二次函数与圆综合(压轴题+例题+巩固+答案)

1、y =_Lx2+bx牟过点 A 和 B ,与 y轴交于点 C .6 求点 C 的坐标，并画出抛物线的大致图象.19点 Q (8 , m )在抛物线 归 x c，点 P 为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ +PB 最小值.CE 是过点 C 的 OM 的切线，点【巩固】已知抛物线 y +bx +c 与 y轴的交点为C,顶点为 M ,直线 CM 的解析式y=-x-&并且线段 CM 的长为 22(1)求抛物线的解析式。(2)设抛物线与 x 轴有两个交点 A (X 1 , 0)、B ( X 2，0),且点 A在 B 的左侧，求线段 AB 的长。(3)若以 AB 为直径作 ON，请你判断直线 CM

2、 与 ON 的位置关系，并说明理由。E是切点，求 0E所在直线的解析式.【例 2】如图，在平面直角坐标系中，以点 C （0 , 4）为圆心，半径为 4 的圆交 y轴正半轴于提示：（1）先求出1F1时，AP和0Q的长，即可求得Pi, QI的坐标，然后用待定系数法即可得出抛物线 的解析式.进而可求出对称轴1的解析式.（2）当直线PQ与圆C相切时，连接CP, CQ贝IJ有RtACMP sRtAQMC（M为PG与圆的切点），因此可设当Ga秒时，PQ与圆相切，然后用a表不出AP , 0Q的长即PM , Q M的长（切线长定理）由 此可求出a的值.|（3 ）本题的关键是确定N的位置，先找出与P点关于直线1

3、对称的点P的坐标，连接P Q，那么P Q与 直线1的交点即为所求的N点，可先求出直线P Q的解析式，进而可求出N点的坐标.点 A ,AB 是 OC 的切线.动点 P从点 A 开始沿 AB 方向以每秒 1个单位长度的速度运动, 点开始沿 x轴正方向以每秒 设运动时间为 t （秒）当 t 二时，得到 PQ4个单位长度的速度运动， 且动点 P、Q 从点 A 和点 0点 Q 从 0同时出发,当 t 为何值时，直线 PQ在的条件下，抛物线对称轴明理由.两点，求经过A、卩9三点的抛物线解析式及对称轴与 OC 相切？并写出此时点 P和点Q的坐标；1上存在一点 N ,使 NP tQ 最小，求出点 N 的坐标并

4、说【巩固】已知二次函数图象的顶点在原点0 ,对称轴为 y轴.一次函数 y二 kx+1 的图象与二次函数的图象交于 A, B 两点（A 在 B 的左侧），且 A 点坐标为（_4, 4）平行于 x轴的直线 1过 0 ,丄再丄再.（1）求一次函数与二次函数的解析式； 判断以线段 AB 为直径的圆与直线 1的位置关系，并给出证明； 把二次函数的图象向右平移2 个单位，再向下平移 t 个单位（t0 y二次函数的图象与 x轴交于 M , N 两点，一次函数图象交 y 轴于 F 点.当 t 为何值时，过 F, M , N 三点的圆的 面积最小？最小面积是多少？【例 3如图 1, 0的半径 1,正方形 ABC

5、D 顶点 B 坐标为 5 , 0，顶点 D 在 G） 0 上运动. 为当点 D 运动到与点 A、0在同一条直线上时，试证明直线CD 与 0 0相切；当直线 CD 与。0相切时，求 0D 所在直线对应的函数关系式；设点 D的横坐标为 x ,正方形 ABCD 的面积为 S ,求 S 与 x 之间的函数关系式，并求出 S 的 最大值与最小值.CA图1CA【巩固】如图，已知点 A 从 1, 0 出发，以 1 个单位长於的速度沿 x 轴向正方向运动，以()度0 , A 为顶点作菱 OABC，使点 B , C 在第一象限内，且yAOC 60d以 P 0, 3、为圆心,形N =()PC 为半径作圆.设点 A

6、 运动了 t 秒，求： 点 C 的坐标(用含 t 的代数式表示)； 当点 A 在运动过程中，所有使 U P与菱形 0ABC 的边所在直线相切的 t 的值.图1图3【例 4】已知：如图，抛物线 y=Jx2与 x 轴交于 A , B 两点，与 y 轴交于 C 点,33ZACB =90求 m 的值及抛物线顶点坐标；过 A , B , C 的三点的 OM 交 y 轴于另一点 D ,连结 DM 并延长交 OM 于点 E ,过 E 点的 OM 的切线分别交 x轴、y轴于点 F , G ,求直线 FG 的解析式； 在条件下，设 P为 CBD 上的动点（P 不与 C , D 重合），连结 PA 交 y 轴于点

7、 H，问是 否存在一个常数 k ,始终满足 AH AP =k ,如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请 说明理由.【巩固】如图，已知点 A 的坐标是（1, 0）,点 B 的坐标是（9 , 0）,以 AB 为直径作 U 0 : 交 y 轴的负半轴于点 C,连接 AC、BC,过 A、B、C 三点作抛物线.（1）求抛物线的解析式；（2）点 E是 AC 延长线上一点， ZBCE的平分线 CD交口 0牛点 D，连结 BD ,求直线 BD 的解析式；（3）在的条件下，抛物线上是否存在点 P ,使得ZPDB 二 ZCBD ?如果存在，请求出点 P的坐标；如果不存在，请说明理由.EyE课后作业:1.如图，直

8、角坐标系中，已知两点00,0) Ag,0,)点 B 在第一象限且 A0AB 为正三角形，A)AB 的外接圆交 y 轴的正半轴于点 C ,过点 C 的圆的切线交 x轴于点 D求 B , C 两点的坐标； 求直线 CD 的函数解析式；设 E , F 分别是线段 AB , AD 上的两个动点，且 EF 平分四边形 ABCD 的周长试探究：MEF的最大面积？参考答案例1解：(1)由已知，得A (2 0) , B (6, 0)抛物线卩二=/+&+： 过点A和则解得1.x6 +6b +c = 0614则翊线的解析式为：厂Wx+263故C (0, 2);(2)如團拋物线对称轴I是：X=4/Q 2-2

9、K+2当M为(2f0)时,抛物线解析式为尸l-2x*22二所求抛物线为y二(2)AB二R-剧二4血TAB呈0N的直径fAf=2J5rN( - 2r0) 又M(2,4).MN=4.设直钱y八x+2与x轴交 子庶Dr则D(2 , 0)f二DN=4 ,可得MN二DN,/.zMDN= 45作NG丄CM于Gf在RtNGD中rNG=DN 5汩45=2血=r 即圆4到直线CM的距离等于N的半径直线CM与N招切例2分析：(1)先求出1F1时，AP和0Q的长，即可求得P 1 , Q 1的坐标，然后用待定系数法即可得出抛物线 的解析式.进而可求出对称轴1的解析式.(2 )当直线PQ与圆C相切时，连接CP, CQ则

10、有RtACMP RtA QMC ( M为PG与圆的切点)，因此可设当Ga秒时，PQ与圆相切，然后用a表示出AP , OQ的长即PM , QM的长(切线长定理)由此可求出a的值.(3 )本题的关键是确定N的位置，先找出与P点关于直线1对称的点P的坐标，连接P Q，那么P Q与 直线1的交点即为所求的N点，可先求出直线P Q的解析式，进而可求出N点的坐标.解：(1)由题意得A、P,、的坐标分别为代(b 8)，P1(1 8) 7(4, 0)设鮪求抛物线解析式为y=ax2bx+c加8=。十6十f.：0= 16+4占+卍22二亍9 b二亍，c=82 2几所求抛物线为尸-寸/+討+8対称轴为宜线1：彳；4

11、(2)设 E 时,PQ与相切于点M连接CP % CM CQ5则PA=PM=“ QQ=QM=4a又vCP、CQ分别平分Z盒PQ和ZOQP.而ZAPQZQQP=1SOA ZPCQ-90 A PC ICQ.-.RtACMPRtAQMC.OV(2Afpn4_4a即厂Ta-2由于时间色只能取正数，所以沪2即当运动时间t=2时,PQ与仇相切此时：P (2, 8，Q (8, 0；(3) VA (0?8) - P (2 8) Q化抛物线解析式为：y二-1；龙-8，03此时对称铀lm点P关于直线1的对称点为ps(Oi 8) 则直线P Q的解析式为：y=p+8，当工=1时，y=*l8=7因1UN点的坐标为(1，7

12、)【巩固】把4(一4,4)代入/二虹+1二一次函数的解析式为y =3一JC +丫二次函数图象的顶庶在原為对称轴为$轴,二设二欠函数解析式为y = AX2.把川-4剛弋入4二二次函数解析式为P?I !/二以皿为直径的f y=弓工+1由 .解得T 或| “；I4( y-1卜 m过&原分别作直线/的垂缰垂足为MM则A才=4 + 1 = 5. B X = 7+ 1 =744二直角梯形/U公B的中位线长为些1=竺2 8过B作E H垂亘于直线沖川于原比-.115则=仙=5阳-厂亍/ =二的长等于初中点到直线/的距离的2倍平移后二次函数解析式为y = （x-2卩t令y = 0,彳ia 2）2 f三（

13、U1 =2-2 V1.X2 = 2 + 2过FMN三点的圆的圜心一走在平移后抛物线的对称轴上点（7为走点B要使圆面积最小,此时,半径为Z面积为4码 设圆心为中点为&连CEQA亿则CE = lt在三角开比EM中（ME二/2 _ 1 = V3rAMN = 23,而MN = |Jt2-X| = 5.解：（1）丁四边形ABCD为正方形,ADxCDFTA、0、D在同 F 直线上半径应等于点尸到查线A- = 2的距离,3当二；时过斤M.N三点的圆宜积最4最小面积为4幵4,zODC=90p二直銭CD与。0拒切.（2）直线CD与O0牢切分两神情况:设Di点在第二象限时f过U作卩妨丄兀轶于弟E、r设此时

14、的IE方形的边扶为ar则_1+宀宁,解得*4或a=3（舍去）P0 RlLBOA-私幼得竺竺=竺r04 BA OS343 42E严DE严 w4（-三）555 54S蛙OD的函数关奈式为y兀；如圏2设。2在篤四霾限过2作耳込丄X轴于点 设此时的正方形的边长为bf则+1）2 +沪=52r解得b二3或b一4（舍去）.43二0遲2二 ，。2爲二 434（亍厂r故直绽0D的函数解析式为y h _扌3设D(x,几),贝|儿=土J1一X /田B ( 5r0 )得M =JQ_X)2+(1 扌)=(2610兀r1j 1- -(26-10 x)-13-5x ,22n如大直=13 + A1&洛卜直=13-5

15、= 8.【巩固】聲：（1）过工作CD丄x祐于D.vOA-l+tr/.OC=l+tr1+rAOD=(?Ccos608=-fDC = OCsin 60s= 2l+f筋(1+E)(2 )当O0与OC柏切时(如图1) 切庶为C此时PC丄OCOC=cos30;f1 +; = 3* i- ?=丄丿当OP与OAr即与x轴招切时（如图2）r则切点为0 , POOP ,怎C的坐标为过P作PF止OC于Er则OE=2oC*= (7Pcos30s图1当OP与AB所在盲线弔切时(如图3 ),设切点为F , PF交0C于G则PF丄OCr，-.FG=CD=-,2:PC = PF = OPsin30s+ 心+ “r2过(:作

16、CH丄y轴手H ,则PH2+CH:= PC2卩+羽(片)丫=十-r例4(1)已玛战谨边：特因此C点的坐仮为(0. m) . OC=-m在亘殳三樂形ACB勺.白于0C丄根抿I堆走湮可舄HOc2=OAOB ,而0A08可屈EFz；二方窿恨耳务咖矢至求岀,却比可得 HWe 旳方1ir茨出眄旳嬉.閱可确壬険曲瞬析贰,袍克二工暑跨岸侨询可淳凸具顶歳堂标,(2 )田亍-ACX和-MOD曰f”C60丛/IDO餡正切恒矩同 因此这网角也售 可得空M nDE,性就酉詳口DE丄Cf回就PC I FG.田此可導二缶FG与葩BC的茹吏隹同可先礎氐C的 M 标咬査钱BC的解忻式怎后即可温兰直谨FG2C斜至那么去轄壬EF

17、的塑标.迄接匚E . DC丄匚E匚?釣纵坐饭靈崖E,字的纵 士标在直殆三角再DCEU .可檢援DEDCM:求出CE的长：性朗址求空E点的里标.空旨B気E点的坐环貝J可求 H 頁逶圧匕安析式(3 )淳妥CP. AP.刹用壬径走爰.三角拆做(-ACT-APC ) 勾殻运理維雪閲可：1）田砲物戋可知，点匚的坐标为（0, m ,gm0.ISA （xX r0） B （x2r0）,ELxxx2=3m又OC星RJABC的篡边上旳育./.-AOC-COB酿.）（2=2/.-mz= 3m .屛i昱m=0或m=3而m 0f的(1+2化简得+1)：-匹竝+1) + 27= 0(翼得广+1 = 9右6旋. = 9占一

18、乐70 I找只能取m“（3分分）, y= | x2-x-3= 1 （x-巧）J餾吻线的顶点坐标为（逅4）.(2 ) aBHpTtl: M(运-0 ) , A (运.0) , B ( 3 M3 , 0 )C ( 0r-3 ) , D ( 0,3 )DES3M的直径.-zDCE = 90B,壹线x二厉,垂重平分CE .E点的坐标为（23 . -3二開一粕 AOC-ZDOM = 90BR zACO - zMDO - 30 ,.-AC II D ACCB .二CB丄DE又FG丄DE -*.FG l CBBB（3M3 . 0）. C （0 . -3 ）两点妁坐标易戎直克CB乳解析式为:可设直谍FG的I新

19、式为尸于x+n，把（2百r-3）代入求得n=5厲线FG的解折式为尸兰比5(3 )存言数212溝足AHAP二12叢设存在篦敖k ,満壬AHAP=lc渥接CP .日垂电走理可粗上PtzACH(或利希三P二zABOzACO)又/：CAH=zPAC . ACH-APC .AC APAH=ACT.50AC*=AH*APT.在RhAOC中，AC2=AO2+OC2=(运)2十(3 )2=12 .AH*AP = k=12 ;【巩固】解：(1)以AB为直径作OO”f交澎的负半鮭于点C ,.zOCAzOCB=90f又TZOCB*ZO8C=90F/.zOCA=zOBCr又TNAQOZCOB=90F二AAOC- AC

20、OB,.OA OC- = - - fOC OB又TA(-1,0)fB ( 9f0 ),.I OCB |OC9解得OU=3(负值舍去)/.c ( 0r-3 )f设抛物线醉析式为尸a ( xJ ) (x9 )rA-3=a (0+l) (0-9)r解得a冷r二次函数的解析式为y=t(x+l ) (x9)即呼評;6(2)TAB 为O的直径，且A(-1,0)fB(9f0)f.-.004f0#(4,0 )rT点E是AC延氏线上一原fzBCE的平分线CD交。0于点Dr/,ZBCD=1ZBCE=1X90=45F2 2连结OQ交BC于庶M,则z8OrD=2zBCD=2x45=90f00二4,0rD= 1AB-5,Q(45),J设直线BD的解析式为y二kx+b ( kO )二直线BD的解忻式为y二x-9设射钱DP交OCT于点Q则BQCD r分两种ft况(如答臺图1所示):9(44) , D(4r-5) , B(9f0)fC(0f-3),几把点C、D绕点O逆时