动力响应理论

1、第2章动力响应理论2.1 引言机柜构造动力响应的计算机仿真分析是以设备动力响应理论为根底的，是进展设备构造动力响应研究的一种有效手段。论文中主要研究设备动力响应两个方面的内容：设备构造固有特性分析和构造在地震波作用下的响应分析。固有特性分析可以得到构造的固有频率和固有振型，是进展响应分析的根底；地震波响应 分析将得到设备响应的时间历程变化。在使用有限元工具对构造进展建模、分析 之前必须掌握构造动力响应的理论和相关的有限元根本原理。因此，本章重点表达了与设备构造动力响应相关的机械振动学理论及其有限元仿真技术。2.2 构造动力响应分析相关理论2.2.1 构造固有特性分析理论机柜设备构造的固有特性包

2、括固有频率和振型，是响应分析的根底。通过进展构造的固有特性分析可以使设计有效地避开构造的共振频率。机柜设备是一个复杂振动系统，在理论分析过程中，常常可以把机柜设备简化为多自由度集中参 数系统。一般，多自由度系统的自由振动方程可以写成如下形式：.M x(t) C x(t) Kx 0(2 1a) .式中：M, C和K分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；x(t)、x(t)、 .x分别为系统的位移列向量、速度列向量和加速度列向量。而多自由系统的无阻尼自由振动方程可以写成如下形式：M x(t) K x(t) 0(2 1b)通常系统的自由振动是简谐振动，所以可以假设式(2 1功的解为：x(t) Xs

3、in pt (2 2)式中：X为系统的振幅列向量；P为系统的自由振动频率。将(2 2)代入(2 1b), 就可以得到系统的振型方程，其具体形式如下：2K pMX 0 (2 3)可以看到，式(2 3)是一个齐次线性方程组，根据线性代数知识，它具有非零解的充分必要条件为系数矩阵的行列式为零，亦即有下式成立。2K pM 0 (2 4)2式(2 4)称为系统的特征方程或频率方程，他是关于p的门次代数方程。解之, 我们可以得到n个解。具体如下：2222Pip2p3 pn (2 5)假设系统为正定系统，那么有2P 0(i 1,2,3，,n) (2 6)式中：Pi为系统的第i阶固有圆频率。将Pi分别代入系统

4、的振型方程2-3中， 可以解得与之对应的振幅列向量Xi, 也称为系统的主模态或主振型。注意：1系统固有频率和模态的数目与系统拥有的自由度数一样，n自由度系统必有n阶固有频率和模态主振型。2系统的固有频率仅与系统的质量矩阵和刚度矩阵有关，而与外界干扰力无关，它们是系统本身的固有性质。3系统的主振型Xi(i 1,2,3,可表示系统以频率Pi作自由振动时系统的各个自由度的振幅的相比照值。2.2.2构造冲击响应分析理论通过系统的自由振动方程，可以解得系统得固有频率和主振型。在冲击鼓励作用下，多自由度系统振动将作受迫振动。利用鼓励响应理论可以解得系统受迫 振动过程中系统的响应。2.2.2.1 多自由度系

5、统的受迫振动方程多自由度系统的受迫振动方程可以写成如下形式：.Mx C x(t) K x(t) f(t) (2 7)式中：f为系统受到的鼓励力向量，如果系统受到根底加速度鼓励那么鼓励 力向量就是该加速度系统的等效惯性力；其他符号的意义同式2-1。通常情况下，系统的各个自由度之间存在耦合，方程2-7中的M、C和K不是对 角阵，方程难以求解。为了得到系统的响应必须选择适当的坐标系将2-7式解耦。2.2.2.2 振动方程的解耦(1)正那么振型与正那么振型矩阵在对振动方程解耦之前先介绍系统的正那么振型与正那么振型矩阵的概念。通过式2-3与式2-4已经求得系统的各阶固有频率 Pi(i 1,23，n)和

6、相应的主振型Xi(i 123，”令一 1，、xiXi(i 1,2,3，n)1 (2 8)使得Mi XTMXi 1(i1,2,3，,n) (2 9)式中：Xi为第i阶正那么振型；i为待定系数。将2-8带入2-9，可以 得到i , Mi(i 1,2,3，,n)(2 10)将2-10带入2-8可得到各阶正那么振型，进而可以写出正那么振型矩阵，具体如下：-P X”X2X3 Xn (2 11)2振动方程解耦由于各阶主振型关于M、K是正交的，各阶正那么振型也是关于M、K 正交的，可以利用正那么振型矩阵来对振动方程进展解耦。选取一组广义坐标 q又称为主坐标，令x(t) Pq(t) (2 12)将2-12代入

7、2-7中，并且将方程两端左乘PT,那么可以得到解耦后的 振动方程：.Iq(t) Cq(t) q(t) f(t)(2 13a)式中，I为单位阵；伪对角阵，其对角限元素为各阶固有频率的平方；C为 对角化的阻尼阵，采用比例阻尼假设，其对角线上的第i个元素为：2 - 一GPi (2 13b)f为外力对角阵，可进一步表示为：f(t) PTf(t)(2 13c)式2-13a是一个非齐次线性方程组，其中第i个方程可以写成：.2-_qi(t) ciqi(t) Piq(t)fi(t) (2 14)式中，qi为第i个主坐标。2.2.2.3单自由度系统对任意鼓励的响应式2-14在形式上与单自由度系统的振动方程一致，

8、可以将上式看作单自 由系统的受迫振动方程。求解方程2-14即计算单自由度系统对任意鼓励的响应。单自由度系统对任意鼓励的响应，可以看作系统对一连串单位脉冲响应的叠 加。单自由度系统对单位脉冲的响应可以用下式表述：1pt . ,、cesin( pidt)t 0hi (t)mpid0t 0(2 15)式2-15表示的是单自由度系统对发生在t=0时刻的单位脉冲的响应，单自由度系统对发生在任意时刻t的单位脉冲的响应可以写成如下形式：-e Pi(t )sln( pid (t) thi (t)mpid0t (2 16)那么方程2-14所示的单自由度系统对任意鼓励的响应可用杜哈美积分表示为:tqi(t)0fi

9、(川(t )d (2 17)Ci式2-15、2-16、2-17中， 2pi为式2-14表示的单自由度系统的阻尼比；pid p /2为考虑阻尼时系统的第i阶固有频率。式2-15，2-16称为单自由度系统的脉冲响应函数。至此，第 i个自由度的响应己经求得。式2-17表述的q为振动方程的全解，包含了瞬态解和稳态解两局部。2.2.2.4多自由度系统任意鼓励的响应上节求得了第i个自由度的响应解。同理可以解得其他自由度的响应解，全部自由度的解可以写成向量q，具体形式如下：tq(t)0h(t)f()d(218)式中，f(t)由式f(t) pTf(t)确定。上式表示的响应为系统在主坐标下的响应。要得到原物理坐

10、标下的响应x(t)只要将式2-18代入式2-13。具体如下： tTx(t) Pq(t) P 0h(t )PTf( )d (2 19)也可以写成和的形式： n x(t)Xiqi(t) (i 1,2,3，n)i(220)式中，Xi为第i阶正那么振型，可由式2-8确定，qi为杜哈美积分，可 由式2-17确定。2.3构造动力响应的有限元仿真技术2.3.1 有限元分析的一般步骤有限元方法是求解微分方程的一种非常有效的数值方法，其根本思想是用分 片函数单元形状函数来逼近原函数，也就把无限自由度问题转化为有限自由 度问题求解，通过求解一个线性方程组，得到原问题的近似解。有限元方法的名 称是Clough在处理

11、平面弹性问题时，第一次提出使用的。有两种通常与有限元 方法相关的方法。一种是力法或称作柔度法，它使用内力作为问题的根本未知量； 另一种是位移法或称作刚度法，它使用节点位移为问题的根本未知量。这两种方 法在分析中得出不同的未知量力或位移，并得出与其公式相关的不同的矩阵柔度矩阵或刚度矩阵。目前绝大多数的通用有限元程序，如ANSYS,HYPERMESH ABAQUS等，采用的都是位移法(或刚度法)。有限元方法涉及用相 互连接的、称作有限单元的小单元来模拟连续构造。使用有限元工具进展分析计 算通常有三个步骤：第一，把对象进展合理的简化建立具有限元模型；第二，按照实际的工况对模型施加约束和鼓励并进展必要

12、的求解设置， 然后开场求解；第三，待求解完毕后， 综合运用理论、经历或实验结果对计算结果进展分析、论证。2.3.1.1 有限元分析模型的建立在有限元分析过程中，从构造对象的实际模型到计算模型的简化和物理特征 提取的过程称为构造对象的特征建模。特征建模的过程也就是对构造实际模型进 展简化的过程。实际工程中的构造对象可以分为两种： 一种是离散体构造，另一 种是连续体构造。杆梁构造体系是最常见的离散体构造，由于其本身存在有自然 的连接关系即自然节点，一般可以直接基于这些节点进展单元划分和离散。 而连 续体离散化过程需要人为地在连续体内部和边界上划分节点，以分片单元连续的形式来逼近原来复杂的几何形状。

13、一般情况下，连续体的有限元分析特征模 型和构造对象的实际模型不是直接对应的， 需要更好地进展问题的特征建模。它 需要分析人员具有相应的数学和力学根底、工程分析经历，以及对软件的熟练操 作，以便做出准确合理的简化，得到既能反映实际构造对象的特征， 又具有合理 离散方案的有限元计算模型。在机柜设备构造有限元分析中，一个重要的问题就是如何建立逼真的有限元 模型。近40年来实体造型理论和技术的成熟以及大批实用实体造型软件的出现， 现在可以很轻松的建立分析对象的几何模型。 这样，有限元模型的逼真程度主要 取决于物理特征建模，即选定单元类型、设定材料特性、确定边界条件、约束和 载荷。2.3.1.2 有限元

14、模型的求解有限元动力响应分析的求解阶段，程序根据前处理阶段建立的网络模型、 模 型的材料数据、约束和鼓励的信息，通过单元位移插值函数和材料的本构关系计 算模型中各个单元的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，然后将各个单元的单元矩 阵组装成模型的整体矩阵，再求解模型的固有频率及振型、位移响应、应力响应 等结果数据。在将建立的有限元模型提交给计算机计算之前，需要指定一些分析计算的控 制信息，如采用何种数值算法、需要提取那些分析结果以及模型的动力参数等等。 进展合理的求解设置有助于减少计算需要的时间、提高计算效率，在一定程度上还可能影响得到的分析结果。2.3.1.3 有限元分析结果的处理由于有限元方法的近

15、似性，分析结果不可防止的存在误差。有限元模型的网 格密度会影响有限元分析结果的精度。 在一定范围内，适当加大网格的密度，有 限元分析的精度会有所提高。但是，网格精度对有限元分析结果精度的影响不是 绝对的，当结果的精度提高到一定程度后， 再加大网格的密度，计算结果的精度 不仅不会提高反而会降低。正由于有限元法是一种工程近似求解的方法，存在误差，所以在用有限元软件进展工程分析计算时， 必须对结果进展分析评估。通常 以下方式来判定有限元分析结果正确与否：(1)将分析结果与理论计算结果进展比拟。(2)将分析结果与实验结果进展比拟。例如，模态实验可以作为判别有限元模 型正确与否的标准。(3)根据己有的经

16、历判断分析结果。了解有限元分析结果的特点和产生误差的原因对理解和解释有限元分析结果具有重要的意义。只有经过检验为正确的分析结果才是真正对工程应用有意义的。2.3.2 ANSYS用于机柜设备构造动力响应分析的可行性ANSYS软件是构造、热、流体、电磁、声学于一体的大型CAE通用有限元分析软件，可以广泛应用于核工业、铁道、石油化工、航空航天、机械制造、能 源、汽车交通、电子、造船、轻工等一般工业及科学研究。ANSYS软件具有丰富和完善的单元库、材料模型库和求解器，从而保证了其出色的分析计算能力。ANSYS的构造分析计算功能非常强大。它可以完成构造静力分析、构造动力学分析和构造非线性分。其中，ANSYS可以进展的构造动力学分析类型包括：模态 分析、瞬态动力学分析、谐波响应