(完整word版)高中数学导数知识点归纳总结,推荐文档

1、14.导数知识要点1.导数(导函数的简称)的定义：设X。是函数 y f(x)定义域的一点，如果自变量X在X。处 有增量 x，则函数值 y 也引起相应的增量 y f (x0 x) f(x0)；比值 丄 止_x) f(xo)称为函数 y 仁刈在点。到 X。x 之间的平均变化率；如果极限xXlim - limf(X0-X)_f (Xo)存在，则称函数 y f (x)在点x。处可导，并把这个极限叫做x 0 xx 0 xy f (x)在x0处的导数，记作f(x0)或y |xXQ，即f(x。)= limylimf-(X-X)_.X。xx。x注： X 是增量，我们也称为改变量”，因为 X 可正，可负，但不为

2、零.以知函数 y f(x)定义域为 A，y f(x)的定义域为 B，则 A 与 B 关系为 A B.2.函数 y函数 y 可以证明， 如果 事实上，令 xf (X)在点Xo处连续与点Xo处可导的关系：Xo处连续是 y f (x)在点Xo处可导的必要不充分条件 y f (x)点x0处连续.o.f (x)在点yxof(x)在点Xo处可导， 那么 X，则 XXo相当于是 lim f (x)X X。limX。f(x。x) lim f(xX。X。)f(x。)f(x。)叫如果 yf(X。X)f(x。)X f(x)点Xo处连续,f(x。)那么 y例:f(x)|x|在点 Xo。处连续,f(XoX) f(Xo)

3、lim lim f(Xo)xx o x of(x)在点Xo处可导，是不成立的.y ，当X X0。f(X。)o f(x。)f(x。).但在点 Xo。处不可导，因为X 。时,1 ；当 XV。时，一XX1，故 lim 不存在.X。X注：可导的奇函数函数其导函数为偶函数可导的偶函数函数其导函数为奇函数3.导数的几何意义：函数 y f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线y f(x)在点(x0,f(x)处的切线的斜率，也就是说，曲线 y f(x)在点 P (xo, f(x)处的切线的斜率是f(x。),切线方程为y yof (x)(x xo).4.求导数的四则运算法则:(u v)u vy fi(x)f2

4、(X) . fn(x) yfl(x)f2(X) . fp(x)(uv)1 1 1 1 1 1vu v u (cv) c v cv cv(c为常数)1u1 1vuv u2(v 0)vv注：u,v必须是可导函数.若两个函数可导， 则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如：设 f (x) 2sinx ， g(x) cosx，贝 U f (x), g(x)在 x 0 处均不可导，但它们和xxf(x) g(x)sinx cosx 在 x 0 处均可导.fx( (x) f(u)(x)或yxyuux复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形6.函数单调性：函

5、数单调性的判定方法：设函数 y f(x)在某个区间内可导，如果f(x)0,则 y f(x)为增函数；如果f(x)v0,贝 U y f (x)为减函数.常数的判定方法；如果函数 y f(x)在区间I内恒有f(x)=0，则 y f(x)为常数.注：f (x) 0 是 f (x)递增的充分条件，但不是必要条件，如y 2x3在(，)上并不是都有 f (x)0，有一个点例外即 x=0 时 f (x)= 0,同样 f(x) 0 是 f(x)递减的充分非必要条件.一般地，如果 f(x)在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正(或负)，那么f( x)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的7.极值的判别方法

6、：(极值是在X。附近所有的点，都有 f(x)vf(x),则 f(x)是函数 f(x) 的极大值，极小值同理)当函数 f (x)在点X0处连续时，如果在X0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)v0，那么 f(X0)是极大值；如果在X0附近的左侧f(x)v0,右侧f(x) 0，那么 f(X0)是极小值.5.复合函数的求导法则:也就是说X0是极值点的充分条件是X0点两侧导数异号，而不是f(x)=O此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不同)注： 若点X0是可导函数 f(x)的极值点，贝y f(x)=

7、0.但反过来不一定成立对于可导函 数，其一点X0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零例如：函数y f (x) x3, X 0 使f (x)=o,但 x 0 不是极值点.例如：函数 y f(x) |x|，在点 x 0 处不可导，但点 x 0 是函数的极小值点.8.极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进 行比较.注：函数的极值点一定有意义 .9.几种常见的函数导数：cosx1(arcsin x) -1I.C0 ( C 为常数)1(sin x)1 x2nJn 1 /、(x ) nx( n R)1(cos x)sin x(arccos x)1Jx2

8、1II. (In x)X1(logax)11(arctan x)1logae XX21x x(e ) eIII.求导的常见方法：常用结论：(ln |x|)1.X(ax)axl n a(arc cot x)1x212形如 y (x ai)(x a2).(x an)或 y(X ai)(Xa2a)两边同取自然对数，可转化(X bi)(x b2).(x bn)求代数和形式.3无理函数或形如y xX这类函数，如y xX取自然对数之后可变形为ln y xlnx，对两边求导可得yIn xx- yyl nx y yxXl nx xX.yx导数知识点总结复习经典例题剖析考点一：求导公式。13例 1.f (X)是

9、f(x)X32x 1的导函数，贝 yf ( 1)的值是_ 。3考点二：导数的几何意义。1例 2.已知函数y f(x)的图象在点M (1, f(1)处的切线方程是y -x 2，则ff (1)。例 3曲线y x32x24x 2在点(1, 3)处的切线方程是 _ 。点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。考点三：导数的几何意义的应用。例 4已知曲线 C:y x33x22x，直线l : y kx，且直线l与曲线 C 相切于点x0, y0 x00，求直线l的方程及切点坐标。点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该

10、点存在切线的充分条件，而不是 必要条件。考点四：函数的单调性。例 5已知fxax33x2x 1在 R 上是减函数，求a的取值范点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题，要有求导意识。考点五：函数的极值。例 6.设函数f (x) 2x33ax23bx 8c在x 1及x 2时取得极值。(1 )求 a、b 的值；(2)若对于任意的x 0,3，都有f (x) c2成立，求 c 的取值范围。点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数f x的极值步骤：1求导数f x；2求f x 0的根；将f x 0的根在数轴上标出，得出单调区间，由f x在各 考点区间上取值的正负可确定并求出函数f x的极值。六：函数的最值。例 7.已知a为实数，f xx24 x a。求导数fx; (2 )若f 10,求fx在区间2,2上的最大值和最小值。点评： 本题考查可导函数最值的求法。求可导函数f x在区间a,b上的最值， 要先求出函数f x在区间a,b上的极值， 然后与f a和f b进行比较， 从而得出函数的最大最小值。 考点七：导数的综合性问题。例 8. 设函数f(x) ax3b