二维随机变量6PPT精选文档

1、1第三章 随机向量23.1 3.1 二维随机变量二维随机变量也称为n元随机向量。n1nxxR(,.,)其中1nn2x ,.,xn 1n1定义称F(x ,.,x )=P()为 元随机变量的分布函数。12n1n11nn1n1( , ,., ),nx ,.,x ,x ,.,x n( ,., )n定义若每次试验的结果对应着一组确定的实数它们是随着试验结果不同而变化的个变量，并且对任何一组实数事件有确定的概率，则称为 个随机变量的整体为一个 元随机变量。3(一一)离散型离散型把(，)的所有可能取值与相应概率列成表，称为(，)的联合概率分布表。.21jyyyx1x2xi1j1112ij2122iji1i2

2、ppppppppp.定义定义3 如果二元随机变量如果二元随机变量(，)所有可能取的数对所有可能取的数对为有限或可列个，并且以确定的概率取各个不同的为有限或可列个，并且以确定的概率取各个不同的数对，则称数对，则称(，)为二元离散型随机变量。为二元离散型随机变量。4也可用一系列等式来表示P(=xi,=yj)=pij,(i,j=1,2,)称为与的联合分布律。联合分布有如下性质：(1) pij0iji j2p1,( )例1 同一品种的5个产品中，有2个正品。每次从中取1个检验质量，不放回地抽取，连续2次。设“k=0”表示第k次取到正品，而“k=1”为第k次取到次品。(k=1,2)写出(1, 2)的联合

3、分布律。5解：试验结果由4个基本事件组成。P(1=0, 2=0)=P(1=0)P(2=0| 1=0)4152=0.1P(1=0, 2=1)4352=0.3P(1=1, 2=0)4253=0.3P(1=1, 2=1)4253=0.3列成联合概率分布表：2101010.10.30.30.36(二二)连续型连续型x y( , )称为 与 的联合概率密度。它有性质：1x yx y0( ), , ( , )对一切实数2x y dxdy1( )( , ) 对任意平面区域D,DPDx y dxdy( , )( , ) bdacP ab cdx y dydx(,)( , ) 特别地，4(x,y),( , )

4、xy-定义若存在一个非负函数使得二元随机变量的分布函数F(x,y),对任意x,y都有F(x,y)=(s,t)dtds则称( , )是二元连续型随机变量。72xyx0 x1 0y2x y301 已知其它求P()()例P5及,( , )( , ):解：P(+ 1)x y 1x y dxdy( , ) 12201 xxydxxdy3()6572同样地P( )y xx y dxdy( , )1220 xxydxxdy3()17242110 xy2110 xy8( , ) 若二元连续型随机变量的联合概率密度为22112222212121(x)(x)(y) (y)22(1 p)2121(x,y)e21 1

5、21212,0,0,| 1 其中, 均为常数，221212, 称()服从二元正态分布记作()N()1 可以验证(x,y)dxdy93.4 边缘分布( ),( , )XF xP X xP X xYF x ( ),( , )YF yPYyP XYyFy3.4.1边缘分布函数10若已知联合分布，则P(=xi)ijjPxy(,) ijjp记作i=1,2,P(=yj)ijip记作j=1,2,iiipp 1均为非负，且gg表示联合概率表中第i行各概率之和,称为x的边缘概率密度。它表示，不论取何值，取值xi的概率ipgjpgipg 的含义类似，jpg称为y的边缘概率密度。边缘概率密度边缘概率密度11例2 将

6、两封信随机地往编号为I、II、III、IV的4个邮筒内投。i表示第i个邮筒内信的数目(i=1,2)写出(1， 2)的联合分布以及1， 2的边缘分布。解：试验共有42种不同的等可能结果。00124pP0016(,) pP(,) 01124011610014pp16p1121602201pp16p12=p21=p22=012列成联合分布表：12012001610162164161164164210916616116ip961161616jp即边缘分布为2012961161616101296116161613xF xPxdss t dt( )(,)( , ) yF yPydts t ds( )(,)

7、( , ) 分别称为二元随机变量(，)中关于及关于的边缘分布函数。求导可得相应的概率密度：1xx y dy( )( , )是关于的边缘概率密度。2yx y dx( )( , )是关于的边缘概率密度。x1F xs ds( )( )而y2F yt dt( )( )141axb,cyd(ba)(dc)(6, )(x,y) 已知0其它称为二元连续型均匀分布。求边缘。例概率密度:解：当axb时1xx y dy( )( , )cdcd10dydy0dyba dc()()1ba在其它点1xx y dy( )( , )0dy011axb(x)ba0故其它21cyd(y)dc0同理其它152xyx0 x1,0y

8、2( , )(x,y)307 已知其它求关于 和 的边。例缘概率密度:解：当0 x1时1xx y dy( )( , )02202xy0dyxdy0dy3()222xx31+当x1时, (x)=0dy=02122xx0 x1(x)30故其它同理可求出211y0y2(y)360其它16对于二元随机变量(，)，若P (=yj)0，称pij/pj (i=1,2,)为在=yj条件下关于的条件分布。ijijjpP(x |y )i1,2,.p g显然P (=xi|=yj)是非负的，且对所有i，它们的和为1同样，若pi0ijjiipP(y |x )j, ,.p 1 2g称为在xi条件下关于的条件分布。p(=y

9、j|=xi)是非负的，且对所有j，它们的和为1记为条件分布条件分布1 1、当（、当（X X，Y Y）为离散型随机变量时）为离散型随机变量时17例3 求出例2中在21条件下关于1的条件分布。解：12012001610162164161164164210961161616jp01121pP(0|1)p g643211121pP(1|1)p g623121121pP(2|1)p g0故21时， 1的条件分布为1120121P133(|) 18例4 反复掷一颗骰子，直到出现小于5点为止。 表示最后一次掷出的点数， 表示投掷次数。求(，)的联合分布律，边缘分布律及条件分布。解：的取值是1，2，3，4的取

10、值是1，2，“=i,j”表示掷了j次，而最后一次掷出i点。前j-1次掷出5点或6点。由于各次掷骰子是相互独立的。j 121Pij66(,) 故联合分布表为192j 12j 12j 12j 1123.j.12 121211.66 6666612 121212.66 6666612 121213.66 6666612 121214.66 66666414141412j 1j42 42424p.66 66666条件分布为：ipg2012341111Pj4444( |) j 112j42 424Pi66 666.( |). 212 2、当（、当（X X，Y Y）为连续型随机变量时）为连续型随机变量时)

11、(),()(xfyxfxyfXXY类似地可定义：类似地可定义：为在条件为在条件)(),()/(/yfyxfyxfYYX同理称为在条件为在条件Y Y = =y y下下X X 的条件概率密度的条件概率密度. .xX 下下Y 的条件概率密度的条件概率密度.22例例1:设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的的 概率密度为概率密度为其他,00, 0,6),(32yxeyxfyx. )(xyfXY求)(xyfXY解：)(),(xfyxfXyxyxeee323232623(三三)随机变量的相互独立性随机变量的相互独立性判断独立的充要条件：XYi, j1,2,.离散型与 独立对一切XY连续型与 独立对任何实

12、数x,yXYf(x,y)f (x)f (y)XY5x,y,(X,Y)F(x,y)XYF(x,y)F (x)F (y)XY定义对于任何实数如果二元随机变量的联合分布函数等于 和 的边缘分布函数的乘积，即则称随机变量 与 相互独立。ijijpp p24例8 在例2中1与2是否相互独立？解：已经得到12012001610162164161164164210916616116ip961161616jp11016 16由于2222p pp即gg故1与2不是相互独立的。25例9 掷两颗骰子，用与分别表示第一颗与第二颗的点数。与是否独立。12345611111113636363636361111112363

13、6363636361111113363636363636111111436363636363611111153636363636361111116363636363636 ip161616161616g可见对所有i,j有故与是相互独立的。 111111666666jpgijijpp p26例10 例6中的随机变量与是否相互独立？axb,cyd01由 (x,y)= (b-a)(d-c)其它解：11axb(x)ba0其它21cyd(y)dc0其它可见，对任何x,y有12x yxy( , )( )( ) 故与相互独立。272xyx0 x1,0y2(x,y)30其它解：2122xx0 x1(x)30其

14、它211y0y2(y)360其它12x yxy( , )( )( ) 由于故与不独立。例11 例7中的随机变量与是否相互独立？ 283.7 3.7 随机变量函数的分布随机变量函数的分布1. Z=X+Y2. Z=maxX,Y和和Z=minX,Y 对于二维连续型随机向量（X,Y）本节只考虑以下两种函数关系：注：其中注：其中X和和Y相互独立。相互独立。29连续函数的卷积公式设连续随机变量X与Y 独立， 则 Z=X+ Y 的密度函数为( )( )()d =()( )dZXYXYfzfx fzxxfzy fyy30离散函数的卷积公式设离散随机变量 X 与 Y 独立，则 Z=X+ Y 的分布律为11)()

15、() ()()( = liliiljjjP XxP YzxP XzyP YyP Zz31卷积公式的应用X与Y 是独立同分布的标准正态变 量，求 Z = X+ Y 的分布.( )( )()dZXYfzfx fzxx解：2211()expexp2222dxzxx21exp2222z所以 Z = X+ Y N(0, 2).进一步的结论见后32设 X 与 Y 独立，XU(0, 1), YExp(1). 试求 Z = X+Y 的密度函数.解:11, 01( )0, xXf x其 它2, 0( ) 0,0yeyYfyy12( )( ) ()dZf zf x f zx x被积函数的非零区域为：0 x0用卷积

16、公式：(见下图)33xz1z = x因此有(1) z 0 时fZ(z) = 0 ;(2) 0 z 1 时()0d1zz xzexe fZ(z) =(3) 1 z 时fZ(z) =1()0d(1)z xzexee134最大值与最小值分布设X与Y 独立，且 X, Y 等可能地取值 0 和1. 求 Z = max(X, Y) 的分布律.解:X 0 1P 1/2 1/2Y 0 1P 1/2 1/2Z = max(X, Y) 的取值为: 0, 1P(Z=0) = P(X=0, Y=0) = P(X=0)P(Y=0) =1/4P(Z=1) = P(X=0, Y=1) + P(X=1, Y=0) + P(X=1, Y=1)= 3/435设 X1, X2, Xn, 独立同分布，其分布函数和密度函数分别为 FX(x) 和 fX(x).一般情况若记Y = max (X1, X2, Xn),Z = min (X1, X2, Xn)则 Y 的分布函数为:FY (y) = F