2019高考数学(理)”一本“送分专练古典概型、几何概型

1、1/8送分专练5古典概型、几何概型（建议用时：40 分钟）、选择题1. （2017 全国卷I）如图 1-5-1,正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，贝吐匕点取自黑色部分的概率是（）i)B 不妨设正方形 ABCD 的边长为 2,则正方形内切圆的半径为 1,可得 S正方形=4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑=S白故选 B.2. （2016 全国卷I）某公司的班车在 7: 30,8: 00,8: 30 发车，小明在 7: 50 至& 30 之间到达发车站乘坐班车，且到

2、达发车站的时刻是随机的，则他等车时 间不超过10 分钟的概率是（）A1 c 1 C 2 , 3A. 3B. 2 C. 3D. 4B 如图，7: 50 至 8: 30 之间的时间长度为 40 分钟，而小明等车时间不超过 10 分钟是指小明在 7: 50 至& 00 之间或& 20 至 8: 30 之间到达发车站,1n=2S圆=2，所以由几何概型知所求概率s黑八、P=-S正方形a图 1-5-12/8此两种情况下的时间长度之和为 20 分钟，由几何概型概率公式知所求概率为 P _20_1林一 40 一 2.故选 B -7:50 8:00 3:10 8:20 8:30,A BC DJ3

3、. （2018 全国卷U）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界 领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 30 7+ 23.在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概 率是（）1111A.徨B.和 C 后D.匕C 不超过 30 的素数有 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 共 10 个，从中随机选取两个不同的数有 C10种不同的取法，这 10 个数中两个不同的数的和等于 30 的有313 对，所以所求概率 P-C0-15,故选 C.4. （2016 全国卷II）从区间0,1随机抽取 2n 个数 X1,沁,，X

4、n，y, y2,yn，构成 n 个数对（X1, y1）, （x2, y2）,，（xn, yn），其中两数的平方和小于 1的 数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率n的近似值为（）2mnC 因为 X1, X2,，Xn, y1, y2,，yn都在区间0,1内随机抽取，所以构成的 n 个数对（X1, y1）, （X2, y2）,，（xn ,yn）都在正方形 OABC 内（包括边界）,如图所示.若两数的平方和小于 1,则对应的数对在扇形 OAC 内（不包括扇形圆弧上的点所对应的S扇形mn数对），故在扇形 OAC 内的数对有 m 个用随机模拟的方法可得一m, 即4S正方形n 4m，所以n- 5

5、.（2017 山东高考）从分别标有 1,2,，9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取Y1CB0144nm3/82 次，每次抽取 1 张，则抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）4/8A 5 c 4 c 5 , 7A-18B - 9 C 9 D - 9C 9 张卡片中有 5 张奇数卡片，4 张偶数卡片，且为不放回地随机抽取,5X45依题意，得 P（抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同）=石 =9故选 c.6.从 1 至 9 共 9 个自然数中任取 7 个不同的数，则这 7 个数的平均数是 5的概率为（）C. 9从 1 至 9 共 9 个自然数中任取 7 个不同的数的取法共有 C9= C236

6、 种，因为 1 + 9= 2 + 8 = 3+ 7 = 4 + 6,所以从(1,9), (2,8), (3,7), (4,6)中任选一3一 一41三组，则有 C3= 4,故这 7 个数的平均数是 5 的概率 P = 36=7.某食品厂为了促销，制作了 3 种不同的精美卡片，每袋食品中随机装入一张卡片，集齐 3 种卡片可获奖，现购买该食品 4 袋，能获奖的概率为（）4848A. 27 B. 27c. 9 D . 9C 因为 3 种不同的精美卡片随机放进 4 袋食品袋中， 根据分步乘法计数原 理可知共有 34= 81 种不同放法， 4 袋食品袋中 3 种不同的卡片都有的放法共有 3XC4XA2=

7、36种，根据古典概型概率公式得能获奖的概率为36=9,故选 C .8.学校为了奖励数学竞赛中获奖的优秀学生，将梅、兰、竹、菊四幅名画 送给获奖的甲、乙、丙三位学生，每个学生至少获得一幅，则在所有送法中甲得 到名画“竹”的概率是（）C 由题意可知总方法数，先分 3 组，C4=6,再分配 A3= 6,由分步计数原理可知总方法数 N=C2A3=36,满足条件方法数 N1=C3A2+A3=12,概率 P9X85/8=肚16=3 选 C -6/89.在三棱锥 S-ABC 内任取一点 P,使得三棱锥 P-ABC 的体积满足 V三棱锥P-ABC1V2V三棱锥S-ABC的概率是（）A三棱锥S-ABC与三棱锥P

8、-ABC的底面相同，设三棱锥SABC的底面面 积为S,则三棱锥 P-ABC 的高 h 与三棱锥 S-ABC 的高 h满足 gshKgxgsh,点 P 位于棱台 A B C -ABC 内（如图），其中 A , B , C分别为 SA,1SB, SC 的中点，易知棱台的上底面的面积 S = 4S,所以棱台的体积为 V三棱锥17S-ABC gV三棱锥 SABCgV三棱锥10. 有一底面半径为 1,高为 2 的圆柱，点 0 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点 P,则点 P 到点 0 的距离大于 1 的概率为（）1231A. 3B. 3 c. 4 D. 4B 设点 P 到点 O 的距离小于等

9、于 1 的概率为 P1,1 2故点P到点 o 的距离大于 1 的概率P=1 3=3.1一4D.1一2Q3一4B7 -00A-所以 hvh_亍S-ABC, 故所求概率为7&V三棱锥 S-ABC7=7V三棱锥 S-ABC8由几何概型，则V半球P1=V圆柱2n32nx13nX12x213.sR7/811. （2018 全国卷I）如图 1-5-2 来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何 图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC, 直角边AB, AC. ABC 的三边所围成的区域记为I,黑色部分记为U,其余部8/8分记为川.在整个图形中随机取一点，此点取自I

10、，川的概率分别记为P2, P3，则（）图 1-5-2B. pi= P3D . pi= P2+ P3A法一：设直角三角形 ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c,21 1 1 的面积即 ABC 的面积，为 S1= bc,区域U的面积S?2nX2 +空12 2 21 1=nC+ b - a )+ 2bc= bc,所以$=S,由几何概型的知识知 P1= P2,故选 A .法二：不妨设 ABC 为等腰直角三角形，AB= AC= 2,贝UBC= 2 2，所以 区域I的面积即ABC 的面积，为 S1=1X2X2= 2,区域川的面积 Sa=说2? 2=n2,区域II的面积 S2=nX

11、12-（ - 2） = 2.根据几何概型的概率计算公式，2n2得 P1= P2=, P3=，所以 P1 P3, P2工 P3, P1P2+ P3,故选 A .n+2n+212. 小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午 5: 006: 00 之间送 货上门，已知小李下班到家的时间为下午 5: 306: 00.快递员到小李家时，如 果小李未到家，则快递员会电话联系小李.若小李能在 10 分钟之内到家，则快递员等小李回来；否则，就将商品存放在快递柜中.则小李需要去快递柜收取商品的概率为（）P1,A . pi= P2C. p2= P3则区域I2a-2bcfi9/8D 设快递员到小李家的时间为 x,

12、小李到家的时间为 y,C._51210/85 x 6区域为 x, y5.51- 4L了54目21/ii-212 3 4 is A在 yx=1 中，当 y=5.5 时，x= 16 ;当 y= 6 时，x=詈.c 1 A 5 17S阴影二 2X3+ 6X2 二 24,7_S阴影247由几何概型概率公式可得 P(A) =1 = 12，小李需要去快递柜收取商品S矩形-122的概率为右.选 D.二、填空题13. (2018 郑州三模)已知小李每次打靶命中靶心的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率先由计算器产生0到 9 之间取整数值的随机数，指定 0,1,2,3 表示

13、命中靶心，4,5,6,7,8,9 表示未命中 靶心，再以每三个随机数为一组，代表三次打靶的结果，经随机模拟产生了如下 20 组随机数：321 421 191 925 271 932 800 478 589 663531 297 396 021 546 388 230 113 507 965据此估计，小李三次打靶恰有两次命中的概率为 _ .0.3 由题意知，在 20 组随机数中表示三次打靶恰有两次命中靶心的有由题意可得所有基本事件构成的平面区域为 （X，y）|小李需要去快递柜收取商品”为事件 A,则事件 A 包含的基本事件构成的平面，如图阴影部分所示的直角梯形.阴影部分的面积* x6-5.5Wy

14、6，设11/8421,191,271,932,800,531 共 6 组随机数，所以所求概率为 元=0314某班班会，准备从包括甲、乙两人的 7 名学生中选取 4 名学生发言，要 求甲、乙两人至少有1 人参加，则甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为16若无限制条件则有 A4种情况；若甲、乙两人都不被选中则有 A4种情况, 因此甲、乙两人至少有 1 人被选中有 A# A4种情况甲、乙两人都被选中且发2 2言时不相邻共有A5A2种情况，故所求概率为 p=号5A3120=首.A7A5840 120615.记函数 f(x)= 6+ x x2的定义域为 D 在区间4,5上随机取一个数 x, 则x D 的概率是_ .5 亠29由 6 + x x0，解得2x 3，-D= 2,3.如图，区间4,5的长度为 9,定义域 D 的长度