2022届高三数学一轮复习（原卷版）第一节 数列的概念及简单表示 教案

1、1第六章第六章数列数列第一节第一节数列的概念及简单表示数列的概念及简单表示核心素养立意下的命题导向核心素养立意下的命题导向1.与归纳推理相结合，考查数列的概念与通项，凸显逻辑推理的核心素养与归纳推理相结合，考查数列的概念与通项，凸显逻辑推理的核心素养2与函数相结合，考查数列的概念性质，凸显数学抽象的核心素养与函数相结合，考查数列的概念性质，凸显数学抽象的核心素养3与递推公式相结合与递推公式相结合，考查对求通项公式的方法的掌握考查对求通项公式的方法的掌握，凸显数学运算凸显数学运算、数学建模的核心数学建模的核心素养素养理清主干知识理清主干知识1数列的有关概念数列的有关概念(1)数列的定义：按照数列

2、的定义：按照一定顺序一定顺序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项项(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集 n n*(或它的有限子集或它的有限子集)为定为定义域的函数义域的函数 anf(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值(3)数列的前数列的前 n 项和：数列项和：数列an中，中，sna1a2an叫做数列的前叫做数列的前 n 项和项和2an与与 sn的关系的关系若数列若数列

3、an的前的前 n 项和为项和为 sn，则，则 ans1，n1，snsn1，n2.3数列的通项公式与递推公式数列的通项公式与递推公式(1)通项公式通项公式： 如果数列如果数列an的的第第 n项项an与与序序号号n之间的关系可以用一个式之间的关系可以用一个式子子anf(n)来表示来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式那么这个公式叫做这个数列的通项公式(2)递推公式：如果已知数列递推公式：如果已知数列an的第的第 1 项项(或前几项或前几项)，且从第二项，且从第二项(或某一项或某一项)开始的任一开始的任一项项an与它的前一项与它的前一项 an1(或前几项或前几项)间的关系可以用一个公式来表示间的

4、关系可以用一个公式来表示， 那么这个公式就叫做这个那么这个公式就叫做这个数列的递推公式数列的递推公式4数列的分类数列的分类分类原则分类原则类型类型满足条件满足条件按项数分类按项数分类有穷数列有穷数列项数项数有限有限无穷数列无穷数列项数项数无限无限按项与项间按项与项间递增数列递增数列an1an其中其中nn n*的大小关系的大小关系递减数列递减数列an10.a12，b1212113，b2132，b3132 2134，b4134 2138，数列数列bn是递减数列，故选是递减数列，故选 d.答案答案d方法技巧方法技巧解决数列的单调性问题的解决数列的单调性问题的 3 种方法种方法(1)用作差比较法，根据

5、用作差比较法，根据 an1an的符号判断数列的符号判断数列an是递增数列、递减数列或是常数列是递增数列、递减数列或是常数列(2)用作商比较法，根据用作商比较法，根据an1an(an0 或或 an0)与与 1 的大小关系进行判断的大小关系进行判断(3)结合导数的方法判断结合导数的方法判断考法考法(三三)数列中的最大数列中的最大(小小)项项例例 3已知数列已知数列an的通项公式为的通项公式为 an9n n1 10n，则数列中的最大项为，则数列中的最大项为_解析解析法一：法一：an1an9n1 n2 10n19n n1 10n9n10n8n10，当当 n0，即，即 an1an；当当 n8 时，时，a

6、n1an0，即，即 an1an；当当 n8 时，时，an1an0，即，即 an1an.则则 a1a2a3a10a11，故数列，故数列an中的最大项为第中的最大项为第 8 项和第项和第 9 项，项，且且a8a998910899108.法二：法二：设数列设数列an中的第中的第 n 项最大，项最大，则则anan1，anan1，即即9n n1 10n9n1n10n1，9n n1 10n9n1 n2 10n1，解得解得 8n9.又又 nn*，则，则 n8 或或 n9.故数列故数列an中的最大项为第中的最大项为第 8 项和第项和第 9 项，且项，且 a8a999108.答案答案9910810方法技巧方法技

7、巧求数列最大项或最小项的方法求数列最大项或最小项的方法(1)将数列视为函数将数列视为函数 f(x)当当 xn*时所对应的一列函数值时所对应的一列函数值，根据根据 f(x)的类型作出相应的函数图的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出象，或利用求函数最值的方法，求出 f(x)的最值，进而求出数列的最大的最值，进而求出数列的最大(小小)项项(2)通过通项公式通过通项公式 an研究数列的单调性，利用研究数列的单调性，利用anan1，anan1(n2)确定最大项，利用确定最大项，利用anan1，anan1(n2)确定最小项确定最小项(3)比较法：比较法：若有若有 an1anf(n1)f(

8、n)0（或或 an0 时，时，an1an1） ，则，则 an1an，即数列，即数列an是递增数是递增数列，所以数列列，所以数列an的最小项为的最小项为 a1f(1)；若有若有 an1anf(n1)f(n)0 时，时，an1an1） ，则，则 an1an，即数列，即数列an是递减数是递减数列，所以数列列，所以数列an的最大项为的最大项为 a1f(1)针对训练针对训练1若数列若数列an满足满足 a12，an11an1an，则，则 a2 021的值为的值为()a2b3c12d.13解析：解析：选选 a因为因为 a12，an11an1an，所以所以 a21a11a13，a31a21a212，a41a3

9、1a313，a51a41a42，故数列故数列an是以是以 4 为周期的周期数列，为周期的周期数列，故故 a2 021a50541a12.2已知数列已知数列an的通项公式为的通项公式为 an3nk2n，若数列若数列an为递减数列为递减数列，则实数则实数 k 的取值范围为的取值范围为()a(3，)b(2，)c(1，)d(0，)解析：解析：选选 d因为因为 an1an3n3k2n13nk2n33nk2n1，由数列，由数列an为递减数列知，对为递减数列知，对11任意任意 nn*，an1an33nk2n133n 对任意对任意 nn*恒成立，所以恒成立，所以 k(0，)故选故选 d.3若数列若数列an的前

10、的前 n 项和项和 snn210n(nn n*)，则数列，则数列nan中数值最小的项是中数值最小的项是()a第第 2 项项b第第 3 项项c第第 4 项项d第第 5 项项解析：解析：选选 dsnn210n，当当 n2 时，时，ansnsn12n11；当当 n1 时，时，a1s19 也适合上式也适合上式an2n11(nn*)记记 f(n)nann(2n11)2n211n，此函数图象的对称轴为直线此函数图象的对称轴为直线 n114，但，但 nn*，当当 n3 时，时，f(n)取最小值取最小值数列数列nan中数值最小的项是第中数值最小的项是第 3 项项创新考查方式创新考查方式领悟高考新动向领悟高考新

11、动向1大衍数列来源于大衍数列来源于乾坤谱乾坤谱中对易传中对易传“大衍之数五十大衍之数五十”的推论的推论，主要用于解释中国传统主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总文化中的太极衍生原理数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题数列前和它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题数列前 10 项依次项依次是是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，则此数列第，则此数列第 20 项为项为()a180b200c128d162解析：解析：选选 b由由 0,2,4,

12、8,12,18,24,32,40,50，可得偶数项的通项公式为，可得偶数项的通项公式为 a2n2n2，则此数，则此数列第列第 20 项为项为 2102200.故选故选 b.2下图是某省从下图是某省从 1 月月 21 日至日至 2 月月 24 日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图若该省若该省从从1月月21日日至至2月月24日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列an，an的前的前 n 项和为项和为 sn，则下列说法中正确的是，则下列说法中正确的是()12a数列数列an是递增数列是递增数列b数列数列

13、sn是递增数列是递增数列c数列数列an的最大项是的最大项是 a11d数列数列sn的最大项是的最大项是 s11解析解析： 选选 c因为因为 1 月月 28 日新增确诊人数小于日新增确诊人数小于 1 月月 27 日新增确诊人数日新增确诊人数， 即即 a7a8， 所以所以an不是递增数列，所以选项不是递增数列，所以选项 a 错误；因为错误；因为 2 月月 23 日新增确诊病例数为日新增确诊病例数为 0，所以，所以 s33s34，所，所以数列以数列sn不是递增数列不是递增数列， 所以选项所以选项 b 错误错误； 因为因为 1 月月 31 日新增确诊病例数最多日新增确诊病例数最多， 从从1月月 21 日

14、算起日算起， 1 月月 31 日是第日是第 11 天天， 所以数列所以数列an的最大项是的最大项是 a11， 所以选项所以选项 c 正确正确； 数列数列sn的最大项是最后一项，所以选项的最大项是最后一项，所以选项 d 错误，故选错误，故选 c.3设设x表示不超过表示不超过 x 的最大整数的最大整数，如如3.144，3.143.已知数列已知数列an满足满足：a11，an1ann1，则，则1a11a21an()a1b2c3d4解析解析：选选 a设设 sn1a11a21an.由由 a11，an1ann1，可得可得 an1ann1，那么那么当当 n2 时时， anan1n， an1an2n1， ， a

15、2a12， 累加可得累加可得 ana1234n，ann n1 2，当，当 n1 时，时，a11 也适合上式，则也适合上式，则1an21n n1 21n1n1 .故故 sn1a11a21an211n1 22n1.02n11，122n1an， sns6.请写出一个满足条件的数列请写出一个满足条件的数列an的通项公式的通项公式 an_.解析：解析：nn n*，an1an，则数列，则数列an是递增的，是递增的，nn n*，sns6，即，即 s6最小，只要前最小，只要前 6项均为负数项均为负数，或前或前 5 项为负数项为负数，第第 6 项为项为 0 即可即可所以所以，满足条件的数列满足条件的数列an的一

16、个通项公的一个通项公式式 ann6(nn n*)(答案不唯一答案不唯一)答案：答案：n6(nn n*)(答案不唯一答案不唯一)14课时跟踪检测课时跟踪检测一、基础练一、基础练练手感熟练度练手感熟练度1数列数列1,4，9,16，25，的一个通项公式为的一个通项公式为()aann2ban(1)nn2can(1)n1n2dan(1)n(n1)2解析解析：选选 b易知数列易知数列1,4，9,16，25，的一个通项公式为的一个通项公式为 an(1)nn2，故选故选 b.2已知数列已知数列an的前的前 n 项和为项和为 sn，且，且 a12，an1sn1(nn n*)，则，则 s5()a31b42c37d

17、47解析解析：选选 d由题意由题意，得得 sn1snsn1(nn*)，sn112(sn1)(nn*)，故数列故数列sn1为等比数列，其首项为为等比数列，其首项为 s113，公比为，公比为 2，则，则 s51324，s547.3记记 sn为递增数列为递增数列an的前的前 n 项和，项和，“任意正整数任意正整数 n，均有，均有 an0”是是“sn是递增数列是递增数列”的的()a充分不必要条件充分不必要条件b必要不充分条件必要不充分条件c充要条件充要条件d既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件解析：解析：选选 a因为因为“an0”数列数列sn是递增数列，所以是递增数列，所以“an0”是是“数列数列

18、sn是递增数列是递增数列”的的充分条件充分条件；反之反之，如数列如数列an为为1，1,3,5,7,9，显然显然sn是递增数列是递增数列，但是但是 an不一定大不一定大于零于零，还有可能小于零还有可能小于零，“数列数列sn是递增数列是递增数列”/ “an0”，“an0”是是“数列数列sn是递增数是递增数列列”的不必要条件因此的不必要条件因此“an0”是是“数列数列sn是递增数列是递增数列”的充分不必要条件故选的充分不必要条件故选 a.4若数列若数列an的前的前 n 项和项和 sn3n22n1，则数列，则数列an的通项公式的通项公式 an_.解析：解析：当当 n1 时，时，a1s13122112；

19、当当 n2 时时， ansnsn13n22n13(n1)22(n1)16n5， 显然当显然当 n1 时时，不满足上式不满足上式故数列的通项公式为故数列的通项公式为 an2，n1，6n5，n2.答案：答案：2，n1，6n5，n25设数列设数列an中，中，a13，an1an1n n1 ，则通项公式，则通项公式 an_.解析：解析：由题意知由题意知 an1an1n n1 1n1n1，a2a1112，a3a21213，a4a31314，anan11n11n(n2，nn*)，逐，逐项相加得项相加得 ana111n41n.经检验，经检验，a13 也符合上式故也符合上式故 an41n.15答案答案：41n二

20、、综合练二、综合练练思维敏锐度练思维敏锐度1已知数列已知数列an的前的前 n 项和项和 sn22n1，则，则 a3()a1b2c4d8解析解析：选选 d数列数列an的前的前 n 项和项和 sn22n1，a3s3s2(224)(223)8.故选故选 d.2(2021沈阳模拟沈阳模拟)已知数列已知数列an中中 a11，ann(an1an)(nn n*)，则，则 an()a2n1b.n1nn1cndn2解析解析：选选 c由由 ann(an1an)，得得(n1)annan1，即即an1n1ann，ann 为常数列为常数列，即即anna111，故，故 ann.故选故选 c.3设设 an3n215n18，

21、则数列，则数列an中的最大项的值是中的最大项的值是()a.163b.133c4d0解析解析：选选 d因为因为 an3n52234，由二次函数性质由二次函数性质，得当得当 n2 或或 3 时时，an最大最大，最大最大值为值为 0.4(多选多选)对于数列对于数列an，令，令 bnan1an，下列说法正确的是，下列说法正确的是()a若数列若数列an是单调递增数列，则数列是单调递增数列，则数列bn也是单调递增数列也是单调递增数列b若数列若数列an是单调递减数列，则数列是单调递减数列，则数列bn也是单调递减数列也是单调递减数列c若若 an3n1，则数列，则数列bn有最小值有最小值d若若 an112n，则

22、数列，则数列bn有最大值有最大值解析解析：选选 cd如果如果 a11，a21，则则 b1b20，从而从而 a 不正确不正确；如果如果 a11，a21，则则 b1b20， 从而从而 b 不正确不正确； 函数函数 f(x)x1x在在(0， )上为增函数上为增函数， 若若 an3n1， 则则an为递增数列为递增数列，当当 n1 时时，an取最小值取最小值，a120，所以数列所以数列bn有最小值有最小值，从而从而 c 正确正确；若若an112n，当，当 n1 时，时，an取最大值取最大值32且且 an0，所以数列，所以数列bn有最大值，从而有最大值，从而 d 正确正确165设数列设数列an满足满足 a

23、11，a22，且，且 2nan(n1)an1(n1)an1(n2 且且 nn n*)，则，则 a18()a.259b.269c3d.289解析：解析：选选 b令令 bnnan，则由则由 2nan(n1)an1(n1)an1(n2 且且 nn*)，得得 2bnbn1bn1(n2 且且 nn*)，数列数列bn是以是以 1 为首项，以为首项，以 2a2a13 为公差的等差数列，为公差的等差数列，则则 bn13(n1)3n2，即，即 nan3n2，an3n2n，故选故选 b.6(多选多选)已知数列已知数列an满足：满足：a13，当，当 n2 时，时，an( an111)21，

24、则关于数列，则关于数列an说法正确的是说法正确的是()aa28b数列数列an为递增数列为递增数列c数列数列an为周期数列为周期数列dann22n解析解析：选选 abd由由 an( an111)21 得得 an1( an111)2， an1 an111，即数列即数列 an1是首项为是首项为 a112，公差为公差为 1 的等差数列的等差数列， an12(n1)1n1，ann22n，得，得 a28，由二次函数的性质得数列，由二次函数的性质得数列an为递增数列，故为递增数列，故 a、b、d正确正确7设数列设数列an中中 a1a21，且满足，且满足 a2n13a2n1与与 a2n2a2n1a2n，则数列

25、，则数列an的前的前 12项的和为项的和为()a364b728c907d1 635解析：解析：选选 c数列数列an中中 a1a21，且满足，且满足 a2n13a2n1，则，则 a33a13，a53a39，a73a527，a93a781，a113a9243.由于由于 a2n2a2n1a2n，所以，所以 a2n2a2n1a2n，故故 a4a3a24，a6a5a413，a8a7a640，a10a9a8121，a12a11a10364，所以数列所以数列an的前的前 12 项的和为项的和为 1134913274081121243364907.故故选选 c.8 已已知知sn为数列为数列an的的前前n项和项

26、和， a11,2sn(n1)an， 若关于正整若关于正整数数n的不等的不等式式a2ntan2t2的解集中的整数解有两个，则正实数的解集中的整数解有两个，则正实数 t 的取值范围为的取值范围为()a.1，32b.1，3217c.12，1d.112，1解析：解析：选选 aa11,2sn(n1)an，当当 n2 时，时，2sn1nan1，2an2(snsn1)(n1)annan1，整理得，整理得annan1n1(n2)，annan1n1a22a111，ann(nn*)不等式不等式 a2ntan2t2可化为可化为(n2t)(nt)0，t0，0n2t.由关于正整数由关于正整数 n 的不等式的不等式 a2

27、ntan2t2的解集中的整数解有两个，可知的解集中的整数解有两个，可知 n1,2，1t0，且前且前 n 项和项和 sn满足满足 4sn(an1)2(nn n*)，则数列则数列an的通项公式的通项公式为为_解析：解析：当当 n1 时，时，4s1(a11)2，解得，解得 a11；当当 n2 时，由时，由 4sn(an1)2a2n2an1，得得 4sn1a2n12an11，两式相减得两式相减得 4sn4sn1a2na2n12an2an14an，整理得整理得(anan1)(anan12)0，因为因为 an0，所以，所以 anan120，即，即 anan12，又又 a11，故数列，故数列an是首项为是首

28、项为 1，公差为，公差为 2 的等差数列，的等差数列，所以所以 an12(n1)2n1.答案：答案：an2n11812若数列若数列an是正项数列，且是正项数列，且 a1 a2 a3 ann2n，则，则 a1a22ann_.解析解析： 由题意得当由题意得当 n2 时时， ann2n(n1)2(n1)2n， an4n2.又当又当 n1 时时， a12，a14，ann4n，a1a22ann12n(44n)2n22n.答案：答案：2n22n13在数列在数列an中，中，a11，a1a222a332ann2an(nn n*)，则数列，则数列an的通项公式的通项公式 an_.解析解析：由由 a1a222a3

29、32ann2an(nn*)知知，当当 n2 时时，a1a222a332an1 n1 2an1，ann2anan1，即，即n1nannn1an1，n1nan2a12，an2nn1.答案答案：2nn114已知数列已知数列an的前的前 n 项和为项和为 sn，数列，数列bn的前的前 n 项和为项和为 tn.满足满足 a12,3sn(nm)an(mr r)，且，且 anbnn，若存在，若存在 nn n*，使得，使得tnt2n成立，则实数成立，则实数的最小值为的最小值为_解析：解析：3sn(nm)an，3s13a1(1m)a1，解得解得 m2，3sn(n2)an，当当 n2 时时，3sn1(n1)an1，由由可得可得 3an(n2)a