2020中考数学二轮复习完整讲义(共12个专题)

1、专题一不等式组与分式方程的解的运用 （2019 南岸区校级模拟）若整 3 a 数 a 使得关于 x 的方程2-三的解为非负数，且使得关于 y y a 5冬0 的不等式组 至少有三个整数解， 则符合条件的整数 3y 2 y 2 + 1 2 2 a 的个数为（ ） 【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组至少有三个整数解确 定出a 的值，再由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件求 出满足题意整数 a 的值，进而可得结论. 【自主解答】 x 2 1 w _x+ 2 1. （2019 渝中区二模）若数 a 使关于 x 的不等式组 2 2 7x+ 4 a A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 有且

2、只有 4 个整数解，且使关于 y的分式方程丄 + 宀 =3 的解为 y I I y 正数，则符合条件的所有整数 a 的和为（ ） D. 6 ax x 2. （2019 渝中区一模）如果关于 x 的分式方程 x2 2= 2有整 a 2xx+ 3 2 件的所有整数 a 的和为（ ） D. 1 x 5 x+ 1 +1 w 3. (2019 江北区一模)若数 a 使关于 x 的不等式组 2 3 5x 2a2x + a a 3 2 至少有 3 个整数解，且使关于 y的分式方程 一 =2 有非负整 y I I y 数解，则满足条件的所有整数 a 的和是（ ） A. 2 B. 0 C. 3 A. 4 B.

3、6 C. 2 A. 14 B. 15 C. 23 D. 3D. 24 4. （2019 九龙坡区校级模拟）如果关于 x 的分式方程 x+ 3 = 1 一 x 待有负数解，且关于 y的不等式组 2 (a y) 1, 得一 12,则整数 a= 2, 3, 4, 5, 6,，分式方程 2 3 a 7 a x2 = 2 一 x，去分母得：2（x 2） 3= a,解得：x =厂，丁 7 a 7 a 方程的解是非负数，二一厂0 ,且一厂工2,解得 aW7 ,且 az3. 符合条件的整数 a 的值有 2, 4, 5, 6, 7,共 5 个.故选 B. 跟踪训练 x 2 1 1. A【解析】解不等式w 只+2

4、,得 xw3,解不等式 7x+ 4 一 4 a a,得 x 7 ， 丁不等式组有且只有 xw3的范围内只有4个整数解， .整数解为 x = 0, 1, 2, 3,二一 一 4 a 2a 5 a 1 w 7 0,解得4 a 1 5 5 7 5 ，由不等式组的解集为，得 a 1,即 aWj 则整数 x2 2 22 a 的值为 0, 2, 3, 3,之和为 2,故选 C. x _ 5 x + 1 3. A【解析】解不等式+仁，得 x2x + a,得 xa,v不等式组至少有 3 个整数解，二 av9;分式 a + 1 方程两边乘以 y 1,得：a 3+ 2 = 2(y 1)，解得：y =厂，：分 式方

5、程有非负整数解，二a 取1, 1, 3, 5, 7, 9, 11,，T av 9,且 yz 1,.a只能取一 1, 3, 5,乙则所有整数 a 的和为一 1 + 3 + 5+ 7= 14,故选 A. 2 (a y) y 4 4. A【解析】由关于 y的不等式组 3y+ 4 ，可整理 厂 y + 1 式方程有解且解为正数, 1 5-a 丁 ，解a 3,由 y 2 a 1 X/口 a 4 a 4 3=X1 得 x = 2，：方程有负数解，二 a 40 且厂 丰一 1 , a v 4 且 aM 2,. 3w av 4,且 az 2,. a= 3、一 2、一 1、 0、1、3,则符合条件的所有整数 a

6、 的和为一 2.故选 A. 3x + k W0 丿口 k x x 1 得：一 3x-, 1 3 3 2 k 式组只有 4 个整数解， 0 1,解得：3vk0 且2k+ 1 工 1,解得：kv2 且 kz0,综上，k 的取值范围为 3v kv0,则符合条件的所有整数 k 有2, 1,积为2X ( 1) =2,故选 A. 5. A 【解析】解不等式组 专题二图形变换的相关计算 类型一图形折叠的相关计算（2019 重庆 B 卷）如图，在 ABC 中，/ ABG45 , AB= 3, AEUBC 于点 D, BE 丄 AC 于点 E, AE= 1.连接 DE 将厶 AED 沿直线 AE 翻折至 ABC

7、 所在的平面内，得到 AEF 连接 DF过点 D 作 DGL DE 交 BE 于点 G,则四边形 DFEG 勺周长 为（） A. 8 B. 4 2 C. 2 2 + 4 D. 3,2 + 2 【分析】要求四边形 DFEG 的周长，可分别计算 DG DF EF GE 的 长，通过证明 DBG2A DAE 得至 U BG 在 Rt ABE 中可求 BE,从而得 到GE 再证明 DEG 是等腰直角三角形得到 DG DE 进而求出 EF, DF,即可得解. 【自主解答】 靜丸研究专家点拨 忽略折叠前后的对应关系 在利用折叠的性质解决问题时，易出错的是忽略折叠 （翻折） 前后两 图形的关系，从而不能利用

8、对应角相等，对应线段相等的性质解题. 1. （2020 原创）如图 1,点 E 是矩形 ABCD 中 AD 边上任意一点，连 接BE 把厶 ABE 沿 BE 折叠，如图 2 所示，然后再过点 A 作 AF 丄 CD 于 点F,如图 3 所示，当 AB= 8, BC= 10,且/ BEA= 60 ，则图 3 中 AF 的长为（ ） A. 2 3 + 2 C. 2 ?+1 B. 8-4 3 D. 10-4 3 2.如图，在 Rt ABC 中, AB= 9, BC=6,Z B= 90，将 ABC 折叠, 使A 点与 BC 的中点 D 重合，折痕为 MN 则线段 BN 的长为（ ） 5 A3 C. 4

9、 D. 3 3. （2019 辽阳）如图，直线 EF 是矩形 ABCD 勺对称轴，点 P 在 CD边 上，将 BCP 沿 BP 折叠，点 C 恰好落在线段 AP 与 EF 的交点 Q 处， BC= 4 3,则线段 AB 的长是（ ） A. 8 B. 8 2 C. 8 3 D. 10 类型二 图形平移的相关计算 如图， ABC 和厶 DBC 是两个具 有公共边的全等的等腰三角形， AB= AC= 3 cm, BC= 2 cm，将 DBC 沿射线 BC 平移一定的距离得到 DBC，连接 AC, BD,如果四边形 ABDC是矩形，则平移的距离为（ ） A. 2 cm B. 5 cm C. 7 cm

10、【分析】 要求平移的距离， 可结合平移性质得到 结合四边形 ABDG 是矩形从而得到/ BAC= 90 BC= 2 cm 可过点 A 作 AEL BC 于 E,从而得到 CBA 即可利用对应边成比例求平移距离. 【自主解答】 1. （2018 株洲改编）如图，已知 OAB 是等腰直角三角形，/ OAB= 90, 042 2，将该三角形向右平移 2 2 个单位得到 Rt O A B,则线段 OA 在平移过程中扫过部分的图形面积为（ ） D. 9 cm CC 即为平移的距离, 而 AB= AC= 3 cm, BE 再证明 ABE A. 4 B. 4 2 C. 2 D. 2 2 2. （2019 -

11、孝感改编）如图，正方形 ABC 冲，点 E, F 分别在边 CD AD 上，BE 与 CF 交于点 G.BC= 4, DE= AF= 1.将厶 BCG 沿射线 BE 方 向平移，使得点 G 与点 E 重合，得到 EB C,连接 FB ,则此时 FB的长为（ ） A.-18 B.2- C.109 D. 2 109 类型三 图形旋转的相关计算 （2020 原创）如图，在等边厶 ABC 内有一点 D, AD= 5, BD= 6,将厶 ABD 绕点 A 逆时针旋转，使得 AB 与 AC 重合，点 D 旋转至点 E 的位置，连接 DE 贝 S DE 的长为 【分析】由旋转性质得/ DAB/ BAG 60

12、, AD= AE 从而得到厶 ADE 是等边三角形，即可得解. 【自主解答】3 3 A. B.9 C. 5*3 4 D. 5.3 6 1. （2020 原创）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是边 AD 上一点，过点 E作 EF 丄 BC,垂足为点尸，将厶 BEF 绕着点 E 逆时针旋转，使点 B 落 在边BC 上的点 N 处，点 F 落在边 DC 上的点 M 处.若点 M 恰好是边 AD CD 的中点，那么 AD 勺值是（ ） 参考答案 【例 1】V ADL BC于点 D, DGL DE 二/ BDO-Z GDA=Z AD曰/ GDA / BDG= Z ADE.VZ ABO 45 ,AD=

13、 BD.V ADLBC 于点 D, BEL AC 于点 E, .A, E , D , B 四点共圆，DBG= Z DAE DBGA DAE 二 BG= AE= 1, DG= DE GDE 为等腰直角三角 形.V AB= 3 , AE= 1 , BE= pAB AE = 22 , GE= BE BG= 2 2 - 1，二 GD= DE= 2屮.由翻折性质可知 DE= EF= 2于.由 A, B, D, E 四点共圆可知Z BED=Z BAD= 45, V BE!AC DEC= 45,由翻折性质可知，Z FEC= 45, DEL EF,又 V DE= EF , DF=. 2DE= 2 2 1，四边

14、形 GDFE 的周长为 GD DF- EF+ GE= 3 2 + 2.故选 D. 跟踪训练 1. D 2.C 3.A 【例 2】 设平移的距离为 x cm 由平移性质得 BG= BC+ CC= (2 + x) cm 过点 A 作 AE1 BC 于 E, V AB= AC BE= CE= 1, V 四边形 ABDC 是矩形，.Z BAG= 90 , BA 曰Z EAG = 90 , VZ ABE+ / BAE= 90 , / BAE= / AGE, v/ AEB= ZC iAB= 90 AB GB 3 2 + x BE=届即厂丁，解得 x= 7 cm.故选G. 跟踪训练 1. A【解析】 如解图

15、，设 AA 交 O 盯,丁在厶 ABO 中, AB =AO Z OAB= 90 ,A O B是由 AOB 向右平移 R2 个单 位得到的， OO = 2 2 AA 丄 OB.v OB= 2 ：2,二 OE= ；2, 四边形 AOO A 的面积为OO OE= 2 2 - 2= 4. 2. A 【解析】v四边形 ABGD 是正方形， AD= GD= BG Z D- Z BC= 90 . v DE= AF,. DF= GE CDFA BCE DG= Z GBE DGF+ Z GEB= Z GBE+ Z BEG= 90 , FGB = o , 9 12 90 .vCE= 3, BG= 4，二 BE=

16、5. vCGLBE 二 GE= , CG= 5 5 ABEC iBA + / BAE= 90 , / BAE= / AGE, v/ AEB= ZC iAB= 90 16 BG= BE- GE . 将厶 BGC 沿 BE 方向平移得到 EB C,. BB 5 9,7 13, r-7 -;2 = EG= , B G= . v GF= CF- CG= , B F= , FG+ B G = 5 5 5 218 5 【例 3】ABC 是等边三角形，二/ BAG60,v ABD 绕点 A 旋 转得到 ACE AB 与 AC 重合，二 AE= AD, / DAE=Z BAC= 60 , ADE 是等边三角形

17、，二 DE= AD=5.故答案为 5. 跟踪训练 1. D【解析】将厶 BEF 绕着点 E 逆时针旋转得到厶 EMN,二 BE= EN, EM= EF , MN= BF. v EFBC, BF = FN, BF = FN = NM.v EF BC,二四边形 EFCD 是矩形， 二 EF= CD, v点 M 恰好是边 1 1 DC 的中点，二 DM= 2CD= 2EM, / DEM= 30,二/ DME60 , vZ NME90,AZ CM 比 30 ,设 CN= x，二 MN= 2x, CM= 3x, 专题三实际问题中函数图象的分析 （2019 南岸区校级模拟）小亮 和小明在同一直线跑道 AB

18、 上跑步.小亮从 AB 之间的 C 地出发，到 达终点 B地停止运动，小明从起点 A 地与小亮同时出发，到达 B 地 休息 20 秒后立即以原速度的 1.5 倍返回 C 地并停止运动，在返途经 过某地时小明的体力下降，并将速度降至 3 米/秒跑回终点 C 地，结 果两人同时到达各自的终点.在跑步过程中，小亮和小明均保持匀 速，两人距 C 地的路程和记为y（米），小亮跑步的时间记为 x（秒）, y与 x 的函数关系如图所示，则小明在返途中体力下降并将速度降至 3 米/秒时，他距 C 地还有 . 【分析】如解图，可按五个阶段分析.第一阶段：小亮从 C 点出发, 小明从 A 点出发，AC= 100

19、米，经过 25 秒两人第一次相遇；第二阶 段：两人 同时从 D 点出发，经过 100-25 = 75 秒，小明到达 B 点， 小亮到达 E 点；第三阶段，小明在 B 点等待 20 秒，小亮前进 20 秒， 两人距离点 C 的距离和为 480 米；第四阶段，小明从点 B 出发前往 点 C,小亮继续前往点 B,当小明到达 F 处时，速度降至 3 米/秒； 第五阶段：小明按 3 米/秒速度继续跑到点 C 处，且小明到达点 C 时, 小亮到达点 B. 【自主解答】 1. （2019 渝中区二模）甲、乙两车分别从 A, B 两地同时相向匀速 行驶，当乙车到达 A 地后，继续保持原速向远离 B 的方向行驶

20、，而 甲车到达 B 地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过 15 小 时后两车同时到达距 A 地 300 千米的 C 地（中途休息时间忽略不 计）.设两车行驶的时间为 x（小时），两车之间的距离为 y（千米），y 与 x之间的函数关系如图所示，则当甲车到达 B 地时，乙车距 A 地 米. 2. （2019 南岸区校级模拟）甲、乙两人分别从各自家出发乘坐出租 车前往智博会，由于堵车，两人同时选择就近下车，已知甲在乙前 面 200米的 A 地下车，然后分别以各自的速度匀速走向会场， 3 分钟 后，乙发现有物品遗落在出租车上，于是立即以不变的速度返回寻 找，找到出租车时，出租车恰好向会场方向行

21、驶了 100 米，乙拿到 物品后立即以原速返回继续走向会场，同时甲以之前速度的一半走 向会场，又经过 10 分钟，乙在 B 地追上甲，两人随后一起以甲放慢 后的速度行走 1 分钟到达会场，甲、乙两人相距的路程 y（米）与甲行 走的时间 x（分）之间的关系如图所示（乙拿物品的时间忽略不计），则 A 地距离智博会会场的距离为 _ 米. 3. (2019 綦江区一模)在一条笔直的公路上有 A B 两地，甲、乙 两人同时出发，甲骑自行车从 A 地到 B 地，中途出现故障后停车修 理，修好车后以原速继续行驶到 B 地；乙骑电动车从 B 地到 A 地， 到达 A 地后立即按原路原速返回，结果两人同时到达

22、B 地.如图是 甲、乙两人与 A 地的距离 y(km)与行驶时间 x(h)之间的函数图象.当 甲距离 B 地还有 5 km 时，此时乙距 B 地还有 _ km. 4. (2019 江北区一模)小明和小亮分别从 A B 两地同时相向而行, 并以各自的速度匀速行驶，途中会经过奶茶店 C,小明先到达奶茶店 C,并在 C地休息了一小时，然后按原速度前往 B 地，小亮从 B 地直 达 A 地，结果还是小明先到达目的地，如图是小明和小亮两人之间 的距离 y（千米）与小亮出发时间 x（时）的函数的图象，请问当小明到 达 B地时，小亮距离 A 地 _ 千米. 5. （2019 -九龙坡区校级模拟）甲乙沿着同一

23、路线以各自的速度匀速 从A 地到 B 地，甲出发 1 分钟后乙随即出发，甲、乙到达 B 地后均 立即按原路原速返回 A 地，甲、乙之间的距离 y（米）与甲出发的时间 x（分）之间的部分图象如图所示.当甲返回到 A 地时，乙距离 B 地 _ . 6. （2016 重庆 B 卷）为增强学生体质，某中学在体育课中加强了学 生的长跑训练.在一次女子 800 米耐力测试中，小静和小茜在校园 内 200米的环形跑道上同时起跑，同时到达终点.所跑路程 s（米）与 所用的时间 t（秒）之间的函数图象如图所示，贝拠们第一次相遇的时 间是起跑后第 _ 秒. 7. （2018 辽阳改编）小林和爸爸到太子河公园运动，

24、 两人同时从家出发，沿相同路线前行.途中爸爸有事 返回，小林继续前行 5 分钟后也原路返回，两人恰好 同时到家.小林和爸爸在整个运动过程中离家的路程 yi（米），y2（米）与运动时间 x（分）之间的函数关系如图所示.贝卩小林 返回时与爸爸之间的距离为 米. & （2018 咸宁改编）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终 点、同方向匀速步行 2 400 米，先到终点的人原地休息.已知甲先 出发 4 分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人之间的距离 y（米）与甲 出发的时间 t（分）之间的关系如图所示.贝 S 乙到达终点时，甲距离终 点还有 _ .O 45 职分） 4 000 9. (20

25、18 济南)A, B 两地相距 20 km 甲、乙两人沿同一条路线从 A 地到B 地，甲先出发，匀速行驶，甲出发 1 小时后，乙再出发，乙 以 2 km/h的速度匀速行驶 1 小时后，提高速度并继续匀速行驶，结 果比甲提前到达.甲、乙两人离开 A 地的距离 y(km)与时间 t(h)的 关系如图所示，则甲出发 _ 小时后和乙相遇. 参考答案 【例 1】 由图象可知，x = 0 时，y= 100,即开始时小亮在 C 地小明 在 A地，两人相距 100 米，二 AC= 100,当 x= 25 时，y最小，即小 明到达 C地，.小明开始速度为：100 宁 25= 4（米/秒），返回速度为 4X 1.

26、5 = 6（米/秒），当 x = 100 时，小明到达 B 地，二 AB= 4X 100= 400（米），二 BC= AB- AC= 300（米），当 y = 480 最大时，小明休息完 20 秒，即x= 120，此时，小亮离 C 地距离为 480 300= 180（米）， 3 二小亮速度为：180 宁 120= 2（ 米/秒），二两人跑完全程所用时间为： 3 300-2 = 200（秒），二小明返回 C 地所用时间为：200 120 = 80（秒）， 设小明返回时在 a 秒时速度下降到 3 米/秒，列方程得：6a+ 3（80 a） = 300，解得：a = 20.此时离 C 地距离为：3X

27、（80 20）= 180（米）.故答案为 180. 跟踪训练 1. 100【解析】由图象可得：当 x = 0 时，y= 300，二 AB= 300 千 米，.甲车的速度=300-5= 60 千米/小时，又T 300-3= 100 千米 /小时，二乙车的速度=100 60 = 40 千米/小时.由图象可知当 x = 5 时，甲车到达 B 地，此时乙车行驶的路程为 5X40= 200（千米）， 乙车距离 A 地 100 千米，故答案为 100. 2. 945【解析】乙向智博会会场走了 3 分钟，又返回走了 2 分 钟，实际向智博会会场走了 1 分钟，离下车点为 100 米，乙的 速度为 100 米

28、 /分.J第 5 分钟拿到物品后向智博会会场又走了 10 分 钟，.又走了 100X10= 1 000 米.设甲速度为 x 米/分，依题意得, 1 100+ 1 000 = 200 + 5x + 2X 10 解得 x= 90.A地离智博会会场的距 离为 100+ 1 000 + 90-2 -200 = 945 米.故答案为 945 米. 3. 7.5 【解析】甲的速度为：30-2 (1.25 0.75) = 20 km/h, 5 乙的速度为：30 km/h,当甲距离 B 地还有 5 km 时，甲还要行驶 1 1 =4 小时到达 B 地，此时乙距 B 地：4X30= 7.5(km).故答案为 7

29、.5. 4. 90 【解析】设小明的速度为 a km/h，小亮的速度为 b km/h , 2.5a + 2b= 3.5a . a= 120 / 、 / 、 ，解得 ，当小明到达 B (3.5 2) b+( 3.5 2.5 ) a = 210 b = 60 地时，小亮距离 A 地的距离是：120X (3.5 1) 60X 3.5 = 90(千 米)， 故答案为 90. 5. 70【解析】由题意可得，甲的速度为 60- 1 = 60 米/分，则乙 的速度为： 100-(7 6) 60= 40 米/分， 设 A B 两地距离为 s 米， 2s = 60X 7+40X (7 1)，解得 s = 330

30、，甲返回 A 地用时为： 330X 2-60= 11(分)，则乙 11 分钟行驶的路程为 40X (11 1)= 400(米)，400 330= 70(米)，即当甲返回到 A 地时，乙距离 B 地 70 米，故答案为 70. 16 6. 120 7.1 500 8.360 9. 专题四不定方程的应用 （2019 南岸区校级模拟）某商 店为促进销售，将 A B、C 三种糖果以甲、乙两种方式进行搭配销 售，两种方式均配成本价为 5 元的包装袋，甲方式每袋含 A 糖果 1 千 克，B 糖果 1千克，C 糖果 3 千克，乙方式每袋含 A 糖果 3 千克，B 糖果 1 千克，C 糖果 1 千克，已知每千

31、克 C 糖果比每千克 A 糖果成本 价高 2.5 元，甲种方式（含包装袋）每袋成本为 55 元，现甲、乙两种 方式分别在成本价（含包装袋）基础上提价 20 呀口 35%进行销售，两种 方式销售完毕后利润率达到 30%则甲、乙两种方式的销量之比为 【分析】根据题目中的已知条件，求出一袋甲糖果成本比一袋乙糖 果成本多的价钱，进而得出一袋乙糖果的成本，再设甲、乙两种方 式各自的销 量分别为 x 袋和 y袋，根据“现甲、乙两种方式分别在 成本价（含包装袋）基础上提价 20 呀口 35%进行销售， 两种方式销售完 毕后利润率达到 30%，列出二元一次方程，进而求得结果. 【自主解答】 1. （2019

32、南岸区校级模拟）某公司生产一种饮料是由 A, B 两种原 料液按一定比例配成，其中 A 原料液的原成本价为 10 元/千克，B 原 料液的原成本价为 5 元/千克，按原售价销售可以获得 50%的利润率, 由于物价上涨，现在 A 原料液每千克上涨 20% B 原料液每千克上涨 1 40%配制后的饮料成本增加了 3,公司为了拓展市场，打算再投入 现在成本的 25%做广告宣传，如果要保证该种饮料的利润率不变，则 这种饮料现在的售价应比原来的售价高 _ 元/千克. 2. （2019 綦江区一模）我校第二课堂开展后受到了学生的追捧，学 期结束后对部分学生做了一次“我最喜爱的第二课堂”问卷调查 （每 名学

33、生都填了调查表，且只选了一个项目），统计后趣味数学、演讲 与口才、信息技术、手工制作榜上有名.其中选信息技术的人数比 选手工制作的少 8 人；选趣味数学的人数不仅比选手工制作的人数 多，且为整数倍；选趣味数学与选手工制作的人数之和是选演讲与 口才与选信息技术的人数之和的 5 倍；选趣味数学与选演讲与口才 的人数之和比选信息技术与选手工制作的人数之和多 24 人.则参加 调查问卷的学生有 _ . 3. 某服装店老板经营销售 A、B 两种款式的服装，其中每件 A 种款 式的利润率为 50%每件 B 种款式的利润率为 20%当售出的 A 种款 式的件数比 B 种款式的件数少 70%寸， 这个老板得到

34、的总利润率是 25%则当售出的 A 种款式的件数比 B 种款式的件数多 50%寸，这个老 板得到的总利润率是 _ .（利润率=利润+成本） 4. （2019 江北区一模）某厂家以 A B 两种原料，利用不同的工艺 手法生产出了甲、乙两种袋装产品，其中，甲产品每袋含 1.5 千克 A 原料、1.5 千克 B 原料；乙产品每袋含 2 千克 A 原料、1 千克 B 原 料.甲、乙两种产品每袋的成本价分别为袋中两种原料的成本价之 和.若甲产品每袋售价 72 元，则利润率为 20%某节庆日，厂家准备 生产若干袋甲产品和乙产品，甲产品和乙产品的数量和不超过 100 袋，会计在核算成本的时候把 A 原料和

35、B 原料的单价看反了，后面 发现如果不看反，那么实际成本比核算时的成本少 500 元，那么厂 家在生产甲、乙两种产品时实际成本最多为 _ . 5. （2019 -九龙坡区模拟）一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三 辆卡车可雇用.已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙 两车单独运完这批货物分别用 2a, a 次；甲、丙两车合运相同次数， 运完 这批货物，甲车共运 180 吨；乙、丙两车合运相同次数，运完 这批货物，乙车共运 270 吨.现甲、乙、丙合运相同次数把这批货 物运完，货主应付甲车主的运费为 _ 元.（按每吨运费 20 元 计算） 6. （2019 重庆 B 卷）某磨具厂共有六个生

36、产车间，第一、二、三、 四车间每天生产相同数量的产品，第五、六车间每天生产的产品数 3 8 量分别是第一车间每天生产的产品数量的 4 和 8,甲、乙两组检验员 进驻该厂进行产品检验.在同时开始检验产品时，每个车间原有成 品一样多，检验期间各车间继续生产.甲组用了 6 天时间将第一、 二、三车间所有成品同时检验完；乙组先用 2 天将第四、五车间的 所有成品同时检验完后，再用了 4 天检验完第六车间的所有成品（所 有成品指原有的和检验期间生产的成品）.如果每个检验员的检验速 度一样，则甲、乙两组检验员的人数之比是 _ . 7. （2020 -原创）南岸区今年修建和完善了不少道路，其中一段道路 两侧

37、的绿化任务计划由甲、乙、丙、丁四人完成.道路两侧的植树 数量相同，如果乙、丙、丁同时开始植树，丁在道路左侧，乙和丙 在道路右侧，2 小时后，甲加入，在道路左侧与丁一起植树，这样恰 好能保证道路两侧植树任务同时完成.已知甲、 乙、 丙、 丁每小时 能完成的植树数量分别为 6,乙 8，10 棵.实际在植树时，四人一 起开始植树，甲和丁在道路左侧，乙和丙在道路右侧，为了保证右 侧提前 5 小时完成植树任务，甲中途转到右侧与乙和丙一起按要求 完成了任务，左侧剩下的任务由丁独自完成.贝 S本次植树任务中， 丁一共植树 棵. 8. （2019 南开中学模拟）“众人拾柴火焰高，众人植树树成 林”.为发扬中华

38、民族爱植树的好传统，我校 21 班 50 名同学和 28 名社区志愿者共同组织了义务植树活动.50 名同学分成了甲、乙两组， 28名社区志愿者分成了丙、丁两组，甲、丙两组到 A 植树点植树， 乙、丁两组到 B 植树点植树.植树结束后统计得知：甲组人均植树 量比乙组多 2 棵，丙、丁两组人均植树量相同，且是乙组人均植树 量的 2.5 倍，A, B 两个植树点的人均植树量相同，且比甲组人均植 树量高 25%已知人均植树量均为整数，则 21 班同学共植树 _ 棵. 9. _ 含有同种果蔬但浓度不同的 A, B 两种饮料，A 种饮料重 40 千克， B 种饮料重 60 千克，现从这两种饮料中各倒出一部

39、分，且倒出的部 分的重量相同，再将每种饮料所倒出部分与另一种饮料剩余的部分 混合.已知混合后，两种饮料所含果蔬浓度相同，贝 S 两种饮料一共 被倒出了 _ 克. 参考答案 【例 1】T两种方式均配成本价为 5 元的包装袋，甲方式每袋含 A 糖 果1 千克，B 糖果 1 千克，C 糖果 3 千克，乙方式每袋含 A 糖果 3 千 克，B糖果 1 千克，C 糖果 1 千克，已知每千克 C 糖果比每千克 A 糖 果成本价高 2.5 元，二一袋甲糖果成本比一袋乙糖果成本多： 2.5 X 2= 5(元)，丁甲种方式(含包装袋)每袋成本为 55 元，二乙种 方式(含包装袋)每袋成本为 50 元，设甲、乙两种

40、方式各自的销量分 别为 x 袋和 y袋，根据题意得，55X0.2x + 50X0.35y = 0.3(55x + 50y)，整理得,5.5x = 2.5y，二 x : y = 5 : 11.故答案为 5 : 11. 跟踪训练 1. 6【解析】设配制比例为 1 : X,由题意得：10(1 + 20%)+ 5(1 + 1 40%)x= (10 + 5x)(1 + 3)，解得 x = 4，则原来每千克成本为： 10X1+5X4 一 一 1+4 - = 6(兀)，原来每千克售价为：6X (1 + 50%)= 9(兀)， 1 现在每千克成本为：6X (1 + 3)(1 + 25%)= 10(元)，现在每

41、千克售价 为：10X (1 + 50%)= 15(元)，则现在售价与原售价之差为：15-9 = 6(元).故答案为 6. 2. 48【解析】设选信息技术的人数有 x 人，选演讲与口才的有 y 人，则选手工制作的有(x + 8)人，趣味数学的人数有 a(x + 8)人， 根据题意得： (a+ 1)(x + 8)= 5 (x + y) a (x + 8)+ y x (x+ 8)= 24, 可变形为： (a 1)(x + 8) = 24 + x y, + ，得 2a(x + 8) = 24 + 6x + 4y, ，得 x + 3y = 20. v x, y都是正整数， 即 a= 12+ 3x+ 2y

42、 x+8； x = 17 x= 14 x = 11 x= 8 x= 5 x = 2 或 或 或 或 或 y= 1 y = 2 y = 3 y = 4 y = 5 y = 6 x = 17 x= 14 x = 11 x= 8 x= 5 或 或 或 或 时 H J， y= 1 y= 2 y = 3 y = 4 y= 5 a=鱼詩y都不是整数不合题意 12+3x+ 2y 12 + 6+ 12 a= x+ 8 = =3； 二选信息技术的人数有 2 人，选演讲与口才的有 6 人，选手工制作 的有 10 人，选趣味数学的人数有 30 人，由于每名学生填了调查表， 且只选了一个项目，所以参加调查问卷的学生有

43、 2+6+ 10 + 30 = 48(人)；故答案为 48. 3. 35%【解析】设 A 种款式进价为 a 元，则售出价为 1.5a 元；B 种款式的进价为 b 元，则售出价为 1.2b 元；当售出 B 种款式 x 件， 0.5a x 0.3x + 0.2bx 售出 A 种款式 0.3x 件时，根据题意得， ax03x + bx = 25% 2 解得：a= 3b,当售出的 A 种款式的件数比 B 种款式的件数多 50%寸, 设售出 B 种款式的件数为 y件，贝 S 售出 A 种款式的件数为 1.5y 件, 35% 故答案为 35%. 4. 5 750【解析】T甲产品每袋售价 72 元，利润率为

44、 20% 设 甲产品的成本价格为 b 元，则721严=20%二 b= 60，二甲产品的成 本价格为 60 元，二 1.5 kg A 原料与 1.5 kg B 原料的成本和为 60 元，二A原料与 B 原料的成本和为 40 元，设 A 原料成本价格 x 元，B 原料成本价格x = 2 当 y= 6 时， 10 由题意0.5a x 1.5y + 0.2by 1.5ay + by 0.75a + 0.2b 1.5a + b 2 0.75 x-b+ 0.2b 3 1.5 xfb+ b 为(40 x)元，生产甲产品 m 袋，乙产品 n 袋，根据题 意得：60nn+ (2x + 40 x)n + 500=

45、 60nn+ n(80 2x + x)，二 xn= 20n 250,设生产甲、乙产品的实际成本为 W 元，则有 W= 60m+ 40n + xn，二 W= 60m+ 40n+ 20n 250 = 60(m+ n) 250，丁 m+ nW 100, W 5 750,二生产甲乙产品的实际成本最多为 5 750 元，故答案 为 5 750. 5. 2 160【解析】设甲一次运 x 吨，乙一次运 y吨，丙一次运 z 吨， 2ax=ay, 270 (y + z)x = ay, 产品为 x 个，每个车间原有成品 m 个.甲组检验员 a 人，乙组检验 员 b 人，每个检验员的检验速度为 c 个/天，则第五、

46、六车间每天生 6 (x + x+ x)+ 3n= 6ac 38 2 (x + x)+ 2m= 2bc 产的产品数量分别是x 和x,由题意得 4 8 (2 + 4)X -x + m=4bc 3 19 二 9x= 2ac, gx = 2bc,. a : b= 18 : 19. 7. 150【解析】设每侧植树 m 棵，当乙、丙同时植树 2 小时后, 共植树应付甲车主的运费为： 1 540X5X20= 2 160(元)，故答案为 2 160. z) X 竽=540,二甲、 乙、丙合运相同次数把这批货物运完，货主 6. 18： 19【解析】设第一、二、三、四车间每天生产相同数量的 (x + z) 180

47、 X = 2ax,解得 y = z = 2x, 这批货物一共(x + 2X (7 + 8) = 30 棵，丁植树 2X 10= 20 棵，此时甲加入后， 刚好同时完成任务，则 需彳 =阳30解得 180.实际植树时，四 人一起植树，设植树一段时间为 t 小时，根据题意可得 18。-（6+10） t 180-（7+8） t +5,解得 t = 5,甲植树所用时 7 + 8 + 6 180 + 15X5 间为 5+ 21 = 10 小时，丁植树时间为 15 小时，共植树 150 棵. 8 360【解析】根据题意，设甲组有 a(a 为正整数)名同学，则乙 组有(50 a)名同学，丙组有 b(b 为正

48、整数)名志愿者，则丁组有(28 -b)名志愿者，乙组人均植树棵数为 m(m 为正整数)棵，则甲组人均 植树棵数为(m+ 2)棵，丙、丁组人均植树棵数均为 2.5m 棵，A, B 两 5 个植树点的人均植树棵数均为 4(m + 2)棵，根据总的植树棵树相同可 5 列方程：(m+ 2)a + (50 a)m + (b + 28 b) X 2.5m=才仲 + 2)(50 + 28)，整理得 22.5m + 2a= 195,v人均植树量均为整数，二 2.5m 为 整数，m为偶数，又 a 为整数，且 a 10 时，a 为负值，不合题意，综上可知，21 班同学共植树 360 棵. 9. 48【解析】设 A

49、 种饮料浓度为 a, B 种饮料浓度为 b,倒出的相 同重量为 x 千克.则 A 种饮料剩下(40 x)千克，含果蔬(40 x)a 千 克；B 种饮料剩下(60 x)千克，含果蔬(60 x)b 千克.A 种饮料倒 出部分含果蔬xa 千克，B 种饮料倒出部分含果蔬 xb 千克，根据题 意，相互倒入混合后浓度相同， (40 x) a+ xb 40 10 (60 60 & + 乂*，整理得 120(a b) = 5x(a b)，丁 A, B 饮料浓度 不同，b,. 5x= 120,解得 x = 24,则两种饮料一共被倒出了 48 千克. 专题五含百分率问题的实际应用 类型一与一次方程结合 (

50、2019 重庆 A 卷)某文明小区有 50平方米和 80 平方米两种户型的住宅，50 平方米住宅套数是 80 平 方米住宅套数的 2 倍，物管公司每月底按每平方米 2 元收取当月物 管费，该小区全部住宅都入住且每户均按时全额缴纳物管费. (1) 该小区每月可收取物管费 90 000 元，问该小区共有多少套 80 平 方米的住宅？ (2) 为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司 5 月初推出活动一： “垃圾分类送礼物”，50 平方米和 80 平方米的住户分别有 40 呀口 20% 参加了此次活动，为提高大家的积极性，6 月份准备把活动一升级为 活动二：“垃圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一，经

51、调查与测 算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大 幅增加，这样 6 月份参加活动的 50 平方米的总户数在 5 月份参加活 3 动的同户型户数的基础上将增加 2a%每户物管费将会减少 和 a% 6 月份参加活动的 80 平方米的总户数在 5 月份参加活动的同户型户数 1 的基础上将增加 6a%每户物管费将会减少 4a%这样，参加活动的 这部分住户 6 月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管 5 费将减少 18a%求 a 的值. 【分析】(1)根据总共收取的物管费为 90 000 元，列一次方程求解; (2)先分别确定参与活动一的户数以及所交物管费以及参与活动二的 住

52、户和所交物管费，再根据题意列关于 a%勺方程求解. 【自主解答】 1. (2019 江北区一模)某公司销售两种椅子， 普通椅子价格是每把 180 元，实木椅子的价格是每把 400 元. (1) 该公司在 2019 年第一月销售了两种椅子共 900 把，销售总金额 达到了 272 000 元，求两种椅子各销售了多少把？ (2) 第二月正好赶上市里开展家具展销活动，公司决定将普通椅子每 把降30 元后销售，实木椅子每把降价 2a%(a 0)后销售，在展销活 动的第一周，该公司的普通椅子销售量比上一月全月普通椅子的销 10 售量多了 a%实木椅子的销售量比上一月全月实木椅子的销售量 多了 a%这一周

53、两种椅子的总销售金额达到了 251 000 元，求 a 的 值. 2. (2019 宜昌)HW 公司 2018 年使用自主研发生产的“ QL系列甲、 乙、丙三类芯片共 2 800 万块，生产了 2 800 万部手机.其中乙类 芯片的产量是甲类芯片的 2 倍，丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片 产量的和还多 400万块.这些“ QL芯片解决了该公司 2018 年生产 的全部手机所需芯片的10%. (1) 求 2018 年甲类芯片的产量； (2) HW 公司计划 2020 年生产的手机全部使用自主研发的“ QL系列 芯片，从 2019 年起逐年扩大“ QL”芯片的产量.2019 年，2020 年这 两

54、年，甲类芯片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数 m% 乙类芯片的产量平均每年增长的百分数比 m%、1,丙类芯片每年的 产量每年按相同数量递增.2018 年到 2020 年，丙类芯片三年的总产 量达到1.44 亿块.这样，2020 年 HW 公司的手机产量比 2018 年全年 的手机产量多 10%求丙类芯片 2020 年的产量及 m 的值. 3. (2019 -重庆 B 卷)某菜市场有 2.5 平方米和 4 平方米两种摊位， 2.5 平方米的摊位数是 4 平方米摊位数的 2 倍.管理单位每月底按每 平方米 20 元收取当月管理费，该菜市场全部摊位都有商户经营且各 摊位均按时全额缴纳管理费.

55、 (1) 菜市场每月可收取管理费 4 500 元，求该菜市场共有多少个 4 平 方米的摊位？ (2) 为推进环保袋的使用，管理单位在 5 月份推出活动一：“使用环 保袋送礼物”，2.5 平方米和 4 平方米两种摊位的商户分别有 40 呀口 20%参加了此项活动，为提高大家使用环保袋的积极性， 6 月份准备 把活动一升级为活动二：“使用环保袋抵扣管理费”，同时终止活 动一.经调查与测算，参加活动一的商户会全部参加活动二，参加 活动二的商户会显著增加，这样，6 月份参加活动二的 2.5 平方米的 摊位的总个数将在 5 月份参加活动一的同面积个数的基础上增加 2a% 3 每个摊位的管理费将会减少 1

56、0a% 6 月份参加活动二的 4 平方米摊位 的总个数将在 5 月份参加活动一的同面积个数的基础上增加 6a%每 1 、 、一 、亠 亠、 个摊位的管理费将会减少 4a%这样，参加活动二的这部分商户 6 月 5 份总共缴纳的管理费比他们按原方式共缴纳的管理费将减少 a% 求 a 的值. 类型二与不等式结合 （2019 綦江区一模）暑假是旅游 旺季，为吸引游客，某旅游公司推出两条“精品路线”一一“亲子 游”和“夏令营”. (1)7 月份，“亲子游”和“夏令营”活动的价格分别为 8 000 元/人 和 12 000 元/人.其中，参加“夏令营”活动的游客人数为“亲子 游”活动游客人数的 2 倍少

57、300 人，且“夏令营”线路的旅游总收 入不低于“亲子游”线路旅游总收入的一半，问：参加“亲子游” 线路的旅游人数至少有多少人？ 到了 8 月份，该旅游公司实行降价促销活动，“亲子游”和“夏 令营”线路的价格分别下降|a 呀口 a%(a 20)，旅游人数在 7 月份对 应最小值的基础上分别上升 3a 呀口 5a%当月旅游总收入达到 256.32 万元，求 a. 【分析】(1)设参加“亲子游”线路的游客人数为 x 人，则参加“夏 令营”活动的游客人数为(2x 300)人，根据题意列出不等式求得答 案即可； 由(1)可知，参加“夏令营”活动的游客人数的最小值为 60 人， 3 由题意得 0.8(1 2a%)x 180(1 + 3a%)+ 1.2(1 a%)x 60(1 + 5a%)= 256.32，求得 a 值即可求得答案. 【自主解答】 1. (2019 九龙坡区校级模拟)某水果店以每千克 6 元的价格购进一 批水果，由于销售状况良好，该店又购进一些同一种水果，第二次 进货价格比第一次每千克便宜了 1 元，已知两次一共进货 600 千克. (1) 若该水果店两次进货的总费用不超过 3 200 元，求第一次至多购 进水果多少千克？ (2) 在(1)的条件下， 以第一次购进最大重量时