(完整版)导数专题之函数零点与方程问题教师版

1、导数专题之函数零点与方程问题函数 y= f(x)也可以看作二元方程 f(x) y= 0 通过方程进行研究就中学数学而言，函数思想在解题中的应 用主要 表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是各地模考和历年高考的重点1 有关函数零点的结论(1) 若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调

2、函数，则 f(x)至多有一个零点.(2) 连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.(3) 连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.2. 三个等价关系方程 f(x) = 0 有实数根？函数 y= f(x)的图象与 x 轴有交点？函数 y = f(x)有零点.3. (1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法.(2)判断函数零点个数的方法：解方程法；零点存在性定理、结合函数的性质；数形结合法：转化为两个函数 图象的交点个数.已知函数零点情况求参数的步骤判断函数的单调性；利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组);解不等式(组)，即得参数的取

3、值范围.(4) 函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围.a = f(x)有解型问题，可以通过求函数 y= f(x)的值域解决.2x2,xw0,例 1.函数f(x)=的零点个数是 _ .2x 6+ Inx,x0解析：当x0 时，f(x)1=2+ 0 恒成立，所以f(x)在(0,+8)上是增函数.又因为f(2) = 2+ In 2v0,f(3) = In 3 0，所以f(x)x在(0,+s)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为 2.类型二、求参数的值或范围例 2.若函数f(x) =xlnxa有两个零点，则实数a的取值范围为 _ .IS析；令矿 3 二JTlnj

4、j Z(jr) = a,则问题可转化成函数血)与力 g 的函象肓两个交為i(jrJ = lnjr+lj 令/ (x) 0j 即 1 口/加)丄可解得0JTi , BrtAi当 时，L /eeee IXI1Fd/国數虜 3 单调递减當才-时，国数圧单调递曙；由此可知兰1北=-时，出3卩ree二-2.在同一坐标系中作出丞I数童3和方O)的简蔑如團所示1S團可得一 -,Qe类型三、研究函数图像的交点个数例 3、已知函数f(x) =x3 3x2+ax+ 2，曲线y=f(x)在点(0，2)处的切线与x轴交点的横坐标为一 2.(1) 求a; (2)证明：当k0.当x0,g(x)单调递增，g( 1) =k

5、10 时，令h(x) =x 3x+ 4，则g(x) =h(x) + (1 k)xh(x) .h(x) = 3x 6x= 3x(x 2),h(x)在(0,2)单调递减，在(2,+a)单调递增，所以g(x)h(x) h(2) = 0.所以g(x) = 0 在(0，+a)没有实根.综上，g(x) = 0 在 R 上有唯一实根，即曲线y=f(x)与直线y=kx 2 只有一个交点.m例 4.设函数f(x) = Inx+-，m R.xx(1)当 m= e(e 为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x) =f(x) 3 零点的个数；exe解析：由题设，当 m= e 时，f(x) = l

6、nx+-，则f(x)=厂,xx当x (0 , e),f (x)v0,f(x)在(0 , e)上单调递减，当x(e,+a),f(x)0,f(x)在(e,+a)上单调递增，e x= e 时，f(x)取得极小值f(e) = ln e + -= 2,.f(x)的极小值为 2.en,x1m x人,口13(2)由题设g(x) =f(x) 3=xx23(x0)，令g(x) = 0,得 m= 3x+x(x 0).13 2设0(x) = 3X+x(x 0)，则0 (x) = x+ 1 = (x 1)(x+ 1),当x (0,1)时，0 (x) 0,0(x)在(0,1)上单调递增；当x(1,+a)时，0 (X)V

7、0,0(x)在(1,+a)上单调递减.x= 1 是0(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x= 1 也是0(x)的最大值点,20(x)的最大值为0(1) = 3.又0(0) = 0，结合y=0(x)的图象(如图)，可知2，函数g(x)无零点；当 m= 3 时，函数g(x)有且只有一个零点;2当 0vmV3时，函数g(x)有两个零点；当m0时，函数3当mg(x)有且只有一个零点.例 3.(1)(2)解析综上所述，当 m,函数g(x)无零点;有一个零点；当 0vm 3 时，函数g(x)有两个零点.(2017 全国 1 理 21)已知函数f xae2x讨论f x的单调性;若f x有两个零点，求a的取

8、值范围.(1)由于f xae2xa 2 exx,所以f2当m= 3或m在1, 1上恒成立，且 f(- )f( )在1, 1上恒成立，所以得函数 在区间1, 1上单调递斤弓丿卅丿ffx)增，又因为，所以函数在区间内至少有一个零点；由于函数在区间1, 1上单调递增，所以函数在区间1, 1内有唯一的零点。答案选Co2函数在上有三个零点，贝 U 的取值范围是.丿I厂/ *”1他刃(75丿(討呵廿叫A.B.C.D.【答案】Da 0Q 0【解析】当 时，函数恒成立，不合题意，所以，1 H Ifv = u = axx 7点，记，在上递减，在递增，故，故 时，两图象有两个f(x =-QX a 门(T+交点；故

9、若函数有三个不同零点，贝 U,的取值范围是，故选 D.f(x) = ax3- 2x +Jf(x)XQXn 时，g (X)递减；当VXV0, OvXV时，g (X)递增.作出 g极大值为 g ()=，由题意 可得当 a时，f(X)存在唯一的零点XO,且 X0V0,故选：D._ 2X1X 14. (2017 全国 3 理 11)已知函数f x x 2x a e e有唯一零点，则a().111A.B .C.D . 1232解析由条件 f X2X2xa(ex1 x 1e )，得：f(22X) (2 x)2(2x)a(e2X 1(2 x) 12e) x 4x14 4 2x a(eXX 1、e )2XX

10、12x a(eex1).所以f 2x f x，即 x 1 为f x 的对称轴， 由题意，f x 有唯一零点，故f X 的零点只能为 x 1，即 f (1) 122 1 a(e1 1e1 1) 0 ,解得 a 1 .故选 C.e , x 0,5已知函数f (X)g(x) f(x) x a.若 g (X)存在 2 个零点，贝 u a 的取值范围是 _In x, x 0,-,+m)6.已知函数 f(x) =ex, x R. (1)求f(x)的反函数的图象上点(1,0)处的切线方程；12(2) 证明：曲线y=f(x)与曲线y=x+x+ 1 有唯一公共点.2解析：1 云的反酬卩二130f,设所求切的斜率

11、为匕,sff二L1 二1,于是在点 10 辿切线方程为ry-1+2 证明；曲线尸与严斗十工十 1,公共点的个魏等于的数 竝=一看点 的个数.T 盘=1-工=0).牛存在零点工=。沪&0仅当时等号成茁?.-毎在 K单调递増的，:”毎在 R 上有唯一的霍点，故曲结尸砖尸”+E有唯的公共点.x(0. + f(xMmm(1)若对任意 有恒成立，求实数的取值范围；k E Ry-fM +k(2)当，试讨论函数 的零点个数fl- JI【详解】(1)点在函数 f(x) 图像上，所以-3=al n1+b,所以(X)的图象，可得 g (X)的Kx)= alnx +bx7已知函数的图像过点1 且在.处取得极

12、值44( (or-!-t+所以函数在上为增函数，在为减函数因为；丿=ln|-J =-lnJ-J.+ l33所以-In3-1，即实数 m 的取值范围为 1J 02-h k 0In?+-k2,当,即J，函数有 3 个零点-In2 -当+或-2代或 k = 24,即*，函数有 2 个零点.-ln2- + k0k2当即，函数有8.(全国卷 II 理 21)已知函数 f(x) exax2.(1) 若 a 1，证明：当 x 0 时，f(x) 1 ;(2) 若 f (x)在(0,)只有一个零点，求a a.【解析】(1 )当a 1时，f (x)1等价于(x21)ex10.设函数g(x) (x21)ex1,则g

13、(x) (x22x 1)ex(x 1)2ex.当x 1时，g(x) 0,所以g(x)在(0,)单调递减.而g(0) 0，故当x 0时，g(x) 0，即f(x)1.(2)设函数h(x) 1 ax2ex.f (x)在(0,)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,)只有一个零点.(i)当a 0时，h(x) 0,h(x)没有零点；1 个零点(ii)当a 0时，h(x) ax(x所以h(x)在(0, 2)单调递减，在4a故h(2)1专是h(x)在0,e2)ex当x (0,2)时，h(x) (2,)单调递增.)的最小值.若h(2)0，即a0；当x (2,)时，h(x)0.e2,h(x)在(0,)没有零点;4

14、4若h(2)0，即a2e,h(x)在(0,)只有一个零点;216a3睥：令 =- 3=诚2+1)-/h -13x0.Du(L+a:)B h去W1)h(时，机巧-，-3?,当耳T-rt,叫力- 皿hjCTYtrL fi(X) )-*4-X3x-#-l-B 1 .挝巧T+廿47 机戶方理曰3个科1印国AlRh星予函的&(2)已知方程在给定的区间上解的情况，去求参数的取值范围，另外有关方程零点的个数问题其实质也是方程根的问题。2例 2.已知f (x ) In x ax bx.(1)若a 1，函数f (x)在其定义域内是增函数，求b的取值范围；(2)f (x)的图象与x轴交于A(X1,0),B

15、(X2,0)(X1X2)两点,AB中点为C(x。，0)，求证：f(x。)0.2试题解析：(1)依题意：f (x) ln x axbx.f (X)12x bX1 分-f(x)在(0,)上递增，- f (x)- 2x bx0对X(0,)恒成立，即b12x对x (0,)恒成立，只需b1(-2x)min.3 分xxT x10, -2x 2.2，当且仅当x -2时取a ?54 分x2 b2,2, b 的取值范围为(，2&.6 分(2) 由已知得f (x1) ln捲ax1bx1lnX12ax1bx1两式相减，得若h(2)0，即a-，由于h(0)1，所以4h(x)在(0,2)有一个零点,由(1)知，

16、当x 0时，exx2，所以h(4a)故h(x)在(2,4 a)有一个零点，因此h(x)在(0,2e4综上，f(x)在(0,)只有一个零点时，a第二课时21例 1.已知函数f (x) In (x21),g(x) x彳 16a16a314122e (e )有两个零点.-a求方程f (x)g(x)的根的个数.1216a3f (x2)ln x2ax2bx2ln X22ax2bx2心a(x,x2)(x,x2) b(x,x2)lnx1(X1X2)a(xX2)b.8 分xX2【针对性练习】由f (x)2ax b及2xoxiX2，得1f (x0)2 ax0 xo2ba(x2)XiX2X2Xin仝x2x210

17、分X1X2XX2XX1X2(1)xX，(t)(t1)2八20t(t1)，二(t)在(0,1)上递减,X2, (t)2t 2t 1In t (0 t 1)(t)(1) 02(生1)X220，即2(X1X2)In - 0，又XX2,鱼1X2XX2X2X2f (X0)0.1 设函数，其中 ，若存在唯一的整数使得，则一的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【详解】令-，则-使得的整数即是使得八 的整数mm,当时他“恋单调递减，当 r 时3何乂咖单调递增，且当a 时回.作出函数-和.的图象如图所示由图可知，当_一时，使得-的整数有很多个当 S一时，要使得，的整数唯一，则gg(-1) h(- 1)g解

18、得则if1f1 /故选.f(x) = x(Jinx - J ) - ax * oa 02设函数，其中 ，若仅存在两个正整数 使得砌 伽丿0 a使得，则的取值范围是4ln2-2 4n2. - 2a - 2.C.D.【答案】Agfx) = 2xnx -xfh(x)= ax - axGf(x0) 0【解析】令-因为仅存在两个正整数 使得，即仅有两个整数使得x12(丄 1)1r2(xX2)1 x 11rx2. x.In In x2xx2冷 x1x2x2因为凤D = ci,膜丿上芒 *rm+i旳=【，MJ时加+钿=解得耐=令？闵 解得且当厂/从。.当L科刃所以且,所以当时，!,另一个满足条件的整数为2f

19、fxj = f2x +3Jex*J- ax - aa Kfft) 0口3 设函数 M ,，若存在唯一的整数，使得川，则实数 的取值范围为详解：设，“:则由题意可知，存在唯一的整数,使函数-的图象在函数吨 H的图象的下方.曲 ST，.当L；丿时，価函数我单调递减，(g(2) h(2)|4ln2-2o所以 L*，代入解得l-3ln3_l综上,4ln2-2ai Jln3-的取值范围为所以选 A因为凤D = ci,膜丿上芒 *rm+i旳=【，MJ时加+钿=解得耐=当时，函数单调递增,的最小值为(g-2) 刚g(i)=-令ga) )= 0, xJ wu - ?*i 0 . Et? i w 0工工，岂工童

20、可吋，S( (x)0/列町在七，I)单调诬眉兰工二冲吋，E顾1嵋戚-ijll”貳叫 =m- Jwbi JT；-2uc =DXI r?-ffi - 0PTIJ. 2nfln i;+MIL- m = 0恆旳*4 0 所以,2ki x；1=0 x)识跚拭曰二也工+“1医內当上巧 帆力邑葩尉.瞅g = B豁育一辭-125.设函数f(x) cl nx x bx(b,c R,c 0)，且x 1为f (x)的极值点.(i)若x 1为f (x)的极大值点，求f (x)的单调区间(用c表示)；(n)若f (x)0恰有两解，求实数c的取值范围.2解：f (x) c X b，又f(1)0,所以f (x)(x 1)(x c)且c 1,b c 10 xxx(I)因为x 1为f (x)的极大值点，所以c 1当0 x1时，f(X)0；当1 x c时，f (x)0；当xc时，f (x)0所以f(x)的递增区间为(0,1),(c,)；递减区间为(1,c).(II )若c 0，则f(x)在(0,1)上递减，在(1,)上递增1f(x)0恰有两解，贝y f(1)0，即2 b 0,所以1 -c 20；1212若0 c 1，则f极大(x) f (c) clnc c bc,f极小(x)