05第八章第5节隐函数的求导公式同济大学.

1、第五节隐函数的求导公式一.一个方程的情形二、方程组的情形三.小结思考题、一个方程的情形1 F(x,j) = O y = y(x)如何求空？dx隐函数存在定理1设函数在点P(x。 ,几)的 某一邻域内具有连续的偏导数，且F(x。,儿)=0,竹(”00) )工0 则方程F(x,j) = 0在点P(x09y0)的 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续 导数的函数J=/(X) ),它满足条件Jo=/( (XO),并心隐函数的求导公式公式推导-F(x,y) = O =y=y(x):.F(x,y(x) = O求导竺+竺竺=0V P ar dy dx.空=_生dx Fy例1验证方程H + J2-1=

2、 0在点(0,1)的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、 且x = 0|j = l的隐函数y =f(x)9并求这函数的一阶和二阶导 数在=0的值.解令 F(X,J) =X2+J2-1则Fx= 2x, Fy= 2y9F(0,l) = (),Fv(04) = 20,依定理知方程x2+j2-l = 0在点(0,1)的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、Kx=0Wj = 1的 函数丿=/()函数的一阶和二阶导数为已知Inxx2+ y2= arctan ,x解解 令F(x,j) = lnx/x2+ y2- arctanX则化=Fy(工 =xyx2y2dyFrx + y-1 I-.dxFyy-x例2已知Inx

3、x2+ j2= arctan,將x ax12x + 2y-yf=1yfx-y2x+y2i+(Z)2Xdyx + ydxj-x2. F(x,j,z) = O=z=z(x,j),$n何求冬，空? dx dy隐函数存在定理2设函数F(x,y,z)在点P(x”儿,S)的某一邻域内有连续的偏导数，且川丸,Vo，Zo) )= 0，几(岭0忆0) )矣0,则方程A(x,y,2) = 0在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数z = /(x,j),它满足条件S = /boo) ),另解:两边舷求并有dx F:9Z _Fydy Fz12例3设X2+J2+Z2-4Z= 0,求写.or-解解

4、令F(x,z) = x+/+z-4z,dz Fxx则Fx=2x,F2=2Z-4,&= -p另解：对兀求偏导2x + 2z -4 = 0dx dxdz x _ _ 9Sr 2-zH公式vF(x,j,z) = O, =z =z(x,y),F(x,”z(x) =O,将上式分别对求导dz d ,dz d xT-T = () - )dx dx dx dx2 z(2 - z) + x密( (2-z)+x占-=ax =2-z(2 z)2一(2-Z) )2_ (2 z)2+ x2=“2-z)L 把x看成的函数对丿求偏导数得冬,dy把丿看成KZ的函数对Z求偏导数得?.OZ解 令iz = x +j+z,

5、v = xyz,则z = /(”川),ii例4思路：極=/(x +dydz把z看成dzdxdx12Z =u = x + y+z, v = xyz把z看成“y的函数对r求偏导数得 着 3+亶)+M+磴)， 整理得 主=_A2_& m把X看成的函数对y求偏导数得RYrx0 = /； ( +1) + /；(xz+yz),dy內13Z = f(u,v U = x + y+z, v = xyz,整理得迦=_厶上也，fu+ W，把y看成X,z的函数对z求偏导数得1 =尤(?+1) +岸(净+农OZ,.整理得血上人 El 比化+ W二、方程组的情形fF(x,j,/,v) = Ofw = w(x,j)

6、G(X,J,M,V) = OV=V(X,J)公式推导(设兀“一刃=0, jz/ + xv = 1,直接代入公式;运用公式推导的方法,将所给方程的两边对X求导并移项du drx- y = -w dx dxdu dv y + x - = -r.dx dx在丿工 0 的条件下,-M-ydu = 7 x xu 4- yv dx x -yx2+ y2V X1、dii求亦dudyX-Myu-xvx2+y2dii _ xv- yu dyx2+y2dv _m +将所给方程的两边对y求导，用同样方法得x + y+Z = Odu?79J-xy +z = 1dz解：方程组对求导三、小结隐函数的求导法则(分以下几种情

7、况)(1)(1)F(x,j) = O(2)(2)F(x,j,z) = O(3)(3)|F(x,j,u,v) = Odx df dy dx dz5y dzx-y乙_xx-y习题-5P372,4,6,7,8,9,10(2)(3)41思考题已知王:=0（丿），其中P为可微函数，ZZ.dzdz 求x丁OX+咗=?dy22思考题解答XV记=则：=-zzzD ”儿1 U -X9y(-J) )化=一卩(一)一，耳=r 一卩(一) 2 ,Z ZZZZ及二 E 二 z&=7 以?张人Fz x-yqf(- ZZ工曰 &dz于是 x r +丿 r =z dx dy练习题一、填空题：1% 设 In s

8、x2+ y2= arctan ,则xdy _dx_-2、设 z” L 则dz去=-dz设 2sin( x + 2j -3z) = x + 2j - 3ztdz dz+dx dy证明:三、如果函数/(x,y,z)对任何 恒满足关系式 ftx.ty,tz) =tkf(x9y9z),则称函数为k次齐次函数,试证虫次齐次函数满足方程 df df df、* tx*詁kg W四、设 z-3xyz求舟dxdy五、求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：(u = f(x,y)六、设函数(x)由方程组 j/?(x,j,z) = O 所确定，且雲*追* 0求字g均可微) dy dz dx七、设 J =是由方程尸(儿曲 2所确定的X的函数，求倉.八、设乙=z( (3) )由方程 F(x + -,j + -)=o 所确定，(其中具有J Xdz . dz练习题答案-x（6z + 1） dz x lyiiz +Tidx +-uf；（2”g 上 12-/；g；（Vf-