特征根求数列

1、浅谈特征根法在求递推数列通项中的运用高三数学组徐朝生以往浙江每年高考理科数学都会考数列，而且往往以压轴题出现，难度都 比较大，09年浙江高考理科没有考数列大题，文科考了等差数列，题目相对 简单，但在全国其它省市中(如安徽、山东、广东、宁夏、海南、天津、江西 等)经常考数列大题，题目有难有易，比如广东和江西的较难。而各种数列问 题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的 数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。如：(08年广东高考)设p、q为实数，a、B是方程x(1 an)(1 am)(1 ap)(1 aq) 41) 当a= ,b=时，求通项an。

2、5n像上述两道题，如果不能顺利求出数列的通项公式， 就不能继续做后面的题, 想得高分就难，对于那些有可能上重点大学的绩优学生来说重点大学之梦就可 能是两个字一一遗憾。本文就一、两种题型进行探讨，重点强调求解数列通项 公式的方法之一一一特征根法的运用，希望能对部分同学有帮助。类型一、递推公式为anpan 1 qan (其中p，q均为非零常数)-px+q=0的两个实数根, 数列x n满足 Xl=P，X 2=p2-q,x n = pxn-1-qx n-2(n= 3,4,5 )1 )2) 求数列Xn的通项公式。3) 若p =1，q =丄，求数列x n的前n项的和Sn4(09年江西高考)各项均为正数的数

3、列匕鳥中印=a, 0 =b,且对满足m n p q的正整数m,n, p,q都有，an +amap + aq先把原递推公式转化为an 2 -XQ 1 =X2(an 1 -Xian),其中Xi,X2满足X1 X2 P，显然Xi ,X2是方程x2-px-q = 0的两个非零根。X X2 = -q1) 如果a?-花耳工。，则a.2-Xiani=0, a.成等比，很容易求通项公式。2) 如果a? -XiQ =0，则 an 2-Xian.i成等比。公比为X2，所以a. 1 - xn =2 -為耳“:心，转化成：an 1X1ann AX2X2n _2X2=(a2 - X1a1 )(I )又如果xx2，则a专

4、等差，公差为(a2 - g)，X2所以 二爭 (n -1)(a2 - X1aJ， x21即：an 1 二(n -1)2 -“1)区2a2(a2 - X1a1 )n 4an 二一 (n -2)-X2x2x2可以整理成通式：an = (A Bn )x；°Ii)如果 X1 =X2，则令旦沽=bn-1，彳1二 A，2-“1)= B ,就有X2X2bn 1 - Abn二B，利用待定系数法可以求出bn的通项公式厂a1X2(1 X2)、n4(a2 X1ajx2bn()片一x2 x2片 _x2所以an =恥2(1-卷)(鱼严_(a2 -“卷区心，化简整理得: x1 x2x2% x2an =十竺竺X；

5、,% _x2n 1Xi為_x2小结特征根法：对于由递推公式a* .； = pan i qan , ai -a；-给出的 数列a，方程x2 -px-q = 0，叫做数列 a ?的特征方程。若Xi,x；是特征方 程的两个根，当Xi = X2时，数列：an *的通项为an二Ax：' - Bx；，其中A，B由印-a；二：决定(即把 ai,a2,xi,x2 和 n =i,2，代入 an 二 Ax；"1 Bx2,，得到关 于A、B的方程组)；当 =x2时，数列 玄的通项为an = (A Bn)x；，其中A，B 由印 -a2 = 决定(即把,a2, xi, x2 和 n = i,2，代入

6、a (A Bn)x2'，得到关于A、B的方程组)。简例应用(特征根法)：数列"anf： 3an 2-5an i 2an =0(n _ 0, n N)，2 2ai = a, a2 = b 的特征方程是：3x 5x 2 = 0 ； xi = i, x2,3 an"XiBx；6AB(2严。又由 aryb，于是a二 A B；A = 3b - 2aP =3(ab)故an”2a 3(a吨严下面再看特征根法在08年广东高考题中的应用：设p、q为实数，a、B是方程x2-px+q=0的两个实数根，数列xn满足2Xi=p,X2=p-q,x n=pxn-i-qxn-2(n=3,4,5 )

7、i )2)求数列Xn的通项公式i3) 若p = i，q = -，求数列x n的前n项的和sn4解：2)显然 xn=pxn-i-qx n-2( n=3,4,5 )的特征根方程就是 x -px+q=0，而 a、B是方程x2-px+q=0的两个实数根，所以可以直接假设：5 当 a = B 时，设 Xn = (A Bn)n'，因为 xi=p,x2=p-q，所以2a/'Pp q解得彳aP -q - ：pB axn2： P -p2q (P2 - q - p)n:-#当、:.-汕时，设 xn =2 B 一： 2 ,因为 xi=p,X2=p2-q，所以A + B = pA + BP = p2

8、_ q解得A =p2 - t -qP -CL2p Yp-qP -aXnn -1_ap q :n -1-a-a3)1p=1，q蔦时,1=-，由第2)小题的项可以直接得到#xn=(n1)*，可以用错位相减法求和顺利拿下第3)小题本题是08年广东高考真题，开始前两问均以字母的形式出现，给考生设置 了接题障碍，如果在考前曾经学过 特征根法，记住公式，那本题对这同学来说无疑是几分种的事情，或对特征根法有一定的了解，也许是多花点时间的问题， 至少是接题思路和方向明确，绝不会象无头苍蝇一样乱撞。知道特征根法的来龙去脉、公式、以及运用也是学生能力拓展的一种表现。特征根法还能应用于F面一种数列题型的解答:类型二

9、、anpan q ran +h解法：如果数列an满足下列条件：已知ai的值且对于n N，都有a*_q （其中 p、q、r、h 均为常数，且qr, 0,）,那么，ran +hr可作特征方程x=px q ,当特征方程有且仅有一根xo时,如果a xo则 rx +hf 11axo ；如果ai = xo则1.是等差数列。当特征方程有两个相异的根 xi、J an - x0 .1估-X 1X2时，贝U 归生 是等比数列。（证明方法如同类型一，从略）an -X2a +4例：已知数列an满足性质：对于N,an=n ,且a =3,求an的通项 2an +3公式x + 4解：数列an的特征方程为X =,变形得2X2

10、 2x - 4 = 0,其根为2x +3i = 1,_ -2.故特征方程有两个相异的根，则有3-i3 2nJ,n N.Cn/ P ir、n4( )P 一 2-22()n-155Cn -1討汁1,nN.an(-5)n -42 (-5),n N.例：已知数列an满足：对于都有a"13；n：5.（1）若 ar求a"；（2）若ai =3,求a.; （3）若a6,求a.; （4）当ai取哪些值时，无穷数列 何不存 在？13x 25c解：作特征方程x二.变形得x TOx 25 = 0,x +3特征方程有两个相同的特征根'=5.（1） a1 =5r a.对于 n N,都有 an

11、= ' =5;1 r 1 1 T a1 =3,. du./. bn(n -1)(n -1)a,丸pr 丸 3513 151 n 1= 一,令bn =0，得n =5.故数列an从第5项开始都不存在,2 815 n -17当 n < 4, n N 时，an.bnn 5 t aj = 6, = 5,a/.二bn-(n -1)-1n_1,n N.a1 丸p hr8令bn =0, 贝U n- -7 , n. 二 对 于 nN,bn=0.11 l 5n 43=+丸=+ 5 bn n 一1n 78、显然当a1 - -3时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的 解答过程知，a=5时，

12、数列an是存在的，当a1 - = 5时，则有 bn 二 1 （n-1） r = 1 “一1,n N. 令 b 0, 贝U 得a1 人p 打 a _ 58a1, n N 且 n >2.n T5n _13当a1二 3 （其中nN且NA2）时，数列务从第n项开始便不存在。n T于是知：当a1在集合-3或也卫：nN,且n >2上取值时，无穷数列a.n T都不存在。变式：（2005,重庆,文,22,本小题满分12分）数列1an满足 a1 =1 且 8an1an-16an1 2an 5=0（ n-1）.记 bn彳（n -1）.an -2（I）求4、b2、b3、b4的值；（U）求数列bn的通项公

13、式及数列0的前n项和Sn.击解之得,X-或 X22解:由已知,得an/至 5,其特征方程为x16 8an116(an - 刀务1-2 -216 - 8an,an 1512(an )416 8an1an 1 - 亍5an 1 -41b =丄 2nbn 3 211 a22严,4(n _1)31 1ana1 -n 21 2 (1严4a55 ,(2)n anS印_42n52n - 41 1由 bn得 an bnbn 1,1 2an -2故Sn = a1b1 - a2b2 a- Hanbn3(2)51 n=-(b 代2y+bn)+n =+_n = _(2n +5n_1)/21-233F面再欣赏用特征根法解决09年江西高考真题各项均为正数的数列"an 1a1 =a，b = b,且对满足 m n =p q的正整数m,n, p,q都有,an amap - aq(1 an)(1 am)(1 ap)(1 aq)1) 当=5时，求通项an解：由anam(1 an)(1 am)ap aq=: 得an y(1 ap)(1 aq)(1 an )(1