2019届高考数学一轮复习第八章解析几何课堂达标41圆的方程文新人教版

1、课堂达标（四十一）圆的方程A 基础巩固练1.（高考广东卷）平行于直线 2x+y+ 1 = 0 且与圆x2+y2= 5 相切的直线的方程是（）A. 2x+y+ 5 = 0 或 2x+y 5 = 0B.2x+y+ 5= 0 或 2x+y 5= 0C. 2xy+ 5 = 0 或 2xy 5 = 0D.2xy+ 5= 0 或 2xy 5= 0解析设所求切线方程为 2x+y+c= 0，依题意有|0 +f+?= 5，解得c= 5,所 卩+ 12 V以所求切线的直线方程为2x+y+ 5 = 0 或 2x+y 5 = 0，故选 A.答案A2.已知直线I:x+my+4 = 0,若曲线x2+y2+ 2x 6y+

2、1 = 0 上存在两点P, Q关于直 线I对称，则m的值为（）A. 2B. 2C. 1D. 1解析 因为曲线x2+y2+ 2x 6y+1= 0 是圆（x+ 1）2+ （y 3）2= 9,若圆（x+ 1）2+ （y3）2= 9 上存在两点P,Q关于直线l对称，则直线l:x+my+4= 0 过圆心（一 1,3），所以 1+ 3m4= 0,解得m= 1.答案D13.若直线ax+ 2by 3 = 0（a0,b0）始终平分圆x2+y2 4x 2y 8= 0 的周长，则- +ab的最小值为（）A. 1C. 4 2解析由题意知圆心 Q2,1）在直线 2a+2b 2 = 0,整理得a+b= 1,1212b2a

3、a+b=a+b（a+b）=3+a+石3+2/ b=3+2 2,当且仅当b=2，即卩b= 2 , 2,a=2 1 时，等号成立.1 2a+b的最小值为 3+ 2 2.B. 5D. 3+ 2 2ax+ 2by 2= 0 上,b2a2答案D4.点 R4 , - 2)与圆x2 3 45 6 7+y2= 4 上任一点连线的中点的轨迹方程是()A.(x 2)2+ (y+ 1)2=1B.(x 2)2+ (y+ 1)2= 42 2 2 2C.(x+ 4) + (y 2) =4D. (x+ 2) + (y 1) = 1解析设圆上任一点坐标为(xo,yo),x2+y2= 4,连线中点坐标为(x,y),2x=xo+

4、 4殳0= 2x 4,贝叫? 0)，若圆C上存在点 P,使得PA-PB= 0,贝 yt的最小值为()J *32+ 12=tmin+ 1?tmin= 1 ,即t的最小值为 1.答案D26 (2018 绵阳诊断)圆C的圆心在y轴正半轴上，且与x轴相切，被双曲线x2号=1的渐近线截得的弦长为,3，则圆C的方程为()A.x2+ (y 1)2= 1B. x2+ (y3)2= 3C.x2+ (y+ 1)2=1D.x2+ (y+3)2= 3解析依题意得，题中的双曲线的一条渐近线的斜率为3，倾斜角为 60,结合图形(图略)可知，所求的圆C的圆心坐标是(0,1)，半径是 1,因此其方程是x2+ (y 1)2=

5、1.答案A7 过点P(1,1)的直线，将圆形区域(x,y)|x2+y2w4分为两部分，使得这两部分的 面积之差最大，则该直线的方程为 _ .解析 当圆心与点P的连线和过点P的直线垂直时， 符合条件.圆心O与点P连线的 斜率k= 1,所求直线方程为y 1 = (x 1)，即x+y 2= 0.答案x+y 2= 0 x 0,&已知平面区域 fy0,恰好被面积最小的圆C：(xa)2+ (yb)2=r2及x+2y4W03A. 3B. 2C. 3D. 1解析由题意可得点P的轨迹方程是以AB为直径的圆，当两圆外切时有：其内部所覆盖，则圆C的方程为_ .解析由题意知，此平面区域表示的是以Q0,0),R

6、4,0)，Q0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆.QPC为直角三角形，圆心为斜边PQ的中点(2,1),因此圆C的方程为(x 2)2+ (y- 1)2= 5.答案(x 2)2+ (y 1)2= 59设M=(x,y)|y=2a2x2,a0,N= (x,y)|(x 1)2+ (y3)2=a2,a0,则 MHNM?时，a的最大值与最小值分别为 _ 、_.解析 因为集合M=(x,y)|y= 2a2x2,a0,所以集合M表示以 Q0,0)为圆心，半径为r1= 2a的上半圆.同理，集合N表示以Q(1 ,3)为圆心，半径为2=a的圆上的点.这两个圆的半径随着a的变化而变化，但|

7、QQ| = 2.如图所示，当两圆外切时，由2a+a= 2,得a= 2 2 2；当两圆内切时，由.2aa=2，得a= 2 2 + 2.所以a的最大值为 2,2+ 2，最小值为 2 2 2.答案2 2+ 2; 2 2 210.已知以点P为圆心的圆经过点A 1,0)和耳 3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且 ICD= 4 . 10.(1) 求直线CD的方程；(2) 求圆P的方程.解(1)由题意知，直线AB的斜率k= 1，中点坐标为(1,2).4则直线CD的方程为y 2= (x 1)，即x+y 3= 0.(2)设圆心P(a,b)，则由点P在CD上得a+b 3= 0. 又直线 ICD= 4

8、 10.IPA= 2 10,.(a+ 1)2+b2= 40.5圆心P( 3,6)或P(5 , 2).2 2 2 2圆P的方程为(x+ 3) + (y 6) = 40 或(x 5) + (y+ 2) = 40.B 能力提升练1已知圆C关于y轴对称，经过点（1,0）且被x轴分成两段弧长比为 1 : 2，则圆方程为（）B.:x士平卜y2=g2C. x +半径为nn23 =7,rcos 3 =|a|，解得r=3,r8 9=10， |a| =，即卩a=，故圆C的方程为x2+333答案C2.（2018 九江模拟）已知P是直线l: 3x 4y+ 11 = 0 上的动点，PA PB是圆x2xy+ 1 = 0

9、的两条切线（A,B是切点），C是圆心，那么四边形（ ）AJ2B. 2 2C.3D 2 3解析圆的方程可化为（x 1）2+ （y 1）2= 1,则 q1,1），当|PC最小时，四边形PACB勺面积最小,7所以四边形PAC啲面积S= 2X x 3X1=3，故选 C.答案C3.设点P是函数y=.4X12图象上的任意一点，点Q坐标为（2a,a 3）（a R），则|PQ的最小值为_ .解析函数y= .4x 12的图象表示圆（x 1）2+y2= 4 的下半圆.a=3,由解得-6a= 5,或=b= 2.解析由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为|n，设圆心（0 ,a)，rsinPACB的面积的最小

10、值是IPCmin|3 4+ 11|-32+ 42=2,此时 |PA= I6x= 2a,x令点Q的坐标为(x,y)，贝 U得y=石一 3,|y=a 3,2即x 2y 6 = 0,作出图象如图所示.|12X06|由于圆心(1,0)到直线x 2y 6= 0 的距离d=22= 52,ji+2所以直线x 2y 6 = 0 与圆(x 1)2+y2= 4 相离，因此|PQ的最小值是.5 2.答案5 24.(2018 岳阳模拟)在平面直角坐标系中，O为原点，A 1,0) ,B(0, Q3) ,Q3,0),动点D满足| &D= 1,则| 的6k OD的最大值是 _ .解析设Dx,y),由CD=(x 3,

11、y)及| 丽=1 知(x 3)2+y2= 1,即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆，又伽OBSD=( 1,0) + (0 ,3) + (x,y)=(x-1,y+J3),/. |3AFOBhOD= ；x-12+y+.32.问题转化为圆(x 3)2+y2= 1 上的点与点P(1 , 3)间距离的最大值.圆心C(3,0)与点P(1 , 3)之间的距离为.-12+U +_?32= ,7,故，x12+y+ 32的最大值为.7 + 1.答案.7 + 15.已知过原点的动直线l与圆C:x2+y2 6x+ 5= 0 相交于不同的两点A B(1) 求圆C的圆心坐标.(2) 求线段AB的中点M的轨迹C的方程.解(

12、1)把圆C的方程化为标准方程得(x 3)2+y2= 4,二圆C的圆心坐标为C(3,0).(2)设Mx,y),TA,B为过原点的直线l与圆C的交点，且M为AB的中点，由圆的性质知：MC丄MOIM(= 0.又MC= (3 x, y) ,MO=( x, y),由向量的数量积公式得 x2 3x+y= 0.7易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=mx当直线l与圆C相切时，d=|3广01=2,解得 m=纣5寸m+1525把相切时直线l的方程代入圆 G 的方程化简得 9x 30 x+ 25= 0,解得x=亍当直线I经过圆C的圆心时，M的坐标为(3,0).又直线l与圆C交于A, B两点，M为AB的中点，55 3x3. 点M的轨迹C的方程为x2 3x+y2= 0，其中-x0).根据题意，得2 2 2厂 1 a+ 1b=r1 a2+ 1 b2=r2，解得a=b= 1,r= 2,a+b2=0故所求圆M的方程为(x 1)2+ (y 1)2= 4.(2)因为四边形PAMB勺面积S=SAPAMF SAPBM1 1=2|AM|PA+JBMIPB,又|AM= |BM= 2