利用轴对称性质求几何最值

1、轴对称中几何动点最值问题总结轴对称的作用是“搬点移线”，可以把图形中比较分散、缺乏联系的元素集中到“新的图形”中，为应用某些基本定理提供方便。 比如我们可以利用轴对称性质求几何图形中一些线段和的 最大值或最小值问题。利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个：(1)两点之间线段最短；(2)三角形两边之和大于第三边；(3)垂线段最短。初中阶段利用轴对称性质求最值的题目可以归结为：两点一线，两点两线，一点两线三类线段和的最值问题。下面对三类线段和的最值问题进行分析、讨论。(1)两点一线的最值问题：(两个定点+ 一个动点)问题特征：已知两个定点位于一条直线的同一侧，在直线上求一

2、动点的位置，使动点与定点线段和最短。核心思路：这类最值问题所求的 线段和中只有一个动点，解决这类题目的方法是找出任一定点关于 直线的对称点，连结这个对称点与另一定点，交直线于一点，交点即为动点满足最值的位置。变异类型：实际考题中，经常利用本身就具有对称性质的图形，比如等腰三角形，等边三角形、正 方形、圆、二次函数、直角梯形等图形，即其中一个定点的对称点就在这个图形上。1 .如图，等边 ABC的边长为6,AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点,若AE=2,EM+CMJ最小值为()A. 4B.8C.- / ' D.- -2 .如图，等边 ABC的边长为4, AD是BC边上

3、的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点， 若AE=2当EF+CF得最小值时，贝叱ECF勺度数为()A. 15°B.22.50C.30°D. 45°3 .如图，RtABC中，AC=BC= 4点 D E分别是AB, AC的中点，在CD上找一点P,使PA+PER 小，则这个最小值是.4 . (2006?可南)如图，在 ABC中，AC=BC=2 ZACB=90 , D是BC边的中点，E是AB边上一动 点，贝U EC+ED勺最小值是.5 .如图，在正方形 ABCD中,E是AB上一点，BE=2,AE=3BE,P是AC上一动点，则PB+PEB最小值是 ()A. 二B.I

4、；：C.、，： D. 106.1. （2009?抚顺）如图所示，正方形 ABCD勺面积为12, 4ABE等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P,使PD+PE勺和最小，则这个最小值为（）A. 2,3B.2,6C.3 D.，6（2） 一点两线的最值问题：（两个动点+一个定点）问题特征：已知一个定点位于平面内两相交直线之间， 分别在两直线上确定两个动点使线段和最短。核心思路：这类问题实际上是两点两线段最值问题的变式，通过做这一定点关于两条线的对称点，实现“搬点移线”，把线段“移”到同一直线上来解决。变异类型：例1 :如图6,接力赛场上，甲同学站在 L1、L2两条交叉跑道之间的任

5、意一点 A处，要将接力棒传给站在L1跑道上的乙同学，乙同学要将接力棒传给站在L2跑道上的丙同学，内同学跑回 A处，试找出乙丙同学所站的最佳位置使比赛的路程最短。1 .如图，已知/ AOB的大小为a , P是/AOB内部的一个定点，且 OP=2点E、F分别是OA OB 上的动点，若 PEF周长的最小值等于2,则a =（）A. 300B.450C.60°D.90°2 .如图，/ AOB=30 ,内有一点 P且OP=若M N为边OA OB上两动点，那么 PMN勺周长最 小为（）A. 2,6B.6 C.V6/2D. ，63 .如图，在 ABC中，/ C=90° , CB=

6、CA=4 / A的平分线交BC于点D,若点P、Q分别是AC和 AD上的动点，则CQ+PQ最小值是4 .在锐角三角形 ABC中，AB=4 /BAC=60 , / BAC勺平分线BC于D, M N分别是AD与AB上动 点，则BM+MI®最小值是 .（3）两点两线的最值问题：（两个动点+两个定点）问题特征：两动点，其中一个随另一个动（一个主动，一个从动），并且两动点间的距离保持不变。 核心思路：用平移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点和一个动点”类型来解。变异类型：例1如图4,河岸两侧有幺、8两个村庄，为了村民出行方便，计划在河上修一座桥，桥修在何处才能两村村民来往路程最短？解

7、析：设桥端两动点为 时、那么M点随M点而动，函等于河宽，且函垂直于河岸。将B向上平移河宽长到抨,线段AB1与河北岸线的交点即为桥端M点位置。四边形为平行四边形，BfM = BN,此时RM+BN=血W+守财二班?值最小。那么来往幺、3两村最短路程为：幺财+恻+泌=曲'+咖。2 .如图，在直角坐标系中有线段 AB, AB=50cm A、B到x轴的距离分别为10cm和40cm, B点至ij y轴的距离为30cm,现在在x轴、y轴上分别有动点P、Q,当四边形PABQ勺周长最 短时，则这个值为（）A. 50B.50，5 C, 50（，5-1 ） D. 50（，5-1 ）3. （2010年天津市中

8、考）在平面角坐标系中，矩形 Q4BC的顶点0在坐标原点，顶点工、3分 别在1轴、/轴的正半轴上，0A-3, 03=4, D为边0B的中点。（D若£为边上的一个动点，当ACD月的周长最小时，求点£的坐标；（2）若E, F为边Q4上的两个动点，且EF=2,当四边形CDEF的周长最小时，求点£ , F的 坐标。Qg解析：作点口关于工轴的对称点少，则2, DQ-2）。（1）连接CD交1轴于点E,连接。我，此时的周长最小。由RD'OEs&D'BC可知0E _ Df0 QS_ BCxD'O _3父2 7而.而,那么 一FB 一丁一 ,贝（J &

9、#163;。，0）。（2）将。向左平移2个单位（办' = 2）到7点，定点。、C分别到动点£、f的距离和 等于为定点。、C到动点£的距离和，即DE+CF = DE+CtE 0从而把“两个定点和两个动 点”类问题转化成“两个定点和一个动点”类型。在BC上截取尸=2,连接交1轴于£,四边形用C?为平行四边形，C£=CF。 此时0£+。产=。£+（?%=）。值最小，则四边形C0EF的周长最小。由。'（卜2）、CQ4）可117求直线OC'解析式为二61-2 ,当j = 0时， 3,即3 ，则3 o （也可以用（1） 中

10、相似的方法求£坐标）（4）两点两线的最值问题：（两个动点+两个定点）问题特征：两动点分别在两条直线上独立运动，一动点分别到一定点和另一动点的距离和最小。核心思路：利用轴对称变换，使一动点在另一动点的对称点与定点的线段上 （两点之间线段最短）， 且这条线段垂直于另一动点的对称点所在直线 （连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段最短）时，两线段和最小，最小值等于这条垂线段的长。变异类型：演变为多边形周长、折线段等最值问题。例5 （2009年陕西省中考）如图6,在锐角的C中，AB = 242 , /助。二45。，ZBAC的平分线交2C于点D,加、M分别是工。和A5上的动点，则 W

11、+秘/的最小值为工。解析：角平分线所在直线是角的对称轴，AB上动点N关于AD的对称点M在工C上，W=W, MB+MN=MB + MN/>BN 当 时，3胪最小。作£串1 乂C于M ,交幺口于M,.皿 2反 4WC=450作涧U亚交于M, MB + MN之3行=42:如图9,在矩形 ABC前，AB=20cm BO 10cm,在AC, AB上各取一点 MN,使BW MN 的值最小，求这个最小值。分析：I在 ABC 中，AB=20cm BO 10cm,由勾股定理得 AC=10 5cm,由 ACX BO=AB< BC,得 BO=4'5cm,所以 BB' =8<5cmo 由ABS AB' NR 彳# B' N= 16cm ,即 BM MN 的最小 值为16cm 。3 :如图5, /MON=30 ,边OM ON分别有定点 A、D, OA=2 OD=5 在 ON OMi上确定动点 B、C的位置，使折线 ABCD的长度最短，这时折线ABCD勺长度为（）分析：若A位于ON的另一侧，D位于OM勺另一 侧，则连接AD与OM ON边相交可得B、C点的 位置。可以想办法在保持线段 AR CD长度不变的情况下，将点A “搬”至ON的另一侧，将点D “搬”至OM勺另一侧，将线段AR CD“移” 至BC所在直线来考虑。作