2019年高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6节抛物线学案文北师大版

1、第六节抛物线考纲传真1. 了解抛物线的实际背影，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 2 了解抛物线的定义、 几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、准线方程）3 理解数形结合的思想 4 了解抛物线的简单应用.双基自主测评I 基础知识誤林力全面巩固（对应学生用书第 123 页）基础知识填充1.抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线1（1不经过点F）距离相等的点的集合叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线I叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程与几何性质标准方程-2-y= 2px(P0)- 2-y- 2px(pO)- 2-x 2py(pO)-2-x-

2、2py(pO)p的几何意义：焦点F到准线I的距离图形/1L0y0X顶点皿对称轴仏y=0 xO焦占八、八、-ifp，o)F2,o)o,y Rxwo,yRyO,xRywO,xR焦半径| PF,pXo+,pXo+2,pyo+2,p-yo+2知识拓展1.抛物线y2= 2px（p0）上一点P（xo,yo）到焦点F=, 0 的距离|PF=xo+p，也称为抛物线的焦半径.22.y2=ax的焦点坐标为 曽，0 ,准线方程为x= a.b 丿43. 设AB是过抛物线y2= 2px(p0)焦点F的弦，若A(xi,yi) ,B(x2,y2)，则2P2(1)xiX2= 4,yiy2=p.2p弦长 IAB=X1+X2+p

3、=a为弦AB的倾斜角).sina以弦AB为直径的圆与准线相切.通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p,通径是过焦点最短的弦.基本能力自测1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“X”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线I的距离相等的点的集合一定是抛物线.方程y=ax2(az0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是线方程是x= 4.()4抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.()AB为抛物线y2= 2px(p0)的过焦点 F|2, 0 的弦，若A(X1,y” ,B(X2,y2),则X1X2=:,(J10，准2y1y2=p，弦长 |AB=X1+X2+p.()

4、答案(1)X(2)X(3)XV2一2.(教材改编)若抛物线y= 4x上的一点M到焦点的距离为 1,则点M的纵坐标是()A.C.15B亦D. 0M到准线的距离等于M到焦点的距离,11又准线方程为y= 16，设Mx,y)，则y+云=1，Ay=暮3抛物线y= 4x4的准线方程是(A.y= iB.y= 2C.x= 1D.x= 2 y= 4x2,2 x = 4y ,准线方程为y= 1.78324.(2018 大同模拟)已知抛物线y= 2px(p0)的准线经过点(一 1,1)，则该抛物线焦点坐标为()A. ( 1,0)B. (1,0)C. (0， 1)D. (0,1)B 抛物线y2= 2px(p0)的准线

5、为x= *且过点(一 1,1)，故一 2= 1，解得p= 2,所以抛物线的焦点坐标为(1,0).25.(2016 浙江高考)若抛物线y= 4x上的点M到焦点的距离为 10,则M到y轴的距离是9 设点M的横坐标为xo,则点M到准线x= 1 的距离为xo+ 1,由抛物线的定义知xo+ 1 = 10,X。= 9,点M到y轴的距离为 9.题型分类突破I耗題型规律方法逐麺(对应学生用书第 124 页)曲封抛物线的定义及应用(1)(2014 全国卷I)已知抛物线C：y2=x的焦点为F,点A(x。，y。)是C上一点,IAH= 4x0,贝yX0=()A. 1C. 4D. 8已知抛物线y2= 4x,过焦点F的直

6、线与抛物线交于A, B两点，过A,B分别作y轴的垂线，垂足分别为C, D,则|Aq+ |BD的最小值为 _ .【导学号：00090304】21(1)A (2)2 (1)由y=x，知 2p= 1,即卩p= ,设点A(X0,y)到准线I的距离为d,则由抛物线的定义可知d=|AF.15从而X0+ 4= 4x0,解得X0= 1.2由y= 4x，知p= 2,焦点F(1,0)，准线x= 1.根据抛物线的定义，|AF| = |AC+ 1, |BF= |BD+ 1.因此 |AQ+ |BD T AF+ IBF 2= |AB 2.所以|AC+ |BD取到最小值，当且仅当|AB取得最小值，B. 2因此焦点F1, 0

7、 ,准线I的方程为14又 IAB= 2p= 4 为最小值.5故|Aq+ IBQ的最小值为 4 2 = 2.规律方法1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离， 一般运用定义转化为到准线的距离处 理如本例充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快.2P2若Rxo,y。)为抛物线y= 2px(p0)上一点，由定义易得|PFJ =Xo+2；若过焦点的弦AB的端点坐标为A(X1,yd,B(X2,y2)，则弦长为|AB=X1+X2+p,X1+X2可由根与系数的关系整体求出.2变式训练 1 (1)设P是抛物线y= 4x上的一个动点，则点P到点A1,1)的距离与点P到直线x= 1 的距离之和的最小值为 _ .2rv

8、 I(2)若抛物线y= 2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，则|PA+ |PF取最小值时点P的坐标为5 (2) (2,2) (1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x= 1，由抛物线的定义知：点P到直线x= 1 的距离等于点P到F的距离于是，问题转化为在抛物线上 求一点P,使点P到点A 1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小.连接AF交抛物线于点P,此时最小值为设抛物线上点P到准线I:x= *的距离为d,由定义知|PA+ IPF| = |PA+d,当PAL I72时，|PA+d最小，最小值为 2,此时P点纵坐标为 2，代入y= 2x，得x= 2,；62

9、,二 A 在抛物线内部，如图.6坐标为(2,2) 抛物线的标准方程与几何性质点M5,3)到抛物线y=ax2的准线的距离为 6，那么抛物线的标准方程是722x= 12y或x=- 36y.y= 4x知p= 2.焦点F(1,0).k又曲线y=-(k0)与曲线C交于点P,且PF丄x轴.x- R1,2 ),k将点P(1,2)代入y=x，得k= 2z.规律方法1.求抛物线的标准方程的方法：(1) 求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有P,所以只需一个条件确定p值即可.(2) 抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量.2 由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点

10、到准线的距离，从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程.变式训练 2 (1)(2018 郑州模拟)抛物线y2= 2px(p0)的焦点为F，O为坐标原点，M为 抛物线上一点，且|MF= 4|0F，MFC的面积为 4,3,则抛物线的方程为()【导学号：00090305】A.21x=Py121Bx= 12y或x=-36yC.21x=-36y22D. x= 12y或x=- 36yA.C.设F为抛物线C：y2= 4x的焦点，曲线ky=x(k0)与C交于点P, PF丄x轴，则k=(B.D.(1)D (2)D 1将y=ax化为x=ay当a0 时，准线1 1y=-4a，则3+4a=6，a=衣.当a0）于点P,

11、 M关于点P的对称点为N,连接Oh并延长交C于点H除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由.1x= 2,x= 2,y=2、2,由图知B 322直线与(1)求IOHION；联立直线与抛物线的方程知点A的纵坐标为y=x1),10解如图，由已知得M0,t）,11故直线ON的方程为y=px,将其代入y2= 2px，整理得px2 2t2x= 0,2t2,2t2、解得X1= 0,X2=.因此 Hj , 2t.pkpJ所以N为0H的中点，即=2.直线MH与C除 H 以外没有其他公共点理由如下:直线MH的方程为yt= 2tx,即x=(yt).2 2 2代入y= 2px得y 4ty+ 4t= 0，解得y

12、i=y2= 2t,即直线MHW C只有一个公共点,规律方法1.(1)本题求解的关键是求出点N, H的坐标.(2)第(2)问将直线与抛物线C的方程联立，根据方程组的解的个数进行判断.2. (1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标, 用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧.角度 2 与抛物线弦长或中点有关的问题(2017 泰安模拟)已知抛物线 C:y2= 2px(p0)的焦点为F,抛物线C与直线l1：y=x的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C的方程; 不过原点的直

13、线 丨2与l1的垂直，且与抛物线交于不同的两点A B,若线段AB的中点为P,且 IOP= |PB|，求FAB的面积.解(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8 , 8),2 2 ( 8) = 2px8,二 2p= 8 ,抛物线方程为y= 8x. 直线12与l1垂直，故可设直线丨2：x=y+mA(x1,y,B(x?,y2)，且直线12与x轴的交点为M又N为M关于点P的对称点，故所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点.12 分MH的方程也可利12厂2小y= 8x,2由 $得y 8y 8m= 0, = 64 + 32m0,. m 2.lx=y+m132 2yiy22yi+y2= 8,yiy2= 8m二xiX2= -64 =m.由题意可知OAL OB2即X1X2+y)2=m 8m= 0, m= 8 或 m= 0(舍)，二直线12：x=y+ 8