直角三角形的存在性问题解题策略

1、中考数学压I*题解題策IS （3）直角三角形的存在性间题解题策略挑戒压讷題中考数学的作者马学據专题攻略解宜甬三角形的存在性冋题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方禅，第 三步解方程并验根.一般侨况下，按照肓角頂点或者斜迪分类，然后按照三角比或勾股定理列方私有时根据宜角三角形斜迪上的中线等干料遷的一半列方程更简便.解頁甬三角形的冋题，常常和!臥三角形、三角比的冋题联系在一起.如果直角il与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的頁线，可£1构造两个新 的相似直角三角形,迪样列比例方程比较简便.在平面直角坐标系中，两点间的卽离公氏常常用到.怎样画頁角三角形的示意图昵？如果已

2、ill! ftii, V么过直角边的两个端点画垂找，第 三个頂点在垂找上；如果已知斜边，那么以斜边为頁伶画岡，頁甬頂点在岡上（不含iS径的 两个竭点）.例题解析例如图1，在力中，=10, cosz=i. D、F为线段上的两个动点,且DE=XE在。右边），运动朋始时。和B車合，当F和Q車合时运动停止.UF作日7/MC 空AB干F,连结 EBD=x,如果为I角三角形，来x的値.【解折】3%中，乙0是确定的锐角，那么按照頁甬顶点分类，直角三角形B防存在 两种情况.如果把夹乙B的两条边用含有x的氏子表示出来，分两种情况列方程就可以了.jlllS 1-2,作AHIBC,垂足为，册么是的中点.在 RWAB

3、H 中，肋=10, cosz=£,=8.所以=16.BA BC即备护"叫（2图1-2图1-4图1-3 如图 1-3,当 Z BDF 90° 时，由 cosZB = =-,得 BD = -BF BF 554 5解方 f?x = _x-（x + 3）,得 x=35 8RF 44 如图1-4,当厶BFD=Q©时，由cosZB = =-,得BF = -BDBD 55解方岭+等令,得“孕我m看到，在画示意图时，无须受lABC的“限制”，只需要取具确定的乙2例咖图2-1,已ill A. B是找目加上的两点，MN = 4, MA = , MB>. 11 A为 中

4、心顺时甘陡转自，以B为中心逆时针旋转点M便 /V两点車合成一点C,构成 4ABC、设力若厶ABCt.角三角形，求*的值.9图2-1【解析】'ABC的三迪长都可以表示出来，AC=, AB=x, BC=3x. 如果用斜边18行分类，甸条边邵可能成为斜辿，分三种悄况： 若"为斜进,则1=+（3一尤）2,即工_3尤+ 4 = 0,此方程无实根. 若肋为斜边，则宀（3 ，+1,解得兀£ （如0 2-2 ）. 若为斜边，|（3-x）2=1 + x2,解得*害（如E 2-3 ）.因此当a = |或乂 =兰时，HABC龍盲角三角形.33图2-2图2-3例咖图3-1,已訥在平面jg角

5、坐标系中，点力的坐标为（-2,0）,自0是点力关干原点的对林点，P是函数y = -（x>0）图象上的一点，且力是盲角三角形，求点P的坐标 X图3【解析】4 两点是确定的，以找段力为分类标准，分三种情况如果我段力B力頁角边，朋么An AB的垂线，与第一象限的一支豉曲找没有交点;22解方 f? (x+2)° + () + (x + 2)" + ()2 = 4*, t§ x = ±>/2 XX2解方 f?(-)2=Gv + 2)(x-2), f§x = ±V2 的垂裁，有1个交点.g画同，同与双曲线有没有交点呢？先假如有交点，再

6、列方椁，方f?有解那 么就有交点.如果是一元二次方程，那么可能是一个交点，也可能是两个交点.由題意，得点B的坐标力（2, 0）,且LBAP不可能成为頁角. 如图32,当LABP= 90°时，点P的坐标为（2,1）. 方法一：如图3-3,当乙如昭=90°时，OP是LAPB的料边上的中线，OP=2.2,4设 P（x-）,由 00 = 4,得 h+r = 4.解得兀= ±JI.此 W V2,V2）.方法三：如因3-4,由厶AHP®PHB、$PH = AHBHgift解法的方gfttl差异很大，转化力整式方程之后9!是（H这个15次方程 的解是x、M=近皿= x

7、,=-近，宅的几冋豆义就是以力为頁径的同与双曲Sftlfll干P、P两点（如图35 ）.例如图4-1,已«lgSy=A%6经iij5 41,4）,与x抽柑交于点B.若点0是y轴 上一点，ABQ为頁甬三角形，求点0的坐标.图41【解析】和例题3 样，过力、0两点分别画力3的垂找，各有1个点0.和例題3不同，11/IB力直径酉岡，网与F抽有没有交点，一目了然.而岡与取曲线有 没有交点，是徒手画双曲线无沫肯定的.将力(1,4)代人y=kx6,可得£=2.所£lp=2x6, $3,0).设00的长力z分三种情况过论頁角三ft ABQ,如图 4-2,当 LAQB'时

8、，B02QHA、BO QHnt 1解得 7二1 或 777= 3.0,-1)S(0,-3).如图43,当乙少0=90°时，QHAsAGB、QH AGTia'gb®w=-1477解得m = y 此时Q(Q).如图4-4,当乙肋0=90°时，AGBsBMQ、AG空.刪彳斗MQ 43我们以頁角頂点为公共18点,三种侨况的頁甬三角形ABQ, jg角ill制不与坐标軸平行， 构造两个相做的宜角三角形,这样列比例方程比较简便.B知41,-4)、$3,0),设Q0, )，那么禺据两点同的距离公式可以表示出朋,M和 BQ,再按照料边为分类标准列方杈，就不用if图进行“盲解

9、” 了.例咖图5-1, ilftlS线)，=一2/一丄兀+3与X轴交干力"两点(点力在点B的左M ).若-84宜找/it点日4,0), M为宜裁/上的动点,当11 A B、M为Ji点所作的盲角三角形有且只有 三个时，求頁找/的解折貳.图5-1【解析】有目只有三f頁角三角形力翊是什么意思呢？过4 3两点分别AB的垂找，与68/各有一 f交点，那么第三f直角頂点在哪 里？以力为頁径的OG与直线/相幼于点啊！由 y = -x2-A + 3 = -(x+4)(x-2),得力(4)、$2,0), gg=6.848如图52,连结酬，那么GMX在Rt日初中，GM=39 GE=5、所以切=4.因此t

10、anZG£A/=-4设頁线/与F軸交于点C,那么OC= 3.所以直找/(頁线日?)为y = -2x+3.例如图6-1,在力中，CA=CB、AB八、cosZA = l点。是力上的一个动点,5点F与点力关于tCD对称，连塩CE、DE.(1 )求Kffl上的高;(2) 设防与交于点尸，当为jg角三角形时，求力。的长；(3) 连结捡当/疋是頁角三角形时，AD的长.图6-1【解折】这道题目画示意图有技巧的，如果將点Q看作壬动点，那么防就是从动线段反 过来画图，点F在以以为半径的06上，如果把点F看作壬动点，再nACE的平分线就 产生点。了.(1) 如图6-2,设上的高力67/,那bAH=BH=

11、A.在 RtA/167/ip, AH=A、cosZA = i, ffiJl =5, 67/= 3.5(2) 如图6-3,当乙力力=90期，F是力的中点，力尸=4, CF入.在 Rt财氏 EF=CE-CF=2、cos ZE = ，DE = -此时 >4D = DE = -.如图6-4,当LACF 90° B,乙血加45°,那么力CD的条件符合“角边角；作 DGA.AC,垂足为 0.敎 DG= CG= 3m,那么 AD= 5/77, AG= 4m.由 CA = 59 得 7/77= 5.解得 m = lit N AD = 5m =图6-2图6-3图6-4(3) 因力少1=QF,两以只存在LADE 901fi<8 如图6-5,当F在ABJ方时，根据对林性，訥乙册=乙6/疋=135°, MLCDH是 等腰頁角三角形，D