(浙江专版)高中数学第一章三角函数1.1.1任意角学案新人教A版必修4

1、11. 1.1 任意角澡前自主学习.基稳才能楼鬲预习课本 P25,思考并完成以下问题(1)角是如何定义的？角的概念推广后，分类的标准是什么？象限角的含义是什么？判断角所在的象限时，要注意哪些问题?(3)终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角?新知初探1任意角(1)角的概念:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)角的表示：如图，0A是角a的始边,OB是角a的终边,O是角 的顶点.角a可记为角a”或/a”或简记为a”.角的分类:名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角LXJ负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角b 冲点睛对角的概念

2、的理解的关键是抓住“旋转”二字: 确旋转量的大小；要明确射线未作任何旋转时的位置.2象限角把角放在平面直角坐标系中， 使角的顶点与原点重合,角的始边与X轴的非负半轴重合, 那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限 _ 如果角的终边在坐标轴上，就认为 这个角不属于任何一个象限.点睛象限角的条件是：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.要明确旋转的方向；要明2a在内，可构成一个集合S= 3I3=a+k 360,k Z，即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和.点睛对终边相同的角的理解终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同;（2）k Z,即k为整数这一

3、条件不可少;（3）终边相同的角的表示不唯一.小试身手一 30是第四象限角.（）（2）钝角是第二象限的角.（ ）（3）终边相同的角一定相等.（）答案：V（2）V（3）x2.与 45角终边相同的角是（）B. 225D. 315答案：D3.下列说法正确的是（）A.锐角是第一象限角C.第一象限角是锐角答案：A边按逆时针方向旋转一周后的角度数 _.答案：25395课堂讲练设汁.举一能通娄剋题翌一1任意角的概念典例下列命题正确的是（）A. 终边与始边重合的角是零角B. 终边和始边都相同的两个角一定相等C. 在 90卩180范围内的角3不一定是钝角3.终边相同的角所有与角a终边相同的角，连同角1.判断下列命

4、题是否正确.（正确的打“V”，错误的打“x”）A. 45C. 395B.第二象限角是钝角D.第四象限角是负角4.将 35角的终边按顺时针方向旋转60所得的角度数为_，将 35角的终3D. 小于 90的角是锐角解析终边与始边重合的角还可能是360, 720,，故 A 错；终边和始边都相同的两个角可能相差 360的整数倍，女口 30与一 330,故 B 错；由于在 90卩180范围内的角卩包含 90角，所以不一定是钝角，C 正确；小于 90的角可以是 0,也可以是负角，故 D 错误.答案C理解与角的概念有关问题的关键关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与 终边

5、及旋转方向与大小另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明， 而判断结论不正确只需举一个反例即可.活学活用如图，射线OA绕端点O旋转 90到射线OB的位置，接着再旋转30到OC的位置,则/AO度数为_解析：/AOC=ZAOBHZBOG90+ ( 30 ) = 60答案：60蛊型二终边相冋角的表示典例写出与 75角终边相同的角卩的集合，并求在 360卩1 080 范围内与75角终边相同的角.解与 75角终边相同的角的集合为S= 3|3=k 360+ 75,k Z.当 36031 080 时，即 360k 360+ 75 1 080 ,1919解得 24k224.又k Z,所以k=

6、1 或k= 2.当k= 1 时，3= 435;当k= 2 时，3= 795.综上所述，与 75角终边相同且在 36031 080 范围内的角为 435角和 795角.41 终边落在直线上的角的集合的步骤(1)写出在 0360范围内相应的角;5(2) 由终边相同的角的表示方法写出角的集合；(3) 根据条件能合并一定合并，使结果简洁.2 终边相同角常用的三个结论(1) 终边相同的角之间相差360的整数倍.(2) 终边在同一直线上的角之间相差180的整数倍.终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90的整数倍.活学活用分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合.角终边相同的角构成集合$=卩|上的角的集

7、合为S=SiUSa= 卩|3=k 180,k Z.由图形易知，在 0360范围内，终边在直线y= x上的角有两个，即 135和315，因此，终边在直线y= x上的角的集合为S= 3I3= 135+k 360,k ZU3|3= 315+k 360,k Z = 3|3= 135+k 180,k Z.JS型象限角的判断典例已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角,并指出它们是第几象限角.(1) 75; (2)855 ; (3) 510.解作出各角，其对应的终边如图所示:(1)由图可知：一 75是第四象限角.由图可知：855是第二象限角.由图可知：一 510是第三象限角.所有

8、与 0角终边相同的角构成集合y= 0 上的角有两个，即 0和 180,因此,S= 3|3= 0+k 360,k Z，而所有与 1803= 180+k 360,k Z，于是，终边在直线y= 0解：(1)在 06象限角的判定方法(1)根据图象判定.依据是终边相同的角的概念，因为 0360之间的角的终边与坐7标系中过原点的射线可建立一一对应的关系.(2)将角转化到 0360范围内.在直角坐标平面内， 在 0360范围内没有两个 角终边是相同的.活学活用若a是第四象限角，贝 U 180 a定在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：选 CTa与a的终边关于X轴对称，且a是第四象限角

9、限角.而 180 a可看成a按逆时针旋转 180得到， 180 a是第三象限角宀a角下,na(n N)所在象限的确* Jii1 * 1疋a典例已知a是第二象限角，求角 迈所在的象限.解法一：Ia是第二象限角， k 360+ 90ak 360+ 180(k Z).当k为偶数时，令k= 2n(n Z)，得an 360+ 452n 360+ 90,a这表明歹是第一象限角；当k为奇数时，令k= 2n+1(n Z)，得an 360+ 2252n 360+ 270,a这表明 5 是第三象限角. 寺为第一或第三象限角.法二：如图，先将各象限分成2 等份，再从x轴正向的上方起，a依次将各区域标上一、二、三、四

10、，则标有二的区域即为的终边所a在的区域，故为第一或第三象限角.一题多变. a是第一象345360+ 90(k Z).pq *81.变设问在本例条件下，求角 2a的终边的位置.解：Ta是第二象限角， k 360+ 90ak 360+ 180(k Z). k 720+ 180 2ak 720+ 360( k Z).角 2a的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上.2.变条件若角a变为第三象限角，则角a是第几象限角？解：如图所示，先将各象限分成2 等份，再从x轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有三的aa区域即为角 2 的终边所在的区域，故角 为第二或第四象限角.倍

11、角、分角所在象限的判定思路(1) 已知角a终边所在的象限，确定na终边所在的象限，可依据角a的范围求出na的范围，再直接转化为终边相同的角即可.注意不要漏掉na的终边在坐标轴上的情况.a(2) 已知角a终边所在的象限，确定n终边所在的象限，分类讨论法要对k的取值分以 下几种情况进行讨论：k被n整除；k被n除余 1 ；k被n除余 2,，k被n除余n 1.然 后方可下结论.几何法依据数形结合思想，简单直观.解析：选 B 由于一 215= 360+ 145,而 145是第二象限角，则一 215也是 第二象限角.2.下面各组角中，终边相同的是()A. 390, 690B.330, 750C. 480,

12、 420D. 3 000 ， 840解析：选 BT 330= 360+ 30, 750= 720+ 30, 330与 750终边相同.3. 若a=k 180+ 45,k Z,则a所在的象限是()课后层级训续，步步捏升能力1.215 是()A.第一象限角层级一学业水平达标B.第9A.第一、三象限B.第一、二象限C.第二、四象限D.第三、四象限解析：选 A 由题意知a=k 180+ 45,k Z,当k= 2n+ 1,n Za= 2n 180+ 180+ 45=n 360+ 225，在第三象限，当k= 2n,n Z,a= 2n 180+ 45=n 360+ 45,在第一象限. I a是第一或第三象限

13、的角.4.终边在第二象限的角的集合可以表示为 ()A.a|90a180B.a|90 +k 180a180+k 180,k ZC.a| 270+k 180a-180+k 180,k ZD.a| 270+k 360a180+k 360,k Z解析：选 D 终边在第二象限的角的集合可表示为a|90 +k 360a180 +k 360,k Z，而选项 D 是从顺时针方向来看的，故选项 D 正确.5. 将885 化为a+k 360(0 aV360,k Z)的形式是()A.165 +(2)X360B.195+(3)X360C. 195+(2)X360D. 165+(3)X360解析：选 B 885= 19

14、5 + ( 3)X360, 0 195 360,故选 B.6. 在下列说法中：1时钟经过两个小时，时针转过的角是60;2钝角一定大于锐角；3射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0;42 000是第二象限角.其中错误说法的序号为 _(错误说法的序号都写上 ).解析：时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60，因而转过的角为一 60,所以不正确.2钝角a的取值范围为 90a180,锐角0的取值范围为 0B90，因此钝 角一定大于锐角，所以正确.3射线OA按逆时针旋转一周所成的角是360,所以不正确.4一 2 000 = 6X360+ 160与 160终边相同，是第二象限角，所以正确.答案：1

15、07.a满足 180a360, 5a与a有相同的始边，且又有相同的终边，那么a=解析：5a=a+k 360,k乙二a=k 90kZ.11又/ 180a360,.a= 270.答案：270&若角a= 2 016 ，则与角a具有相同终边的最小正角为 _ ，最大负角为解析： 2 016= 5X360+ 216,A与角a终边相同的角的集合为a|a= 216 +k 360,k Z ,最小正角是 216，最大负角是一 144.答案：2161449. 在 0360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：(1) 549 ; (2) 60; (3) 503 36.解：(1)549 =

16、 189+ 360,而 180 189 270,因此，549 角为第三象限角， 且在 0360范围内，与 189角有相同的终边.(2) 60= 300 360,而 270 300 360,因此，一 60 角为第四象限角，且在 0360范围内，与 300角有相同的终边.(3) 503 36 = 216 24 2X360 ,而 180 216 24 270,因此，一503 36角是第三象限角，且在0360范围内，与 216 24角有相同的终边.10.已知角的集合M= a|a= 30+k 90,k Z，回答下列问题：(1) 集合M中大于一 360且小于 360的角是哪几个？(2) 写出集合M中的第二

17、象限角卩的一般表达式.2, 1,0,1,2,3 ，集合M中大于一 360且小于 360的角共有 8 个，分别是一 330,240, 150, 60, 30, 120, 210, 300.(2)集合M中的第二象限角与 120角的终边相同，卩=120+k 360,k Z.层级二应试能力达标1.给出下列四个结论：一 15是第四象限角；185是第三象限角；475是第 二象限角；一 350是第一象限角其中正确的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4解析：选 D一 15是第四象限角；2180 185 270是第三象限角；3475= 360 + 115,而 90 115 180,所以 475 是第二象限

18、角；4一 350= 360+ 10是第一象限角，解:(1)令一 360 30 +k 90 360,则一k，又k Z,.k= 4, 3,12所以四个结论都是正确的.132.若角2a与240角的终边相同，贝Ua=()A. 120 +k 360,k ZB. 120 +k 180,k ZC. 240 +k 360,k ZD. 240 +k 180,k Z解析：选 B角 2a与 240角的终边相同，贝U2a= 240+k 360,k Z,则120+k 180,k 乙选 B.3若a与卩终边相同，则a-3的终边落在()A. X 轴的非负半轴上B. X 轴的非正半轴上C. y 轴的非负半轴上D. y 轴的非正

19、半轴上解析：选 AVa=3+k 360,k Z,a3=k 360,k Z,解析：经过一小时，时针顺时针旋转 30,分针顺时针旋转 360,结合负角的定义可 知时针转过的角为一 30,分针转过的角为一 360.答案：30 3606._ 已知角 2a的终边在X轴的上方，那么a是第_ 象限角.解析：由题意知k 360 2a180 +k 360(k Z)，故k 180a90 +kT80(k Z)，按照k的奇偶性进行讨论.当k= 2n(n Z)时，n 360a90 +n 360(n Z), a在第一象限；当k= 2n+1(n Z)时，180+n 360a270 +n 360(n Z) , a在第三象限.故a是第一或第三象限角