490n 10n )色10.2-16解:(I)f7(x)=o4 2ax - 2x(x22)22-2(x-ax-2)17 f(x)在1 , 1上是增函数, f / (x) 0 对 x 1, 1恒成立，即 x2 ax 20 对 x 1, 1恒成立设:(x)=x2 ax 2,方法一：;:(1)=1 a 2 0,1 a 1,:(1)=1 + a 2 |X1 X2|对任意 a A 及 t 1, 1恒成立，当且仅当 m2+tm+

15、1 3 对任意 t 1, 1恒成立，即 m +tm 20 对任意 t 1, 1恒成立.、rr22设 g(t)=m +tm 2=mt+(m 2),方法一：2P( 1)=m m 2 0,二 y2g(1)=m +m 2 0,二 m2 或 mw2.所以，存在实数 m,使不等式 m2+tm+1 凶x?对任意 a A 及 t 1, 1恒成立，其 取值范围是m|m 2，或 mw2.1)=1 + a2w00waw1 (1)=1a2w01wa0,m 0(1)=m2+m 2 0二 m2 或 mW 2.所以，存在实数 m,使不等式 m2+tm+1 |xi x?|对任意 a A 及 t -1, 1恒成立，其取 值范围

16、是m|m 2，或 mW 2.22.本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本 思想和综合解题能力满分 12 分.解：(I)设 P(X1,y1),Q(X2,y2),M(X0,yo)，依题意 X1*0,y10,y20.1由 y=-x2,2得 y / =x.过点 P 的切线的斜率 k 切=X1,TX1=0 不合题意，X1工 0X1X2广 X0=-2121yo=X1 (xox1).2 x121消去 X1,得 y=xo+2+1(x0* 0),2X01 PQ 中点 M 的轨迹方程为 y=x2+2+1(x*0).2x2方法二：/ M 是 PQ 的中点191212X1X2田

17、y1= X1, y2=X2,X0=2 2 2/曰12121得 yi y2= X1 X2= (Xi+X2)(Xix2)=X0(Xix2),2 2 21X1= ,Xo将上式代入并整理，得2yo=xo+2+1(xo* 0),2Xo1 PQ 中点 M 的轨迹方程为 y=x2+-+1(X0).2X(n)设直线 l:y=kx+b，依题意 k丰0,0,则 T(0,b).分别过 P、Q 作 PP/丄X轴，QQ/丄 y 轴，垂足分别为 P/、Q,则l_ST| LSLI |OT | . |OT |b | |b|SP| |SQ|PP| |Q Q| |y1| |y2l2y1+y2=2(k +b),y1y2=b2.方法= |b|(丄+丄) 2|b|丄=2 冋挡 =2.y1y2yM b y1、y2 可取一切不相等的正数,瞬+需的取值范围是(2,-)方法则X0=y1-y2X1- X2=ki= 1X1y=2Xy=kx+b消去X,得 y2 2(k2+b)y+b2=0.|ST| .|ST|SP|201ST |SP|竺=|b|SQ|yiy2yy=|b|2(k2b)当 b0 时,| ST| | ST| 2(k2b) 2(k2b) 2k2=b2=-| SP| |SQ| b2bb当 b0 ,于是 k2+2b0，即 k2 - 2b.所以