现代控制理论课后习题全部答案最打印版

1、第一章习题答案1- 1试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式图1-27系统方块结构图解系统的状态方程如下:?XiX2?KbX2X3J2?KpKn1KpX3X3JiX4X5X6JiJJi 阿?X4X3?X5K1 X3K1X6?KiXiKiKiuX6XKpKpKp令(s) y，则yX所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为?01X1?00X2?X300?X400?00X5?X6K10Kpy 10 00 00000Kb000X1J 2KpKn1KpX2J1J1JJ1X31000X4K100K1X5000K1KpX6XiXX3X4X5X60000 u0KiK；1-2有电路如图1-2

2、8所示。以电压u(t)为输入量,求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻 R2上的电压作为输出量的输出方程。R2解：由图，令hXi2X2,UcX3，输出量yR2X2XiR1x1Li X1X3u有电路原理可知：L2X2R2x2?x1x2C x3X3既得X2X3R1L1 X1R2221c X1R2x211X3uL1L11匸X31cX2写成矢量矩阵形式为:0R101X1L1L1x10R21X20X20L2L2X311X30CC1匚0 u0Xiy 0R2 0 x2X31-3 参考例子1-3 (P19)1-4两输入U1, U2，两输出y1,V2的系统，其模拟结构图如图1-30所示，

3、试求其状态空间表达式和传递函数阵。U1U2a4图1-30双输入-双输出系统模拟结构图解：系统的状态空间表达式如下所示:X10100X100X2a2a10a6X2b10uX31001X300X40a5a4a3X40b2X1X2y 10 10X3X4s100(sl A)a2s a!0a610s10a5a4a3s1Wux(s)(slA) 1Ba2s a1100a5Wuy (s)C(slA) 1B10 1010000a6b10s100a4a30b2s1001 000 a21s a10a6b100s1000a5a4a30b21-5系统的动态特性由下列微分方程描述(2)y 5 y 7 y 3y u 3u

4、2u列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图解:令X1y,X2y,X3 y ,贝U有0X10010X10X2001X20 u0X3375X31X1y23 1X2X3相应的模拟结构图如下:371-6(2)已知系统传递函数W(s)s(s6(s 1)2)(s 3)2，试求出系统的约旦标准型的实现， 并画出相应的模拟结构图101解：W(s)6(s 1):s(s 2)(s 3)24J 33(s 3)2 s3 s 2sXi3100X10XX303000 0 2 0X2X31 u1X40 0 0 0X41X1y101X24333 x3X41-7给疋下列状态空间表达式Xi010 x10X2230 x

5、21 uX3113 x32X1y001 x2X3(1)画出其模拟结构图(2)求系统的传递函数解:s1 0(2)W(s) (si A) 2s3011 s 3si A s(s 3)22(s 3) (s 3)(s 2)(s 1)得P24(si A)1(s 3)(s12)(s 1)2(ss3)5s(ss3)1(s01)(s2)Wux(s)(si A) 1 B(s 3)(s 2)(s 1)s2(ss323)5ss(ss33)1(s001)(s2)(s 3)(s 2)(s 1)(2s(s 3) s(s 3) -1)(s 3)Wuy (s)1C(si A) B 0(s 3) s(s 3) (2s 1)(s3

6、)(s2)(s1)(2s 1)(s 2)(s 1)1-8求下列矩阵的特征矢量0 1 0(3) A 3021276111i A 3解之得:11, 22,33010P11P11当11时,302P21P211276P31P31P111解得：P21P31P11令P111得R P211P3111276P111(或令 Pn 1，得 R P211)P311X14 12X13 1X21 02X22 7uX31 13X35 3X1y11 20X2y20 11X3（2）412解:A的特征方程I A12(1)(3)201131,23, 31412P11P11当13时，102p213 p21113p31p31P111

7、解之得P21p31P11令P111得RP211（并联分解）P3110 10p12p12当12时，302p222p221276p32p32解得：p222 p12 , p321p122令p122p121（或令P121，得P2p222）1P3220 10p13p13当13时，302p233p231276p33p33解得：p233 p13 , p333 p13令P131pi2p22p32P3Pl3P23p33将下列状态空间表达式化成约旦标准型1-9p121412p11p111当23时，102p213 p21 1113p31p31 1解之得p12p221,p22p32令 p12 1得P2412p13p1

8、3当31时，102p23p23113p33p33解之得p130,p232p33令 p33 1得P3p22p32p13p23p33110012T102T11121010110123181T 1B11227520115334110120314CT01110220310131081x030 x52u约旦标准型00134314yx2031-10已知两系统的传递函数分别为Wi(s)和W2(s)1 11 1w(s) s 1 s 2W2(s)s13 s 400s 2s 1试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果 解：（1）串联联结W(s) W2(s)W1(s)1(s 1)(s 3)

9、1(s 1)2s2 5s 7(s 2)(s 3)(s 4)1(s 1)(s 2)（2）并联联结1 11 1W(s) W(s) W(s) s 1 s21s 3 s 41门00s2s 11-11 （第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为W(s)W2(s)求系统的闭环传递函数 解:w (s)W21 (s)s 211s 1 0I W,(s)W (s) Is 1s01 0 1s 2s 1I W1(s)W2(s)s(s 3)s 2s 3W(s)1IW1(s)W2(s) W1(s)s 1 (s 2)(s 1)1s 1s 2s(s 3)10s 30s 2s 11-11 （第

10、2版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为W(s)W2(s)求系统的闭环传递函数 解:W(s)W(s)I W(s)W(s)s 3s(s 1)s2 5s 2s 311 11IWgW's) W(s)s(s1)s 2ss 2ss5s22s2 1 ss1s 2s 32s31s(s 1)(s 2)2ss( s2)s(s2)s2 5s 222(s2)21s 2s1s s1(s 1)2(3s8)s12 2(s 2) (s5s 2)s25s2s6 s6ss2(s 2)( s2 5s 2)s25s2W (s)1-12已知差分方程为y(k 2) 3y(k 1)2y(k) 2u

11、(k 1)3u(k)试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b（即控制列阵）为1（1）b1解法1:2z 311W(z)2z3z 2z 1z 21 01x(k1)0 2x(k)彳 u(k)1y(k)11 x(k)解法2:xdk 1) X2(k)x2(k 1)2xk) 3x2(k) uy(k)3x1 (k) 2x2(k)x(k0 1 01)23 x(k) 1 u(k)y(k)3 2x(k)11 11 1求使得t1b 1得T1 01所以1 1 T0 14051T 1AT 1 1 0 1 1 10 1 2 3 0 111CT 3 2 3 1 01所以，状态空间表达式为4 0 1z(k 1)

12、z(k)u(k )5 1 1y( k) 31z(k)第二章习题答案2-L证明由严F + 3+叶扣+昭屠“ +孙+=+丄（才+召+A4*雷）F +21+占（才a2b-abaab2ba2十如十妣 +决宀&宀（“存卄討j）（MX护押.二"僅+耳+占（才+ 边+庆）F +十（丄才十丄护已十2乂E】十丄巧尸十3121031将以上二式相减，得尹+即一异 / =占（曲-加财 +ZW+ A+BAB-2B-2A）P + -即詁盯二e*弋蔚#2-2.证明-JL2-175由袂如Z + A3t 2 + Ary + * '*21311W討1 .1-+V i+/ 21_-乞丄证明山218)由“討

13、宀討户+；知 口J 逆阵 p 5 s t pAp = A ,则4 =仪切=且召石是特征根,可知另证，由a Ax若A可对角化，贝归一变抉阵 j 定义其中人=其解为,jf(/) =宀(0);x(t) = px(t) = pgfx(O);又由x(° =悠作(0)；枚G& =护严，1 #注意到舁丄加八+丄厶宁+（1）将213!由塊1"0A0:1J,00入.于是有02入 皆12给00A2 -00脣 092心000A2.才3入23入1 0 '0皆鸥 043 =0000.0鸥2 V000000: A将以上求得的召及其占诸次方的表达式带入 式，令三丄馨严=空有 u此！

14、65;0 評=02!3才覺£（处-1）!陋7（初 _ 2）! 3 矿'（加-3）!陋心这是第d金小块的情况,其余小块类似.得证。牡0 0 003,00/0001 At（和一 1）!4m-2（m 3）t 21 t0 1< »-i（w-1）!£ XI2（w-2）!严（m _ 3）!1证明：2-20） 采用拉氏变换法：©用=H （一3 &1 、 1 1 1 x 、_ "I;j (;:)2 e w b je2J w b 百一b+Je1 .11.1.1i 、)(十)2/ s- cr-s口+丿®2 吕一 cr+j®

15、 s - c- ja?COS Qtsinstti 硫2-4用三种方法计算以下矩阵指数函数Ate o1 1 A= 4 1解：第一种方法:，即1 3时,特征矢量求解得到1由AP11P1得1，得，1p11 3 p1141p21 3 p21即P11p213 n可令14pnp213 p212PlP11p211时，特征矢量P2P12p221 14 1口2P22即P12P22P12，可令P24P12P22P22由AP22 p2，得口2P221 1241 124111 3t1t1 3t1t11e3t0eeeeAt242244e220 et113tt1 3t1teeee2422第二种方法，即拉氏反变换法:s 1

16、1si A4 s 1siAt eL1 si A13t1 t1 3t1teeee22443tt1 3t1teeee222 s 3 s 1第三种方法，即凯莱一哈密顿定理由第一种方法可知13,21131e3t11 et131 3t3 t3tee44e4411t e1 3t1tee4444At1 3t3 t101 3teeee4401413t1t13t1teeee3 t112244e4413tt13t1teeee2 22-5下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A阵2et2t e2e2t2et(3)tt e2t e2e2tt e(4)t1t3t1t3teeee24t3t1t3te

17、eee2解：(3)因为所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件2ett2e 2t2e 2t2t4e2t4e2ete t(4)因为所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件&tt01t3 3t1t3 3teeee2244t3t1t3 3te3eee222-6求下列状态空间表达式的解:y 1,0 x1初始状态x0 !，输入ut时单位阶跃函数解:0 1 A0 0s1sisiAtsi因为Bu-t2-t22122-7 黄、I下式给出的系统?证明：(1)脉沖相应临= (£), x(OJ = xoR, 由状态方程解为；x(i)=界z)x(S)+ f畀T助处把如=0_带入，有X(r) =宀0.)十 r eBu

18、dvx® =严天(0_) + !严IBK"如 洋虑到方函数的特点)0«=/忑十严賦阶跃响应：由状态方程解为：x(t) =畀z池0)+eBu(r)dT把t0 = o_带入，有X0) = &9(0-) +畀I皿的 0.积分,上酸.*它崔+泸疋U>21g*弋曲心+严-（丹）&4 - f）£K=严心+丹一乂紀型-I）BK（3）斜坡响应I由狀态芳程解为；疋）=严f 4%）+ £严-珀氏©辭把% = Q-,肚© = 4、'©带入"有=e<0_） + （护怙也丈讥%血+、皿tS疋F%

19、十严（仃一竺卄迅2 引4!二界為-I-A£）BK2-8 （略）2- 9有系统如图2.2所示，试求离散化的状态空间表达式。设采样周期分别为T=0.1s和1s，而u和吐为分段常数。图2.2系统结构图解：将此图化成模拟结构图列出状态方程&ku1x2X1u2yX22x!1 0xk01 001UixU21 xX2则离散时间状态空间表达式为ex kDuAt eeAtdtB 得:AtCTAt esiT eAtdt0Atdt当T=1时eke 1当T=0.1时0.10.1 ek e0.10.10.90u0.11MO解* G的特征根尢了悩5/3j对应的F为-o.sToj'0.505I 1

20、-1 1JU由w A(O)+v- J -1)由初值和命八可谨推计算 得结果如下；x(l)=(1)x(0)十钦。)也(Q)1/21/E-1+100=-1/B1/81/2301119/Sx(2) = ©(2)签(0) + 眠 0)屉(1) + ©1)股(0)0_ 7+0.2341= sr 卡1 17192-U.it 計殆旅农£AiH THol列（仏氏,C.）也勺扁做乜必郑T肠歌冷往同加空切叼衣芒兀久（知八（I）峠（-e'r）ud>x2（<*9 = “乂同屮±（1_£审你"（Q =厂同旳三r（4j-f久（/八“你） 忒Z

21、TT久（3 = （2 e_T-卩久（b -t（i-e'j（/HG-e）rrl> 久心皿（別丿电（我如1（1 _叭胡2匕-T(."G二% T=OJ s 时t 6。严 G = 1-q.°7弘。.严"Jr o巧门L 0叭小A 1兀二 O2/9 = 0H.OO?2 X/二 6。了。b y(U = O0Q4 与X=5k-4=5：Xg -o.9 兀：so.jb幺幺弓二 o.%4 疋 U62$厂乙=G"财 3")"g35ZF =伉3247 X2 H严 Jf<4) n 0。夕 X =2 38 3? x产。刁07生 yur) = 0

22、.07bfy£ = looH二 O.bbb N.二 Q.33M3 %网=弓3弓卄Y N 7 .劣 *T N 6 2 时0 S1G 一 I _°°严& ° 严”x. U。=O申9 N O£< I£ 二 6可2xz no.歹。厶屮"=600“弓£ *2Na =OEH孔3。|6« >屮砂二 0.0 lb乙 V 6X3&30=0。3匹肛4斗=0,结7Xz d°工？08 Jf<4> 5"3启夕Xf6"7SjjLTj = O町冈4 aloo各=0

23、6 6'7壬二 0. )%B3y8= 3393H 二Q巧“o.oy.b也刑彩匚a 2嶠八勺G/sM纵入u z社 a 5 1耐囘丘冋 '幻.，B. ,CJ r qi-L <9. I bM , 昭入竣半 ga r -屮hT=Q”仏坎Ao - <?,2 5为初殆时彳和定二。.才S刁 二（幻="""）比峠1从一可耳耳血JqD。I O c""> JL討“WJ®.切=C无2垃丿"024第三章习题答案3- 1判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中a,b,c,d的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其

24、取值条件如何?(1) 系统如图3.16所示:图3.16系统模拟结构图解：由图可得:X1ax1u?X2bX2?X3CX3X2X1X1X2CX3?X4X3dX4yX3状态空间表达式为：?X1a000X11?X20b00X20?uX311c0X30?001dX40X4y 00 10 x? ? ?y只与x3有关,由于X2、X3、X4与U无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于 因而系统为不完全能观的，为不能观系统(3)系统如下式:Xi?11X201?X300c0dyX000?0 Xi21Ox?a0u2 X3b0解：如状态方程与输出方程所示,A为约旦标准形。要使系统能控，控制矩阵b中相对于约旦块的

25、最后一行元素不能为0,故有a 0,b 0要使系统能观，则C中对应于约旦块的第一列元素不全为0,故有c 0,d03- 2时不变系统试用两种方法判别其能控性和能观性。解：方法一：AM ran kM i 2,系统不能控。3 1111 1,B,C13111 111-2 -2B AB11-2 -2i iC i i NCA 2244rankN 2,系统能观。方法二：将系统化为约旦标准形2,则状态矢量：AiR 1P1 Pi1A 2 B2P2TT-1AT?12T-1BCTT-1B中有全为零的行，系统不可控。3- 3确定使下列系统为状态完全能控-1111 1，T-1221 -1112212-3 111 -2 0

26、11 -31-10 -421122 111 111 110 02211 1 12 01 -1 1 -10 2CT中没有全为0的列,系统可观。i和i(1)A011 ,b0 2,C解：构造能控阵:Ab要使系统完全能控,2，即构造能观阵:CNCA要使系统完全能观,1，即13- 4设系统的传递函数是y(s) s a32u(s) s 10s27s 18(1) 当a取何值时，系统将是不完全能控或不完全能观的？(2) 当a取上述值时，求使系统的完全能控的状态空间表达式(3) 当a取上述值时，求使系统的完全能观的状态空间表达式解：方法1 : W(s)y(s) u(s)s a(s 1)(s 3)(s 6)系统能

27、控且能观的条件为 W(s)没有零极点对消。因此当a=1,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。方法2:y(s) u(s)sa106(s 1)(s3)(s6)s 1 s311，23，36100 1?X030 X 1u006 1a 1a3 a 6Xy -10615a -1 a 3C不存在全为0的列。因此当a - 615s 6系统能控且能观的条件为矩阵a=1,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。(2) 当a=1, a=3或a=6时，系统可化为能控标准I型0100x001 x0 u1827101y a 10 x(3) 根据对偶原理，当a=1, a=2或a=4时，系统的能观标准II型为0018

28、ax1027x 1 u01100y00 1 x3-6已知系统的微分方程为：y 6y 11y 6y 6u试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。解：a。 6, a1 11, a2 6, a33, bo系统的状态空间表达式为1011传递函数为 1W(s) C(sl-A) Bs11632s36 s211s 6其对偶系统的状态空间表达式为:6116传递函数为W(s) s3 6s26 11s 6片J仔匕抄林羽史打:肚他魄样瞬担衫.B -Z -r>1A.二i 3-9已知系统的传递函数为试求其能控标准型和能观标准型W(s)2s 6s 82s 4s 32解：W(s)s 6s 8“ 2s 51s 4

29、s 3 s 4s 3系统的能控标准I型为0 10xx u-3 -41y 5 2x u能观标准II型为0 -35xx u1-4y 0 1 x u3-10给定下列状态空间方程，试判别其是否变换为能控和能观标准型。0100x230x1u1132y0 01 x01 00解：A230 ，b 1，C 00 11132013Mb AbA2b1272511ran kM 2 3,系统为不能控系统，不能变换为能控标准型C 001N CA 1132CA 179rankN 3,系统为能观系统，可 以变换为能观标准型。3-11试将下列系统按能控性进行分解1210(1) A 010 ,b0 ,C 11 10431解:01

30、4M b Ab A2b000rankM=2<3 ，系统不是完全能控的。139010构造奇异变换阵Rc:Rib0，R2 Ab0，R31，其中R3是任意的，只要满足130Rc满秩01030 1即Rc001得R 1c10 013001 00321ARc1ARc142bRc1b0c cRc 1 2100103-12试将下列系统按能观性进行结构分解1210（1）A 010,b0 ,C1 1 104311210解：由已知得A010 ,b0 ,C 1110431C111则有NCA232CA2474rank N=2<3，该系统不能观1 1 1构造非奇异变换矩阵R01，有R012320 01311则

31、 R02100 010 101X% R01AR0X%R01bu2 30 %2 u7 321y cRo% 1 0 0 %3-13试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解1001（1） A223 ,b2,C1 1 220121 1 1解：由已知得MA AbAb22 12 262 0 2rank M=3，则系统能控c112NcA125cA27411rank N=3，则系统能观所以此系统为能控并且能观系统111取 Tc221226，则 Tc：202142474354002则A 1015，B 301410 ， c cTC2 7 13 2303-14求下列传递函数阵的最小实现（1）w s11 11 1s1

32、解：111001，B01，Ac011101100Be01，Ce1，De100系统能控不能观取R)11 10 1，则 R0所以ARc1AR),i?Rc1BcC CcRo所以最小实现为Am，CmDm1验证：Cm Si Am3-15设1和2是两个能控且能观的系统01： A13，C1(1)试分析由1和(2)试分析由1和2 : A22,b21， C22所组成的串联系统的能控性和能观性,并写出其传递函数;解:(1)1和2串联当1的输出是则 rank M=2<3，2所组成的并联系统的能控性和能观性,2的输入U2时,2x32x-| x2AbA2b并写出其传递函数。4134所以系统不完全能控。W(s) C

33、(sI A) 1 B(s 2)(s 3)(s 4)1s2 7s 12当2得输出y2是1的输入U1时20110341x0 u , y 2 1 0 x0021001因为Mb Ab A2b016124rank M=3 则系统能控c21 0因为NcA32 1cA265 4rank N=2<3则系统不能观W(s) C(siA)1B 1s7s12(2)1和2并联0 100340x1 u , y211 x0 021014MAAbAb2 1413124因为rank M=3，所以系统完全能控c211NcA322cA2654因为rank N=3，所以系统完全能观iw s C si A B匕“Kelt佯牝）菽細控昭利诃勺坏荻互相直 卑善仔f"龙u韦询乳2念他發掘整沟比”目召黑恥翔谪，闲弘存Jj必濮总立段帀r心 # “f?巧心需心和-礼雷3J字堂E械3的托加期烂4用冋* 勺吗所以图中开环及闭环系统为能控、能观性一致第四章习题答案4- 1判断下列二次型函数的符号性质:16 0(1) Q(x)2Xi3x211x3 2x-|X2X2X32x1X3(2) v( x) X11 2 3 4xfxf2X1X26X2X32x1X3解：(1)由已知得Q(