2020届江苏高考数学(理)总复习课堂检测：空间几何体的表面积与体积

1、 课时跟踪检测（三十六） 空间几何体的表面积与体积 3 7t 3*2 54 ti P， 51 32 52 3 由V=3得旦 V2 冗 1 3 n 3 曲 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 解析：由题意得，底面对角线长为 2 ,2,所以正四棱锥的高为 ，22 2 2= 所以 正四棱锥的体积 V = 1sh= 22X 2 =孕. 答案：晋 2. （2018 苏锡常镇调研）设棱长为 a 的正方体的体积和表面积分别为 Vi, Si，底面半径 解析：法一：由题意知 V1 = a3, S1 = 6a2, V2 =1 r3, S2= 2 n2, 3 得 a = r,从而 法二：不妨设 V1= 27, V2=

2、9 n,故 V1 = a3= 27,即 a= 3,所以 S1 = 6a2 = 54. 如图所示，又 V2 = 3hx 7tr2= 3 n3= 9n,即 r= 3,所以 l= 2r,即 S2=-2lx 2 n = , 2n*2 3 3 2 =9 . 2 n, 所以 S2= 9 2 n= n 答案： 冗 AA1C1C 的距离就是点 B 到平面 AA1C1C 的距离，作 BH 丄 AC，垂足为点 H ,由于 ABC 是 正二角形且边长为 4，所以 BH = 2、*3，从而二棱锥 A-A1EF 的体积 VA-A1EF = V E-A1AF = 1. （2018 徐州高三年级期中考试）各棱长都为 2 的

3、正四棱锥的体积为 和高均为 r 的圆锥的体积和侧面积分别为 V2, S2，若严=3,则学的值为 V2 n S2 3. （2018 南京二模）如图，正三棱柱 ABC-A1B1C1中，AB = 4, AA1 = 解析：因为在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，AA1 / BB1, AA1 ?平面 AA1C1C, BB1?平面 AA1C1C，所以 BB1 /平面 AA1C1C，从而点 E 到平面 6.若 E,F 分别是棱 BB1,CC1上的点，则三棱锥 A-A1EF 的体积是 5 i i i 訐厶AiAF BH = 3X 2X 6X 4X 2 3= 8 3. 答案：8 3 4. （2018 海安期中）

4、如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD -AiBiCiD 中，0 为底面 ABCD 的中心，则三棱锥 O -AIBCI的体积为 所以 B0 丄平面 AiOCi, B0 是三棱锥 B -AiOCi的高, i i 4 则三棱锥 O -AiBCi的体积为 3x 2X 2 2X 2X 2 = 4. 3 2 3 答案：4 5. （20i8 盐城模拟）若一圆锥的底面半径为 i,其侧面积是底面积的 3 倍，则该圆锥的 体积为 _ . 解析：设圆锥的母线长为 I，高为 h,则nX i X l = 3 nX i2,解得 l= 3, 则 h = 32- i2= 2 2, 故该圆锥的体积 V = 3nX i2X 2

5、 2= 今5. 3 3 答案：簣5 6. （20i8 苏锡常镇一调）如图，正方体 ABCD-AiBiCiDi的棱长为 i, P 是棱BBi的中点，则四棱锥 P-AAiCiC 的体积为 _ . 解析：四棱锥 P-AAiCiC 可看作：半个正方体割去三棱锥 P-ABC 和 P-AiBiCi. i i i -id 所以 Vp.AAiCiC = 2VABCD-AiBiCiDi Vp-ABC- VP-AiBi Ci = ? i2= 3.解析：连结 AC,因为几何体是正方体, Ci C 8, 2. （2018 常州期中）如图，一个实心六角螺帽毛坯 （正六棱柱）的底边 长为 4，高为 3，若在中间钻一个圆柱

6、形孔后其表面积没有变化，则孔的 半径为 _ . 解析：设孔的半径为 r，:此正六棱柱的底边长为 4，高为 3,在中 间钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，二 2x n2= 2nX 3，解得 r= 3,孔的半径为 3. 答案：3 3. （2018 常州期末）以一个圆柱的下底面为底面， 并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥, 若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积的比值为 解析：如图，由题意可得圆柱的侧面积为 St = 2 nh = 2 %r2. 圆锥的母线 l=.h2+ r2= 2r, 故圆锥的侧面积为 S2= 1 x 2 ur x 1= 2 n2, 所以 S2 : Si=2

7、: 2. 答案：2 4. （2018 苏北四市一模）将斜边长为 4 的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周， 则所形成的几何体的体积是 _ . 解析：因为等腰直角三角形的斜边长为 4,所以斜边上的高为 2,故旋转后的几何体为 两个大小相等的圆锥的组合体，圆锥的底面半径为 2,高为 2,因此，几何体的体积为 V = 5. （2018 泰州中学高三学情调研 ）在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，P 为 AA1中点，Q 为 CC1的中点，AB = 2,则三棱锥 B-PQD 的体积为 _ . 解析：如图，连结 PQ,则 PQ/ AC,取 PQ 的中点 G,连结 BG, DG,可得 BG 丄 PQ

8、, DG 丄 P Q 又 BG n DG = G,贝 U PQ!平面 BGD , 在 Rt BPG 中，由 BP= 5, PG= .2,可得 BG = 3，同理可得 DG =.3,则厶 BDG 边 BD 上的高为 .32- 22 =1 ，所以 S BDG = x 2 2 X 1= 2，贝U VB-PQD= 1X 一 2X 2 2= 3. 答案: 6. （2019 盐城检测）有一个用橡皮泥制作的半径为 4 的球，现要将该球所用的橡皮泥制 作成一个圆柱和一个圆锥，使圆柱和圆锥有相同的底面半径和相等的高，若它们的高为2X 3 nX 22x 2= 3 16 n 3 . 答案: 16 n 3 则它们的底

9、面半径为 _ 解析：由已知可得球的体积为 V = 4nX 43= 256 n设圆柱和圆锥的底面半径为 r,则圆柱 和圆锥的体积和为 8 曲2 + 8 2 = ，解得 r = 2/2. 3 3 答案：2 2 7. （2018 启东调研）如图，Rt ABC 的外接圆O O 的半径为 5, CE 垂直于O O 所在的平面，BD / CE , CE = 4, BD = 2, ED = 2,10, 若 M为 ED 的中点，贝U VM-ACB = _ . 解析：如图，过 D 作 DH 丄 CE 于 H，贝 U BC= DH，在 Rt EDH 中，由 ED = 2 10, EH = EC DB = 2，得

10、BC = DH = 6，所以在 Rt ABC 中，AB = 10, BC = 6,所以 AC = 8，即 SAABC = 24,又因为 CE 垂直于 O O 所在的平面，BD / CE, M 为 ED 的中点，所以 M 到 1 平面 ABC 的距离为 3，所以 VM-ACB = SABCX 3= 24. 答案：24 8. （2018 连云港调研）已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为 4,底面 边长为 2申申，则该球的表面积为 _ . 解析：如图，正四棱锥 P-ABCD 的外接球的球心 O 在它的高 PO1 上,设球的半径为 R,因为底面边长为 2 2,所以 AC= 4.在 Rt A

11、OO1 中，R2= （4 R）2 + 22,所以 R = 5，所以球的表面积 S = 4 UR2= 25 n. 答案：25 n 9. （2018 苏州期末）如图，在体积为 V1的圆柱中挖去以圆柱上下底面为 底面、共顶点的两个圆锥，剩余部分的体积为 V2,则= _ . V1 解析：设圆锥与圆柱的底面面积为 S,高为 h, 所以 V1= Sh, V2= Sh ；Sh= TSh,则警警= 3 3 V1 3 2 答案：2 10. 一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为 r 的铁球，并 向容器内注水，使水面恰好与铁球面相切将球取出后，容器内的水深是多少？ 解：如图，作轴截面，设球未

12、取出时，水面高 PC = h,球取出后， 水面高 PH = x.根据题设条件可得 AC = 3r, PC= 3r，则以 AB 为底 1 1 面直径的圆锥容积为 V圆锥=3 nX AC2X PC= - n( 3r)2 X 3r = 3 nr3. 3 3 3 nr . 球取出后，水面下降到 EF，水的体积为 1 2 1 2 1 3 V 水=3 nX EH X PH = 3 n PH tan 30 PH = - nc . 又 V水=V圆锥一 V球，则1 TX3= 3 ur3 冗 r3, 9 3 解得 x = 15r.故球取出后，容器内水深为 即 15r. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1.已知直三

13、棱柱 ABC-A1B1C1的 6 个顶点都在球 0 的球面上，若 AB = 3, AC= 4, AB 丄 AC, AA1= 12,则球 O 的半径为 _ 解析：如图，由球心作平面 ABC 的垂线，则垂足为 BC 的中点 M.又 AM = 1BC= ；,32+ 42= 2, OM = *AA1 = 6,所以球 O 的半径 R= OA = + 62=学. 答案：学 2.三棱锥 P-ABC 中，PA 丄平面 ABC 且 PA= 2, ABC 是边长为-3 的等边三角形， 则该三棱锥外接球的表面积为 _ . 解析：由题意得，此三棱锥外接球即为以 ABC 为底面、以 PA 为高的正三棱柱的外 接球，因为

14、 ABC 的外接圆半径 r= X 3X 2= 1,外接球球心到 ABC 的外接圆圆心的 23 距离 d= 1,所以外接球的半径 R= .r2+ d2= 2,所以三棱锥外接球的表面积 S= 4 冗 R2= 8n. 答案：8n 3.如图是一个以 A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何 体，截面为 ABC，已知 A1B1= B1C1 = 2,Z 人伯16= 90 AAj = 4, =3, CC1= 2，求: (1)该几何体的体积. 截面 ABC 的面积. 解：( (1)过 C 作平行于 A1B1C1的截面 A2B2C，交 AA1, BB1分别于 点 A2, B2. 由直三棱柱性质及/ AIBICI = 90 可知 B2C 丄平面 ABB2A2，则该几何体的BB1 B A C| 体积 V = 1 1 1 VA1B1C1-A2B2C+ VC-ABB2A2 = 2 X 2X 2 X 2 + 宅宅(1 + 2) X 2 X 2 = 6. (2)在厶 ABC 中，AB = 22+ 4- 3 2= 5, BC= ,22+ 3-2 2=