2022届高三数学一轮复习（原卷版）第1讲　高效演练分层突破 (5)

1、基础题组练1倾斜角为 120，在 x 轴上的截距为1 的直线方程是()a 3xy10b 3xy 30c 3xy 30d 3xy 30解析：选 d由于倾斜角为 120，故斜率 k 3.又直线过点(1，0)，所以方程为 y 3(x1)，即3xy 30.2直线 axbyc0 同时要经过第一、第二、第四象限，则 a，b，c 应满足()aab0，bc0bab0，bc0cab0，bc0dab0，bc0解析：选 a由于直线 axbyc0 经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为 yabxcb.易知ab0 且cb0，故 ab0，bc0.3 (多选)过点 a(1， 2)的直线在两坐标轴上的截距之和为

2、零， 则该直线方程可能为()axy10bxy30c2xy0dxy10解析：选 ac当直线过原点时，可得斜率为20102，故直线方程为 y2x，即 2xy0.当直线不过原点时，设直线方程为xaya1，代入点(1，2)，可得1a2a1，解得 a1，所以直线方程为 xy10，故所求直线方程为 2xy0 或 xy10.故选 ac4直线 x2yb0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于 1，那么 b 的取值范围是()a2，2b(，22，)c2，0)(0，2d(，)解析：选 c令 x0，得 yb2，令 y0，得 xb，所以所求三角形的面积为12|b2|b|14b2，且 b0，14b21，所以 b24，所以

3、 b 的取值范围是2，0)(0，25在等腰三角形 mon 中，momn，点 o(0，0)，m(1，3)，点 n 在 x 轴的负半轴上，则直线 mn 的方程为()a3xy60b3xy60c3xy60d3xy60解析：选 c因为 momn，所以直线 mn 的斜率与直线 mo 的斜率互为相反数，所以 kmnkmo3，所以直线 mn 的方程为 y33(x1)，即 3xy60，选 c6已知三角形的三个顶点 a(5，0)，b(3，3)，c(0，2)，则 bc 边上中线所在的直线方程为_解析：bc 的中点坐标为32，12 ，所以 bc 边上中线所在直线方程为y0120 x5325，即 x13y50.答案：x

4、13y507直线 l 过原点且平分abcd 的面积，若平行四边形的两个顶点为 b(1，4)，d(5，0)，则直线 l 的方程为_解析：直线 l 平分abcd 的面积，则直线 l 过 bd 的中点(3，2)，则直线 l：y23x.答案：y23x8 设点a(1， 0)， b(1， 0)， 直线2xyb0与线段ab相交， 则b的取值范围是_解析：b 为直线 y2xb 在 y 轴上的截距，如图，当直线 y2xb 过点 a(1，0)和点 b(1，0)时，b 分别取得最小值和最大值所以 b 的取值范围是2，2答案：2，29已知abc 的三个顶点分别为 a(3，0)，b(2，1)，c(2，3)，求：(1)b

5、c 边所在直线的方程；(2)bc 边的垂直平分线 de 的方程解：(1)因为直线 bc 经过 b(2，1)和 c(2，3)两点，所以 bc 的方程为y131x222，即 x2y40.(2)由(1)知，直线 bc 的斜率 k112，则直线 bc 的垂直平分线 de 的斜率 k22.因为 bc 边的垂直平分线 de 经过 bc 的中点(0，2)，所以所求直线方程为 y22(x0)，即 2xy20.10已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3，分别求满足下列条件的直线 l 的方程：(1)过定点 a(3，4)；(2)斜率为16.解：(1)设直线 l 的方程为 yk(x3)4，它在 x 轴，y

6、轴上的截距分别是4k3，3k4，由已知，得(3k4)4k36，解得 k123或 k283.故直线 l 的方程为 2x3y60 或 8x3y120.(2)设直线 l 在 y 轴上的截距为 b，则直线 l 的方程是 y16xb，它在 x 轴上的截距是6b，由已知，得|6bb|6，所以 b1.所以直线 l 的方程为 x6y60 或 x6y60.综合题组练1直线 l 经过点 a(1，2)，在 x 轴上的截距的取值范围是(3，3)，则其斜率的取值范围是()a1k15bk1 或 k12ck15或 k1dk12或 k1解析：选 d设直线的斜率为 k，则直线方程为 y2k(x1)，令 y0，得直线 l 在 x

7、轴上的截距为 12k，则312k3，解得 k12或 k1.2若直线 l：kxy24k0(kr)交 x 轴负半轴于点 a，交 y 轴正半轴于点 b，则当aob 的面积取最小值时直线 l 的方程为()ax2y40bx2y80c2xy40d2xy80解析：选 b由 l 的方程，得 a24kk，0，b(0，24k)依题意得24kk0，24k0，解得 k0.因为 s12|oa| |ob|12|24kk|24k|12(24k)2k1216k4k1612(2816)16，当且仅当 16k4k，即 k12时等号成立此时 l 的方程为 x2y80.3.已知实数 x， y 满足 yx22x2(1x1)， 则y3x

8、2的最大值为_，最小值为_解析： 如图， 作出 yx22x2(1x1)的图象(曲线段 ab)， 则y3x2表示定点 p(2，3)和曲线段 ab 上任一点(x，y)的连线的斜率 k，连接 pa，pb，则 kpakkpb.易得 a(1，1)，b(1，5)，所以 kpa1(3)1(2)43，kpb5(3)1(2)8，所以43k8，故y3x2的最大值是 8，最小值是43.答案：8434已知直线 l：xmy 3m0 上存在点 m 满足与两点 a(1，0)，b(1，0)连线的斜率 kma与 kmb之积为 3，则实数 m 的取值范围是_解析：设 m(x，y)，由 kmakmb3，得yx1yx13，即 y23

9、x23.联立xmy 3m0，y23x23，得1m23x22 3mx60.要使直线 l：xmy 3m0 上存在点 m 满足与两点 a(1，0)，b(1，0)连线的斜率kma与 kmb之积为 3，则2 3m2241m230，即 m216.所以实数 m 的取值范围是，66 66，.答案：，66 66，5已知直线 l 过点(2，1)，且在 x，y 轴上的截距相等(1)求直线 l 的一般方程；(2)若直线 l 在 x，y 轴上的截距不为 0，点 p(a，b)在直线 l 上，求 3a3b的最小值解：(1)截距为 0 时，k102012，所以 l：y12x，即 x2y0；截距不为 0 时，设直线方程为xty

10、t1，将(2，1)代入，计算得 t3，则直线方程为 xy30.综上，直线 l 的方程为 x2y0 或 xy30.(2)由题意得 l 的方程为 xy30，因为点 p(a，b)在直线 l 上，所以 ab3，所以 3a3b2 3a3b2 3ab6 3，当且仅当 ab32时等号成立，所以 3a3b的最小值是 6 3.6(综合型)为了绿化城市，拟在矩形区域 abcd 内建一个矩形草坪(如图)，另外efa内部有一文物保护区不能占用，经测量 ab100 m，bc80 m，ae30 m，af20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？解：如图所示，建立平面直角坐标系，则 e(30，0)，f(0，20)，所以直线 ef 的方程为x30y201(0 x30)易知当矩形草坪的一个顶点在 ef 上时，可取最大值，在线段 ef 上取点 p(m，n)，作 pqbc 于点 q，prcd 于点 r，设矩形 pqcr 的面积为 s，则 s|pq|