2018年秋高中数学第一章三角函数1.2任意的三角函数1.2.1第1课时任意角的三角函

1、第 1 课时任意角的三角函数的定义学习目标：1借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.（重点、难 点）2.掌握任意角三角函数（正弦、余弦、正切）在各象限的符号.（易错点）3.掌握公式一一 并会应用.自主预习探新知1.单位圆在直角坐标系中，我们称以原点0为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.2任意角的三角函数的定义（1）条件在平面直角坐标系中， 设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x,y）,那么：结论1y叫做a的正弦，记作 sin_a，即卩 sina=y;2x叫做a的余弦，记作 cos_a，即卩 COSa=X；3丫叫做a的正切，记作 tana，即 tana=y（x丰0）.

2、xx（3）总结正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数.3.正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域三角函数定义域sinaRCOSaRtana1xCRx，kn+专，kCZ 4正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号（1）图示：3.252.口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.5.诱导公式一1.思考辨析(1)sina表示 sin 与a的乘积.()y设角a终边上的点P(x,y),r= |Op丰0,贝Usina=-，且y越大，sina的值越大.()(3)终边相同的角的同一三角函数值相等.()终边落在 y 轴上的角的正切函数值为0.()解

3、析(1)错误.sina表示角a的正弦值，是一个“整体”.(2)错误.由任意角的正弦函数的定义知，sina=y.但y变化时，sina是定值.正确.(4)错误.终边落在y轴上的角的正切函数值不存在.答案x(2)x(3)V(4)x2.已知 sina 0, cosa V0,则角a是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角B 由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角a是第二象限角.sina图 1-2-23.252.sin3n =sin325sinTn合作探究攻重难1三角函数的定义及应用探究问题1. 一般地，设角a终边上任意一点的坐标为(x,y),它与原点的距离为r,则 sina, c

4、osa, tana为何值？提示：sina=y,cosa=x,tana=yrrx2. sina, cosa, tana的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？提示：sina, cosa, tana的值只与a的终边位置有关，不随P点在终边上的位置的改变而改变.例 (1)已知角0的终边上有一点F(x,3)(x丰0)，且 cos0 =-0 x，则 sin0+ tan0的值为_.(2)已知角a的终边落在直线，3x+y= 0 上，求 sina, cosa, tana的值.思路探究依据余弦函数定义列方程求xT|依据正弦、正切函数定义求sin0+ tan0分类讨论求 sina, cosa, tanasin0

5、 +tan0=出严.故 coscosa =x=-23,sina +sina1,2，贝Ucosa+ sina的值为1a=y=2,(1)3T30或3 10301010_ x(1)因为 r =./x2+ 9, cos0=-,所以x=%2+ 9.又x工 0,所以x= 1,所以r=10.又y= 30，所以0是第一或第二象限角.3n00为第一象限角时，sin0= 10 ,tan0=3,则 sin0 +tan0=0为第二象限角时，sin0=3100,tan0 =3,判断角a的终边位置4.角a终边与单位圆相交于点由r= |OQ=12+22岳sina =- =,cos取52tana2.12.将本例 的条件“落在

6、直线3x+y= 0 上”改为“过点 R 3a,4a) (a*0)”，求2sina +cosa.解因为r= 3a2+la2=5|a| ,若a0,则r= 5a,角a在第二象限,规律方法由角a终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤:(1)已知角a的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种:先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应(2)直线 3x+y= 0,即y= 3x,经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(一 1,3)，贝Ur= .12+3 一2= 2，所以 sina =#,cos12，tana=-3;何在第四象限取直线上的点(1 , 3),所以sin母题探究

7、:2+,32=2,312,cosa =,tana = 3.1将本例(2)的条件“ 3x+y= 0”改为y=2x”其他条件不变，结果又如解当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1,2)，由r=|Op=12+ 22=22 515=,cosa =5555当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点5，得 sina，tan2 -=2.1Q-1, 2),22=5，得:1 並a=5 =歹，y4a4sina=厂晶=5，cosax 3ar5a35,所以 2sin83,a +cosa =一一一=1.55若a0).则 sina =, cosax=F 已知a的终边求a的三角函数时，用这几个公式更方便.(2)当角a

8、的终边上点的坐标以参数形式给出时， 一定注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论三角函数值符号的运用(1)已知点P(tana, cosa)在第四象限，则角a终边在(C.第三象限D.第四象限(2)判断下列各式的符号：sin 145 cos( 210 ): sin 3cos 4tan 5.思路探究(1)先判断 tana, cosa的符号，再判断角a终边在第几象限.先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号，最后判断乘积的符 号.bana0,(1) C (1)因为点 P 在第四象限，所以有由此可判断角a终边在第三cosa 0, 210= 360+ 150, 210是第二象限角,

9、 cos(210)v0,sin 145cos(210 )v0.%3n3nT V3V n , n V4v, -V5V2n ,2 2 2sin 30,cos 4V0,tan 5V0,sin 3cos 4tan 5 0.规律方法判断三角函数值在各象限符号的攻略：1 基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；2 关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；8 注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误.提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号.卜例A.第一象限【导学号：84352022】B.第二象限跟踪训练1._ 已知角a的终边过点(3a 9,a+ 2)且 cosa0,则实数a的取

10、值范 围是_.2va3因为 cosa 0,所以角a的终边在第二象限或y轴非负半轴上，因为a终边过(3a 9,a+ 2),3a9w0,所以七所以一 2va 0,aaa2.设角a是第三象限角，且_sin= sin，则角2 是第象限角.a四角a是第三象限角，则角-；2 是第二、四象限角，aa_ a口 十一十-sin 牙 =sin y，二角是第四象限角.求值:tan 405 sin 450 + cos 750解(1)原式=tan(360 + 45 ) sin(360 + 90 ) + cos(2x360+ 30)=tan 45 sin 90 + cos 30 1-1+# 呼(n n fn、( n 、2

11、n +3 cos |4n + +tan i4n+才cos j 4n + nnn=sin cos+tan cos364规律方法利用诱导公式一进行化简求值的步骤(1)定形：将已知的任意角写成2kn+a的形式，其中a 0,2n) ,k Z.(2)转化：根据诱导公式，转化为求角a的某个三角函数值.求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值.跟踪训练3.化简下列各式：2 2I舉厦自._诱导公式一的应用(2)sin+ tan15n13nWcosW原式=sinx_23227n亍0S23n6(1)asin( 1 350 ) +btan 405 2abcos( 1 080 );f 11n、12(2) sin

12、 +cos-5n tan 4n.【导学号：84352023】在第三象限或第一象限.4.在平面直角坐标系xOy中，角a与角3均以Ox为始边，它们的终边关于1，贝Usin3=5设角a的终边与单位圆相交于点P(x,y),2 2解(1)原式=asi n( 4X360+ 90) +bta n(360+ 45)2abcos(3X360)=a2sin 90 +b2tan 45 2abcos 0 2 2 2=a+b 2ab= (ab).(2)sin11 12?n +COs石ntan 4n=sin-tan 0 = sinn16+0=2.1.sin( 315 )的值是(A.C.2.A.C.当堂达标固双基1B2sin( 315 ) = sin( 360+ 45)=sin 45若 sin0cos00,贝 U0在(第一或第四象限第一或第二象限B.D.因为 sin0cos0 0,所以 sin0第一或第三象限第二或第四象限v0,cos0v0 或 sin0 0,cos0 03.已知角a终边过点 R11)，贝 U tana的值为(A.B.C.D.由三角函数定义知 tan1a= =1.x轴对称,LT *右 sina11由题意知y= s