(完整版)反比例函数与一次函数与反比例函数综合经典例题解析

1、反比例函数与一次函数综合经典例题解析在历年中考试题中一次函数和反比例函数常以综合题形式出现，这类试题不仅能考查两个函数的基本性质，而且能考查同学们综合分析问题的能力。现以以下典型例题为例，浅谈这类问题的解法，供参考。. .探求同一坐标系下的图象例 1.1.已知函数y mx与yn在同一直角坐标系中的图象大致如图1 1,则下列结论正确x的是（）分析：由图知，一次函数y mx中，y y 随 x x 的增大而增大，所以m 0;反比例函数y -x在第二、四象限，所以n 0。观察各选项知，应选 B B。评注：本题要由所给图象结合一次函数和反比例函数的性质，方能作出正确选择。k例 2 2 在同一直角坐标系中

2、，函数y kx k与y （k 0）的图象大致是（）xA.A.B.B.C.C.D.D.图 2 2分析：本题可采用排除法。由选项 A A、B B 的一次函数图象知，k 0即k 0,则一次A.A.m 0, n 0C.C.m 0,n0B.B.m 0, n 0函数y kx k图象与 y y 轴交点应在 y y 轴负半轴，而选项 A A、B B 都不符合要求，故都排k除；由选项 D D 的一次图象知，k 0即k 0,则反比例函数yk（k 0）图象应在第x一、三象限，而选项 D D 不符合要求，故也排除；所以本题应选C C。评注：本题把一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中给出，有较强的综合性，解 决这类

3、问题常用排除法。二.探求函数解析式k例 3 3 如图 3 3，直线y kix b与双曲线y只有一个交点 A A（ 1 1，2 2），且与 x x 轴，y yx轴分别交于 B B，C C 两点，ADAD 垂直平分 0B0B,垂足为 D D，求直线与双曲线的解析式。解析：k2因为双曲线y过点 A A（ 1 1，2 2），xk所以2乞,k2212得双曲线的解析式为y -。xA A 点的坐标为（1 1，2 2）。所以 B B 点的坐标为（2 2，0 0）。因为 ADAD 垂直平分 0B0B ,所以直线的解析式为y 2x 4因为y k1xb过点 A A（ 1 1，2 2）和 B B（ 2 2，0 0），

4、所以k1b 22k1b 0解得k12评注：解决本题的关键是确定点 B B 的坐标，由 ADAD 垂直 0B0B 知，点 D D 和点 A A 的横坐标应 相同，所以点 D D 的坐标为（1 1，0 0），又 ADAD 平分 0B0B 知，OB 20D 2，所以点 B B 坐 标为（2 2，0 0），进而求出一次函数解析式。三.探求三角形面积4例 4 4 如图 4 4,反比例函数y的图象与直线yxA.A. 8 8B.B. 6 641解析：把y代入y x，得x341xx 3整理得x212解得x12 . 3,x22、3把x12.3,X22 3分别代入4yx得y1joy?=33313X的交点为 A A

5、，B B，过点 A A 作 y y 轴3的平行线与过点 B B 作 x x 轴的平行线相交于点C C,贝U ABC的面积为（C.C. 4 4D.D. 2 2所以点 A A 的坐标为（2 3,2、3）3点 B B 的坐标为(2.3,23)3由题意知，点 C C 的横坐标与点 A A 的横坐标相同，点 C C 的纵坐标与点 B B 的纵坐标相同， 所以点 C C的坐标为(2 3,23)。3因为AC2伍-y/3,333所以ABC的面积为114-ACBC .3438223故应选 A A。2例 5 5 如图 5 5,已知点 A A 是一次函数y x的图象与反比例函数y的图象在第一象限内x22析解：把y

6、x代入y，得x ，xx整理得x22，解得Xi2,x22A.A. 2 2B.B.C.C.2D.D.2 2的交点，点得Xi2,x22分别代入y x又点 A A 在第一象限内，所以点 A A 的坐标为（,2, . 2）在AOC中AC、2,0C、2由勾股定理，得0A 2,所以 0B=20B=2。所以AOB的面积为11-OB AC 222，22故应选（C C）评注：例 4 4 和例 5 5 中都利用解方程来求出两函数图象的交点坐标，这是求两函数图象交 点坐标的常用方法，蕴含着转化思想。四 探求点的坐标1k例 6 6 如图 6,6,直线y x 1分别交 x x 轴、y y 轴于点 A A ,C,C，点 P

7、 P 是直线 ACAC 与双曲线y 2x在第一象限内的交点，PB x轴，垂足为点 B B，APB的面积为 4 4。（1 1）求点 P P 的坐标；（2 2）略。1析解：在y x 1中，令x 0，则y 1；令y 0，则x 2。所以点 A A 的坐标为（-2-2，0 0），点 C C 的坐标为（0 0，1 1 ）。得yi2,y221因为点 P P 的直线y x 1上,21不妨设点 P P 的坐标为（m,-m 1）21所以AB m 2, PB m 1。21两函数图象的另一个交点为(,-4).评注:一次函数 y = mx + 3n 与反比例函数2my=-x(1(1 , 2)2)，则该点坐标满足两解析式

8、；要求两图象交点,5n5-的图象都经过点则应由两图象的解析1又因为SAPB*AB PB 411所以(m 2)(m 1)422整理得m24m 12 0即(m 2)(m6)0解得mj2,m26因为点 P P 在第一象限，所以m2。故点 P P 的坐标为(2 2, 2 2)。评注：本题的解答过程蕴含着设元思想、方程思想和转换思想。五、综合运用例 6 6 已知关于 x x 的一次函数 y y = mxmx + 3n3n 和反比例函数点(1(1, - 2)2).求：(1)(1) 一次函数和反比例函数的解析式； 两个函数图象的另一个交点的坐标.解析：(1)(1) 两函数图象都过点(1(1 , - 2)2)

9、,2m 5的图象都经过xm+ 3n= 2, 2m+ 5n= 2 .解之，得m= 4,n = 2.一次函数的解析式为 y y = 4x4x 6 6,2反比例函数的解析式为y=-.x(2)(2)根据题意，列出方程组y= 4x 6,2y=.解之，得y 一 2,1x =2y= 4.式组成方程组求解.k例 7 已知一次函数 y= x + 6 和反比例函数 y= (k 工 0).x(1)k(1)k 满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系 xOyxOy 中的图象有两个公共点?设中的两个公共点为 A A，B B,试判断/ AOBAOB 是锐角还是钝角？y= x + 6,(1)根据题意，得消去 y y,得 x

10、x2 6x6x + k k= 0 0.3636 4k4k0 0,. k kv 9 9.当 k kv 9 9 且 k kz 0 0 时，方程 x x2 6x6x + k k= 0 0 有两个不相等的非零实数解. k k v 9 9 且 k kz 0 0 时，两函数图象有两个公共点./ y y= x x+ 6 6 的图象过第一，二，四象限， 0 0v k kv9 9 时，双曲线两支分别在第一、三象限由此知两公共点A A，B B 在第一象限，此时/ AOBAOB 是锐角.k kv0 0 时，双曲线两支分别在第二，四象限，两公共点A A，B B 分别在第二、四象限，此时/ AOBAOB 是钝角.例 8

11、 已知 A(m，2)是直线 I 与双曲线 y=3的交点.x(1)求 m m 的值；(2)若直线 I I 分别与 x x 轴、y y 轴相交于 E E，F F 两点，并且 RtRt OEF(OOEF(O 是坐标原点) ) 的外心为点 A A，试确定直线 I I 的解析式；3(3) 在双曲线 y=上另取一点 B 作 BK 丄 x 轴于 K ;将 中的直线xI I 绕点 A A 旋转后所得的直线记为 I I，若 I I与 y y 轴的正半轴相交于点 C C，一1且 OC = - OF .试问在 y 轴上是否存在点P，使得 SPCA= S BOK，4若存在，请求出点 P P 的坐标？若不存在，请说明理

12、由.图】3OL解析：3:直线 l 与双曲线 y =-的一个交点为 A(m, 2),33一 =2，即 m=二.m23 A 点坐标为(一，2).2 丿作 AMAM 丄 x x 轴于 M M ./ A A 点是 RtRt OEFOEF 的外心， EAEA = FAFA .由 AMAM / y y 轴有 0M0M = MEME . OFOF = 20M20M./ MAMA = 2 2, OFOF = 4 4. F F 点的坐标为(0(0, 4)4).设 I I: y y = kxkx + b b，则有34k + b= 2,k = 一，23b = 4.b= 4.4直线 I 的解析式为 y = x+ 4.

13、31(3)TOC=4OF,AOC=1. C C 点坐标为(0(0, 1)1).设 B B 点坐标为(X(X,，) )，贝 U U13-sBOK=-|x1|y1|=2设 P P 点坐标为(0(0, y y)，满足SPCA=S BOKBOK .当点 P P 在 C C 点上方时，y y 1 1, 有1333S PCA=2(y1)x=；(y1)=2 y y = 3 3.当点 P P 在 C C 点卜方时，y y v 1 1,有13S PCA2 (1y)=2 y y = 一 2 2.综上知，在 y y 轴存在点 P(0P(0, 3)3)与(0(0, 2)2)，使得 S SPAC= S SBOK评注：直

14、线与双曲线的综合题的重要组成部分是两种图象的交点，这是惟一能沟通它们的要素，应用交点时应注意:(1)(1)交点既在直线上也在双曲线上，交点坐标既满足直线的解析式也满足双曲 线的解析式.(2)(2)要求交点坐标时，应将两种图象对应的解析式组成方程组，通过解方程组 求出交点坐标.(3)(3) 判断两种图象有无交点时， 可用判别式确定， 也可以画出草图直观地确定.例 9 如图 13- 32,已知 C, D 是双曲线 y=m在第一象限内的分支x上的两点，直线 CDCD 分别交 x x 轴，y y 轴于 A A , B B 两点，设 C C, D D 的坐标分别是(x(x1,y y1) ), (x(x2

15、, y y2) )，连结 OCOC, ODOD .(1)求证：y! OCvy1+yi1 _若/ BOC =ZAOD =a,tana=3 , OC = 10，求直线 CD 的解3析式.证明：(1)(1)如图 1313 3333 过点 C C 作 CGCG 丄 x x 轴，垂足为 G G,则 CGCG = y y1, OGOG = x x1.点 C(x1, y1)在双曲线 y =上,xmy1在 RtRt OCGOCG 中，CGCG OCOC CGCG + OGOG , y1 OC y1+.y1解：在 RtRt GCOGCO 中，/ GCOGCO =Z BOCBOC =a, OC2= OG2+ CG2, OC =、. 10,10 = x2+ y2，即 10 = x2+ (3x1)2.解之，得 x x = 1 1.负值不合题意， x x = 1 1, y y = 3 3.点 C C 的坐标为(1(1 , 3)3),.点C在双曲线 y = m 上，x 3=，即 m = 3.13所以，双曲线的解析式为y=3.x过点 D D 作 DHDH 丄 x x 轴，垂足为 H H .贝 U U DHDH =