(新教材)高中数学人教A必修第一册同步练习：第五章习题课三角恒等变换的应用

1、习题课三角恒等变换的应用课后篇巩固提升.基础达标练1.函数 f(x)=sin xcos x+cos2x-1 的值域为()1C.-1,0D.0,2解析 f(x)=sin xcos x+ cos2x-111+cos2?=尹n 2x+2-11 1 1=s in 2x+cos 2x-因为-1Wsin(2?+ 4?)W1,所以 y -三1，今】.答案 A2.已知卄1na满足 sin0=3，贝Ucos(4+冗?)cos(4-?=725725A.18B.石18C.韦D.-石2117，、丄2sina=2(1 -2X9) =18,故选 A.答案 A5。o2tan13A/-cos50 亠3.设 a=2sin 13

2、 cos 13,b=-2,c=2，则有()1+tan2132A.cabB.abcC.bcaD.acc;在区间0,扌上 tanasina所以 ba,所以cab 故选 A.答案 A4.(多选题)(2020 福建福州一中高一期末)以下函数在区间A.y= sin x+ cos xB.y=s inx-cos x0,n上单调递增的有()C.y= sin xcos xsin?D.y=cos?解析对于 A 选项,y= sin x+ cos x= v2sin( x+n),当x(0,n)2时，咛n 3 n)4 4，所以函数在区n0,2上不单调；对于 B 选项,y=sin x-cos x= v2sinnX-时,x-

3、n所以函数在区间0,n上单调递增；对于 C 选项,y=sin xcos x=sin 2x,当 x 0,2时,2x (0,n,所以函数在区间10,舟上不单调；对于 D 选项，当 x ( 0,n时sin?时,y=cos?=tan x,所以函数在区间0,|上单调递增.答案 BD5.已知函数 f(x)=sin23X 的最小正周期为n则w=解析 由于 f(x)=sin2wx=-2cos 2wx+1,因此磊=兀解得w=1.答案1一4cos4?2cos2?16.已知函数f(x)=sin申?sin(静r11冗厶匚/+n1当 x 0,4)时，求函数 g(x)=2f(x)+ sin 2x 的最大值和最小值.2解f

4、(x)cos22?sin(扌+? cos(n+?2cos22?2cos22?sin(号+2?=cos2?=2cos 2x,所以口-害)=2cos(-罟)=2cos6=v3g(x)=cos 2x+sin 2x= v2sin(2?+4) 因为 x 0,n，所以 2乂+八岭,曽),x=8时,g(x)max= v2, 当 x=0 时,g(x)min= 1.能力提升练1.(多选题)(2020 山东枣庄高一期末)设函数 f(x)= sin，2x+j+ cos 2x+jA.是偶函数B.在区间10,n单调递减C. 最大值为 2D. 其图象关于直线 x=2对称解析 f(x)=sin ( 2x+彳)+ cos 2

5、x+J=v2sin 2x+4+4= v2cos 2x.2f(x)= v2cos 2x 的最大值为 v2,C 不正确；当 x=才时,f(x)= v2cos 2xn=-迈因此当 x= 答案 ABD，函数有最小值，因此函数图象关于“*寸称,D正确.2.已知函数 f(x)=sin x+尢os x 的图象的一个对称中心是点(,0),则函数 g(x)= 2sin xcos x+ sin2x 的图象的一条对称轴是直线()解析因为函数 f(x)= sin x+；cos x 的图象的一个对称中心是点(扌,0),所以口扌)=,即卩sin扌+尢os扌=0,解冗1得C- v3,故 g(x)=- v3sin xcos

6、x+ sin2x,整理得 g(x)=-sin(2?+云)+刁所以对称轴直线方程为nn2x+ -=kn+(k Z),当 k=-1 时,一条对称轴是直线答案 D所以当，则 f(x)()f(-x)= v2cos(-2x) = v2cos(2x)=f (x),故 f(x)是偶函数,A 正确；(o/,所以 2x (0,n),因此 f(x)在区间(0, F 上单调递减,B 正确;/x5nA.x=g4 冗B.x=冗c.x=3冗D.X=-3冗x=-3.3.(2019 山西孝义一模)已知函数 f(x)=23sinfosZcos2?：。)的周期为琴,当 x 0,时屈数 g(x)=f(x)+m恰有两个不同的零点，则

7、实数 m 的取值范围是? ?9?解析由函数 f(x)=2v3sinycosT+Zcos2?。)，可得 f(x)= v3sin ：x+ cos ：x+ 1= 2sin3X+6 + .f(x)的周期为，.磊=守,可得妒 3,/f(x)=2sin3x+n+ i.n 7 n. _ . _ .6,石-(x)的图象与函数 y=-m 的图象恰有两个交点1二2X+ 1-m2X1+ 1,即 2-m3,实数 m 的取值范围是(-3,-2.答答案 (-3,-24.已知函数 f(x)=4tan xsi门(才-?上0$(?*-v3.(1)求 f(x)的定义域与最小正周期；n n.讨论 f(x)在区间-4,4上的单调性.

8、解|(1)f(x)的定义域为?|?工扌+ ? ,nZ.f(x)=4tan xcos xcos(?f) - v3 =4sin xcos(?3)- v31v3= 4sin x(2cos?+ sin?) -v3=2sin xcos x+ 2v3s in2x-v3=sin 2x+ v3(1-cos 2x)-v3=sin 2x-v3cos 2x= 2sin(2?-3). 所以 f(x)的最小正周期 T=n当 x 0,3时,3x+nnnnnn令Z=2X-3，函数 y=2sin z 的单调递增区间是-2+ 2? n + 2?兀Z.由+2kn2xpw5n尹2k %kZ，得-乜+knWxw袒+kn；kZ.设人=

9、-扌，4启=几-君+knWXw答+k兀k Z，易知 AQB=-y|, j.所以，当X -n,4时,f(x)在区间卜看，4上单调递增，在区间卜4，-咅上单调递减.-素养培优练(2019 上海闵行区高一模拟)如图，某污水处理厂要在一个矩形理污水，管道越长，污水净化效果越好，设计要求管道的接口 E 是 AB 的中点,F、G 分别落在 AD、BC 上,且AB=20 m,AD=10v3 m,设/ GEB=0.(1) 试将污水管道的长度 I 表示成0的函数，并写出定义域；(2) 当0为何值时，污水净化效果最好，并求此时管道的长度.解(1)由题意，/GEB=0/ GEF=90 ,贝 AEF= 90 -0.ABCD 的池底水平铺设污水净化管道(Rt AEFG,E 是直角顶点)来处FG=V?+ ? =10cos?sin?则 l=10(2)由(1)可知,l=而?+cos?100sin?cos?.化简可得_ 10(sin?+cos?+10l=sin?cos?/ E 是 AB 的中点，AB=20 m,AD= 103 m.EG=QEF=10cos?cos(90 -?10sn?10+sin?10+cos?10sn?定义域旺冗 冗6，3令 t= sin0+cos0= v2sin45 n 7 n1