2022届高三数学一轮复习（原卷版）第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 教案

1、1第八章第八章解析几何解析几何第一节第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程直线的倾斜角与斜率、直线的方程核心素养立意下的命题导向核心素养立意下的命题导向1.在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素，凸显直观想象的核心凸显直观想象的核心素养素养2理解直线的倾斜角和斜率的概念理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式掌握过两点的直线斜率的计算公式，凸显数学运算的凸显数学运算的核心素养核心素养3掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式点

2、斜式、两点式及一般式)，了解，了解斜截式与一次函数的关系，凸显数学抽象的核心素养斜截式与一次函数的关系，凸显数学抽象的核心素养理清主干知识理清主干知识1直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角直线的倾斜角直线的斜率直线的斜率定定义义当直线当直线 l 与与 x 轴相交时，我们取轴相交时，我们取 x 轴轴作为基准作为基准， x 轴正向与直线轴正向与直线 l 向上向上方向方向之间所成的角之间所成的角叫做直线叫做直线 l 的的倾斜倾斜角角当直线当直线 l 与与 x 轴平行或重合时，轴平行或重合时，规定它的倾斜角为规定它的倾斜角为 0当直线当直线 l 的倾斜角的倾斜角2时，其倾斜角时，其倾斜角的

3、正切值的正切值 tan 叫做这条直线的斜率叫做这条直线的斜率， 斜斜率通常用小写字率通常用小写字母母 k 表示表示， 即即 ktan_；经过两点经过两点 p1(x1，y1)，p2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为的直线的斜率公式为 kp1p2y2y1x2x1区区别别直线直线 l 垂直于垂直于 x 轴时轴时， 直线直线 l 的倾斜角的倾斜角是是 90；倾斜角的取值范围为；倾斜角的取值范围为0，)直线直线 l 垂直于垂直于 x 轴时轴时， 直线直线 l 的斜率的斜率不存不存在在；斜率；斜率 k 的取值范围为的取值范围为 r联联系系(1)当直线不垂直于当直线不垂直于 x 轴时，直线的斜率和

4、直线的倾斜角为一一对应关系；轴时，直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系；(2)当直线当直线 l 的倾斜角的倾斜角0，2 时时，越大越大，直线直线 l 的斜率越大的斜率越大；当当2，时时，越大，直线越大，直线 l 的斜率越大的斜率越大22直线方程的五种形式直线方程的五种形式形式形式几何条件几何条件方程方程适用范围适用范围点斜式点斜式过一点过一点(x0，y0)，斜率，斜率 kyy0k(xx0)与与 x 轴不垂直的直线轴不垂直的直线斜截式斜截式纵截距纵截距 b，斜率，斜率 kykxb与与 x 轴不垂直的直线轴不垂直的直线两点式两点式过两点过两点(x1，y1)，(x2，y2)yy1y2y1xx1x2

5、x1与与 x 轴、轴、y 轴均不垂直的轴均不垂直的直线直线截距式截距式横截距横截距 a，纵截距，纵截距 bxayb1不含垂直于坐标轴和过不含垂直于坐标轴和过原点的直线原点的直线一般式一般式axbyc0，a2b20平面直角坐标系内所有平面直角坐标系内所有直线直线澄清盲点误点澄清盲点误点一、关键点练明一、关键点练明1(求倾斜角求倾斜角)直线直线3xya0 的倾斜角为的倾斜角为()a.6b.3c.56d.23答案答案：b2(点斜式方程点斜式方程)经过点经过点 p0(2，3)，倾斜角为，倾斜角为 45的直线方程为的直线方程为()axy10bxy10cxy50dxy50解析：解析：选选 d由点斜式得直线

6、方程为由点斜式得直线方程为 y(3)tan 45(x2)x2，即，即 xy50.3(斜截式方程斜截式方程)倾斜角为倾斜角为 135，在，在 y 轴上的截距为轴上的截距为1 的直线方程是的直线方程是()axy10bxy10cxy10dxy10答案答案：d4(直线的斜率直线的斜率)过点过点 m(1，m)，n(m1,4)的直线的斜率等于的直线的斜率等于 1，则，则 m 的值为的值为_答案：答案：1二、易错点练清二、易错点练清1(忽视倾斜角的范围忽视倾斜角的范围)直线直线 x(a21)y10 的倾斜角的取值范围是的倾斜角的取值范围是()a.0，4b.34，c.0，4 2，d.4，2 34，解析解析：选

7、选 b由直线方程可得该直线的斜率为由直线方程可得该直线的斜率为1a21，又又11a210，所以倾斜角的所以倾斜角的3取值范围是取值范围是34，.2(忽视斜率公式中忽视斜率公式中 x1x2)已知经过两点已知经过两点 a(m22，m23)，b(3mm2，2m)的直线的直线 l 的的倾斜角为倾斜角为 135，则，则 m 的值为的值为_答案：答案：433(忽视截距为忽视截距为 0 的情况的情况)过点过点 m(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为_解析：解析：若直线过原点，则若直线过原点，则 k43，所以所以 y43x，即，即 4x3y0.若直线不过原

8、点设若直线不过原点设xaya1，即，即 xya.则则 a3(4)1，所以直线的方程为，所以直线的方程为 xy10.答案：答案：4x3y0 或或 xy10考点一考点一直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率典例典例(1)直线直线 2xcos y30 6，3的倾斜角的取值范围是的倾斜角的取值范围是()a.6，3b.4，3c.4，2d.4，23(2)(2021 年年 1 月新高考八省联考卷月新高考八省联考卷)若正方形一条对角线所在直线的斜率为若正方形一条对角线所在直线的斜率为 2， 则该正方形的则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为两条邻边所在直线的斜率分别为_，_.解析解析(1)直线直线 2xcos

9、 y30 的斜率的斜率 k2cos ，因为因为6，3 ，所以，所以12cos 32，因此因此 k2cos 1， 3 设直线的倾斜角为设直线的倾斜角为，则有，则有 tan 1， 3 又又0，)，所以，所以4，3 ，即倾斜角的取值范围是即倾斜角的取值范围是4，3 .(2)设一条边所在直线的倾斜角为设一条边所在直线的倾斜角为，由由 tan4 2，解得解得 tan 13，所以正方形两条邻边所以正方形两条邻边4所在直线的斜率分别为所在直线的斜率分别为13，3.答案答案(1)b(2)133方法技巧方法技巧1求倾斜角的取值范围的一般步骤求倾斜角的取值范围的一般步骤(1)求出斜率求出斜率 ktan 的取值范围

10、的取值范围(2)利用三角函数的单调性利用三角函数的单调性，借助图象借助图象，确定倾斜角确定倾斜角的取值范围的取值范围求倾斜角时要注意斜率是求倾斜角时要注意斜率是否存在否存在2斜率取值范围的斜率取值范围的 2 种求法种求法数形数形结合法结合法作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定单调性确定函数函数图象法图象法根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可针对训练针对训练1(2021湖南八校联考湖南八校联考)“a1 或或a0，解得，解得 a0.a1

11、是直线是直线 axy10 的倾斜角大于的倾斜角大于4的充分不必要条件的充分不必要条件2(多选多选)如图，直线如图，直线 l1，l2，l3的斜率分别为的斜率分别为 k1，k2，k3，倾斜角分别为，倾斜角分别为1，2，3，则下列选项正确的是，则下列选项正确的是()ak1k3k2bk3k2k1c132d32k30，k1230，且，且1为钝角，故选为钝角，故选 a、d.考点二考点二求直线的方程求直线的方程典例典例求适合下列条件的直线方程：求适合下列条件的直线方程：5(1)经过点经过点 p(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点经过点 a(1，3)，倾斜角等于直线，

12、倾斜角等于直线 y3x 的倾斜角的的倾斜角的 2 倍；倍；(3)经过点经过点 b(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形解解(1)设直线设直线 l 在在 x 轴，轴，y 轴上的截距均为轴上的截距均为 a，若若 a0，即，即 l 过点过点(0,0)和和(4,1)，所以所以 l 的方程为的方程为 y14x，即，即 x4y0.若若 a0，设，设 l 的方程为的方程为xaya1，因为因为 l 过点过点(4,1)，所以，所以4a1a1，所以所以 a5，所以，所以 l 的方程为的方程为 xy50.综上可知，所求直线的方程为综上可知，所求直线的方程为 x4y0 或或

13、 xy50.(2)由已知设直线由已知设直线 y3x 的倾斜角为的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为 2.因为因为 tan 3，所以，所以 tan 22tan 1tan234.又直线经过点又直线经过点 a(1，3)，因此所求直线方程为因此所求直线方程为 y334(x1)，即即 3x4y150.(3)由题意可知，所求直线的斜率为由题意可知，所求直线的斜率为1.又过点又过点(3,4)，由点斜式得，由点斜式得 y4(x3)故所求直线的方程为故所求直线的方程为 xy10 或或 xy70.方法技巧方法技巧求解直线方程的求解直线方程的 2 种方法种方法直接法直接法根据已知条件根据已知条件，

14、选择适当的直线方程形式选择适当的直线方程形式，直接写出直直接写出直线方程线方程待定待定系数法系数法设所求直线方程的某种形式；设所求直线方程的某种形式；由条件建立所求参数的方程由条件建立所求参数的方程(组组)；解这个方程解这个方程(组组)求出参数；求出参数；把参数的值代入所设直线方程把参数的值代入所设直线方程针对训练针对训练1一条直线经过点一条直线经过点 a(2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 1，求此直线的方程求此直线的方程解：解：设所求直线的方程为设所求直线的方程为xayb1.a(2,2)在直线上，在直线上，2a2b1.6又又直线与坐标轴围成的三角

15、形面积为直线与坐标轴围成的三角形面积为 1，12|a|b|1.由由可得可得(1)ab1，ab2或或(2)ab1，ab2.由由(1)解得解得a2，b1或或a1，b2.方程组方程组(2)无解无解故所求的直线方程为故所求的直线方程为x2y11 或或x1y21，即，即 x2y20 或或 2xy20 为所求直线为所求直线的方程的方程2已知已知abc 的三个顶点分别为的三个顶点分别为 a(3,0)，b(2,1)，c(2,3)，求：，求：(1)bc 边所在直线的方程；边所在直线的方程；(2)bc 边上中线边上中线 ad 所在直线的方程；所在直线的方程；(3)bc 边的垂直平分线边的垂直平分线 de 的方程的

16、方程解：解：(1)因为直线因为直线 bc 经过经过 b(2,1)和和 c(2,3)两点，两点，由两点式得由两点式得 bc 的方程为的方程为y131x222，即，即 x2y40.(2)设设 bc 边的中点边的中点 d 的坐标为的坐标为(x，y)，则则 x2220，y1322.bc 边的中线边的中线 ad 过过 a(3,0)，d(0,2)两点，两点，由截距式得由截距式得 ad 所在直线方程为所在直线方程为x3y21，即即 2x3y60.(3)由由(1)知直线知直线 bc 的斜率的斜率 k112，则直线则直线 bc 的垂直平分线的垂直平分线 de 的斜率的斜率 k22.由由(2)知点知点 d 的坐标

17、为的坐标为(0,2)可求出直线的点斜式方程为可求出直线的点斜式方程为 y22(x0)，即即 2xy20.考点三考点三直线方程的综合应用直线方程的综合应用典例典例直线直线 l 过点过点 p(1,4)，分别交，分别交 x 轴的正半轴和轴的正半轴和 y 轴的正半轴于轴的正半轴于 a，b 两点，两点，o 为坐标为坐标原点，当原点，当|oa|ob|最小时，求最小时，求 l 的方程的方程解解法一：法一：依题意，依题意，l 的斜率存在，且斜率为负，的斜率存在，且斜率为负，设直线设直线 l 的斜率为的斜率为 k，则直线则直线 l 的方程为的方程为 y4k(x1)(k0)7令令 y0，可得，可得 a14k，0；

18、令令 x0，可得，可得 b(0,4k)|oa|ob|14k (4k)5k4k5k4k 549.当且仅当当且仅当k4k且且 k0，b0)，则直线，则直线 l 的方的方程为程为xayb1.直线直线 l 过点过点 p(1,4)，1a4b1，|oa|ob|ab(ab)1a4b5ba4ab52ba4ab9，当且仅当当且仅当ba4ab，即，即a3，b6时时“”成立成立|oa|ob|取最小值，此时取最小值，此时 l 的方程为的方程为x3y61，即，即 2xy60.方法技巧方法技巧与直线方程有关问题的常见类型及解题策略与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题先设出直线方程，建立

19、目标函数，再利用基本不等式求解与直线方程有关的最值问题先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值求解最值(2)求直线方程弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程求直线方程弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程(3)求参数值或范围注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性求参数值或范围注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解或基本不等式求解针对训练针对训练已知直线已知直线 l：kxy12k0(kr)(1)证明：直线证明：直线 l 过定点；过定点；(2)若直线不经过第四象限，求若直线不经过第

20、四象限，求 k 的取值范围；的取值范围；(3)若直线若直线 l 交交 x 轴负半轴于轴负半轴于 a，交交 y 轴正半轴于轴正半轴于 b，aob 的面积为的面积为 s(o 为坐标原点为坐标原点)，求求s 的最小值并求此时直线的最小值并求此时直线 l 的方程的方程8解：解：(1)证明：直线证明：直线 l 的方程可化为的方程可化为 k(x2)(1y)0，令令x20，1y0，解得解得x2，y1.无论无论 k 取何值，直线总经过定点取何值，直线总经过定点(2,1)(2)由方程知由方程知，当当 k0 时直线在时直线在 x 轴上的截距为轴上的截距为12kk，在在 y 轴上的截距为轴上的截距为 12k，要使直

21、要使直线不经过第四象限，则必须有线不经过第四象限，则必须有12kk2，12k1，解得解得 k0；当当 k0 时，直线为时，直线为 y1，符合题意，符合题意，故故 k 的取值范围是的取值范围是0，)(3)由题意可知由题意可知 k0，再由，再由 l 的方程，的方程，得得 a12kk，0，b(0,12k)依题意得依题意得12kk0，12k0，解得解得 k0.s12|oa|ob|12|12kk|12k|12 12k 2k124k1k412(224)4，“”成立的条件是成立的条件是 k0 且且 4k1k，即，即 k12，smin4，此时直线，此时直线 l 的方程为的方程为 x2y40.创新思维角度创新思

22、维角度融会贯通学妙法融会贯通学妙法妙用直线的斜率解题妙用直线的斜率解题应用应用(一一)比较大小比较大小例例 1已 知函 数已 知函 数 f(x) log2(x 1)， 且， 且 abc0， 则， 则f a a，f b b，f c c的 大小 关系 为的 大小 关系 为_解析解析作出函数作出函数 f(x)log2(x1)的大致图象，如图所示，可知当的大致图象，如图所示，可知当 x0时，曲线上各点与原点连线的斜率随时，曲线上各点与原点连线的斜率随 x 的增大而减小，因为的增大而减小，因为 abc0，所以所以f a af b bf c c.9答案答案f a af b bf c c名师微点名师微点有关

23、有关f x x的式子比较大小时，一般数形结合利用直线的斜率解题的式子比较大小时，一般数形结合利用直线的斜率解题应用应用(二二)求解点共线问题求解点共线问题例例 2已知已知 a(1,1)，b(3,5)，c(a,7)，d(1，b)四点共线，则四点共线，则 a_，b_.解析解析因为因为 a，b，c，d 四点共线四点共线，所以直线所以直线 ab，ac，ad 的斜率相等的斜率相等，又因为又因为 kab2，kac71a1，kadb111，所以，所以 26a1b12.所以所以 a4，b3.答案答案43名师微点名师微点若直线若直线 ab，ac 的斜率相等，则的斜率相等，则 a，b，c 三点共线，反过来，若三点

24、共线，反过来，若 a，b，c 三点共线，则三点共线，则直线直线 ab，ac 的斜率相等或都不存在的斜率相等或都不存在应用应用(三三)求参数的取值范围求参数的取值范围例例 3已知线段已知线段 pq 两端点的坐标分别为两端点的坐标分别为 p(1,1)和和 q(2,2)，若直线若直线 l：xmym0 与线与线段段 pq 有交点，求实数有交点，求实数 m 的取值范围的取值范围解解如图所示，直线如图所示，直线 l：xmym0 过定点过定点 a(0，1)，当，当 m0时时， kqa32，kpa2， kl1m.结合图象知结合图象知，若直线若直线 l 与与 pq 有交点有交点，应满足应满足1m2 或或1m32

25、.解得解得 0m12或或23m0；当；当 m0 时时，直线直线 l 的方程为的方程为 x0，与线段，与线段 pq 有交点所以实数有交点所以实数 m 的取值范围的取值范围为为23，12 .名师微点名师微点当直线绕定点旋转时，若倾斜角为锐角，逆时针旋转，倾斜角越来越大，斜率越来越大，当直线绕定点旋转时，若倾斜角为锐角，逆时针旋转，倾斜角越来越大，斜率越来越大，顺时针旋转，倾斜角越来越小，斜率越来越小；若倾斜角为钝角，也具有同样的规律但顺时针旋转，倾斜角越来越小，斜率越来越小；若倾斜角为钝角，也具有同样的规律但倾斜角是锐角或钝角不确定时，逆时针旋转，倾斜角越来越大，但斜率并不一定随倾斜角倾斜角是锐角

26、或钝角不确定时，逆时针旋转，倾斜角越来越大，但斜率并不一定随倾斜角的增大而增大的增大而增大应用应用(四四)求函数的最值求函数的最值例例 4已知实数已知实数 x，y 满足满足 yx22x2(1x1)，试求，试求y3x2的最大值和最小值的最大值和最小值解解如图如图， 作出作出 yx22x2(1x1)的图象的图象(曲线段曲线段 ab)， 则则y3x2表表示定点示定点 p(2， 3)和曲线段和曲线段 ab 上任一点上任一点(x， y)的连线的斜率的连线的斜率 k， 连接连接 pa，10pb，则，则 kpakkpb.易得易得 a(1,1)，b(1,5)，所以所以 kpa1 3 1 2 43，kpb5 3

27、 1 2 8，所以所以43k8，故，故y3x2的最大值是的最大值是 8，最小值是，最小值是43.名师微点名师微点巧妙利用斜率公式，借助数形结合思想直观求解，能收到事半功倍的效果，此题还可利用巧妙利用斜率公式，借助数形结合思想直观求解，能收到事半功倍的效果，此题还可利用代数的方法求解代数的方法求解应用应用(五五)证明不等式证明不等式例例 5已知已知 0a0.求证：求证：apbpab.证明证明设设 a(b，a)，因为，因为 0a0，所以设点，所以设点 p(p，p)在第三象限，且在直线在第三象限，且在直线 yx 上上因为因为 koaab，kpaapbp，由图可知，由图可知 kpakoa，所以所以ap

28、bpab.名师微点名师微点观察不等式的两边，都可构造与斜率公式类似的结构观察不等式的两边，都可构造与斜率公式类似的结构.apbpa p b p 的几何意义就是点的几何意义就是点(b，a)与点与点(p，p)的连线的斜率，的连线的斜率，ab可看成可看成(b，a)与原点与原点 o(0,0)的连线的斜率的连线的斜率课时跟踪检测课时跟踪检测一、基础练一、基础练练手感熟练度练手感熟练度1直线直线 l 的方程为的方程为3x3y10，则直线，则直线 l 的倾斜角为的倾斜角为()a150b120c60d30解析：解析：选选 a由直线由直线 l 的方程为的方程为3x3y10 可得直线可得直线 l 的斜率为的斜率为

29、 k33，设直线，设直线 l 的的11倾斜角为倾斜角为(0180)，则，则 tan 33，所以，所以150.故选故选 a.2过点过点 a(0,2)且倾斜角的正弦值是且倾斜角的正弦值是35的直线方程为的直线方程为()a3x5y100b3x4y80c3x4y100d3x4y80 或或 3x4y80解析：解析：选选 d设所求直线的倾斜角为设所求直线的倾斜角为，则，则 sin 35，tan 34，所求直线方程为所求直线方程为 y34x2，即为，即为 3x4y80 或或 3x4y80.故选故选 d.3 在同一平面直角坐标系中在同一平面直角坐标系中， 直线直线 l1： axyb0 和直线和直线 l2：bx

30、ya0 有可能是有可能是()解析解析： 选选 b由题意由题意 l1： yaxb， l2： ybxa， 当当 a0， b0 时时， a0，b0.选项选项 b 符合符合4已知直线已知直线 l 的斜率为的斜率为 3，在，在 y 轴上的截距为另一条直线轴上的截距为另一条直线 x2y40 的斜率的倒数，则的斜率的倒数，则直线直线 l 的方程为的方程为()ay 3x2by 3x2cy 3x12dy 3x2解析：解析：选选 a直线直线 x2y40 的斜率为的斜率为12，直线直线 l 在在 y 轴上的截距为轴上的截距为 2，直线直线 l 的方程为的方程为 y 3x2，故选，故选 a.5已知直线已知直线 l 经

31、过经过 a(2,1)，b(1，m2)两点两点(mr)，那么直线那么直线 l 的倾斜角的取值范围是的倾斜角的取值范围是()a0，)b.0，4 2，c.0，4d.4，2 2，解析：解析：选选 b直线直线 l 的斜率的斜率 k1m2211m2，因为，因为 mr，所以，所以 k(，1，所以直线，所以直线12的倾斜角的取值范围是的倾斜角的取值范围是0，4 2，.6已知已知 e 是自然对数的底数，函数是自然对数的底数，函数 f(x)(x1)ex3e 的图象在点的图象在点(1，f(1)处的切线为处的切线为 l，则直线则直线 l 的横截距为的横截距为_解析：解析：因为因为 f(x)ex(x1)exxex，所以

32、切线，所以切线 l 的斜率为的斜率为 f(1)e，由，由 f(1)3e 知切点知切点坐标为坐标为(1,3e)，所以切线，所以切线 l 的方程为的方程为 y3ee(x1)令令 y0，解得，解得 x2，故直线，故直线 l 的横的横截距为截距为2.答案：答案：2二、综合练二、综合练练思维敏锐度练思维敏锐度1已知三点已知三点 a(2，3)，b(4,3)，c5，k2 在同一条直线上，则在同一条直线上，则 k 的值为的值为()a12b9c12d9 或或 12解析：解析：选选 a由由 kabkac，得，得3 3 42k2 3 52，解得解得 k12.故选故选 a.2若直线若直线 l 与直线与直线 y1，x7

33、 分别交于点分别交于点 p，q，且线段且线段 pq 的中点坐标为的中点坐标为(1，1)，则直则直线线 l 的斜率为的斜率为()a.13b13c32d.23解析解析：选选 b依题意依题意，设点设点 p(a,1)，q(7，b)，则有则有a72，b12，解得解得a5，b3，从而可从而可知直线知直线 l 的斜率为的斜率为317513.故选故选 b.3过点过点(2,1)且倾斜角比直线且倾斜角比直线 yx1 的倾斜角小的倾斜角小4的直线方程是的直线方程是()ax2by1cx1dy2解析解析：选选 a直线直线 yx1 的斜率为的斜率为1，则倾斜角为则倾斜角为34，依题意依题意，所求直线的倾斜角所求直线的倾斜

34、角为为3442，斜率不存在，斜率不存在，过点过点(2,1)的直线方程为的直线方程为 x2.4若若 k，1，b 三个数成等差数列，则直线三个数成等差数列，则直线 ykxb 必经过定点必经过定点()a(1，2)b(1,2)c(1,2)d(1，2)13解析解析：选选 a因为因为 k，1，b 三个数成等差数列三个数成等差数列，所以所以 kb2，即即 b2k，于是直于是直线方程化为线方程化为 ykxk2，即，即 y2k(x1)，故直线必过定点，故直线必过定点(1，2)5数学家欧拉在数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位

35、于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半这条直线被后人称为三角形的欧拉线已知重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半这条直线被后人称为三角形的欧拉线已知abc 的顶点的顶点 a(2,0)，b(0,4)，且，且 acbc，则，则abc 的欧拉线的方程为的欧拉线的方程为()ax2y30b2xy30cx2y30d2xy30解析：解析：选选 c因为因为 acbc，所以欧拉线为，所以欧拉线为 ab 的中垂线，又的中垂线，又 a(2,0)，b(0,4)，故，故 ab 的中的中点为点为(1,2)，kab2，故，故 ab 的中垂线方程为的中垂线方程为 y212(x1)，即，即 x2y30，故选，故

36、选 c.6直线直线 l 经过点经过点 a(1,2)，在，在 x 轴上的截距的取值范围是轴上的截距的取值范围是(3,3)，则其斜率，则其斜率 k 的取值范围是的取值范围是()a.1，15b.1，12c(，1)15，d(，1)12，解析：解析：选选 d设直线的斜率为设直线的斜率为 k，则直线方程为，则直线方程为 y2k(x1)，直线在，直线在 x 轴上的截距为轴上的截距为 12k.令令312k3，解不等式得，解不等式得 k1 或或 k12.7若直线若直线 x2yb0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于 1，那么，那么 b 的取值范围是的取值范围是()a2,2b

37、(，22，)c2,0)(0,2d(，)解析：解析：选选 c令令 x0，得，得 yb2，令，令 y0，得，得 xb，所以所求三角形面积为所以所求三角形面积为12|b2|b|14b2，且，且 b0，因为因为14b21，所以，所以 b24，所以，所以 b 的取值范围是的取值范围是2,0)(0,28(多选多选)已知直线已知直线 l：mxy10，a(1,0)，b(3,1)，则下列结论正确的是，则下列结论正确的是()a直线直线 l 恒过定点恒过定点(0,1)b当当 m0 时，直线时，直线 l 的斜率不存在的斜率不存在c当当 m1 时，直线时，直线 l 的倾斜角为的倾斜角为3414d当当 m2 时，直线时，

38、直线 l 与直线与直线 ab 垂直垂直解析解析： 选选 cd直线直线 l： mxy10， 故故 x0 时时， y1， 故直线故直线 l 恒过定点恒过定点(0，1)，选项，选项 a 错误；错误；当当 m0 时，直线时，直线 l：y10，斜率，斜率 k0，故选项，故选项 b 错误；错误；当当 m1 时，直线时，直线 l：xy10，斜率，斜率 k1，故倾斜角为，故倾斜角为34，选项，选项 c 正确；正确；当当 m2 时，直线时，直线 l：2xy10，斜率，斜率 k2，kab103112，故，故 kkab1，故直线，故直线 l与直线与直线 ab 垂直，选项垂直，选项 d 正确正确9设点设点 a(2,3

39、)，b(3,2)，若直线，若直线 axy20 与线段与线段 ab 没有交点，则没有交点，则 a 的取值范围是的取值范围是()a.，52 43，b.43，52c.52，43d.，43 52，解析：解析：选选 b易知直线易知直线 axy20 恒过点恒过点 m(0，2)，且斜率为，且斜率为a.因为因为 kma3 2 2052，kmb2 2 3043，由图可知由图可知a52且且a43，所以，所以 a43，52 .10(2021河北七校联考河北七校联考)直线直线(a1)xya30(a1)，当此直线在，当此直线在 x，y 轴上的截距和轴上的截距和最小时，实数最小时，实数 a 的值是的值是()a1b. 2c2d3解析解析：选：选 d当当 x0 时，时，ya3，当，当 y0 时，时，xa3a1，令令 ta3a3a15(a1)4a1.因为因为 a1，所以，所以 a10.所以所以 t52 a1 4 a1 9.15当且仅当当且仅当 a14a1，即即 a3 时，等号成立时，等号成立11 过 点 过 点(2，4)且 在 两 坐 标 轴 上 的 截 距 互 为 相 反 数 的 直 线 的 一 般 方 程 为且 在 两