直线的倾斜角与斜率

1、直线的倾斜角与斜率 儘撰稿：赵代立责编：丁会敏一、目标认知l-i学习目标：商1了解直线倾斜角的概念，掌握直线倾斜角的范围；2理解直线斜率的概念，理解各倾斜角是时的直线没有斜率；3已知直线的倾斜角（或斜率），会求直线的斜率（或倾斜角）;4 掌握经过两点.和-一 _ 的直线的斜率公式：j 1（亠二）；5.熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件重点：31 直线的倾斜角和斜率的概念；2.两条直线平行和垂直的条件难点：猛1 直线斜率存在与不存在的分类讨论2两直线的平行与垂直问题转化与两直线的斜率的关系问题二、知识要点梳理知识点一：直线的倾斜角商平面直角坐标系中，对于一条与：轴相交的直线，如果把轴绕着交点按

2、逆时针方向旋 转到和直线重合时所转的最小正角记为二，则二叫做直线的倾斜角规定：当直线和一轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是5住1刖.要点诠释：1要清楚定义中含有的三个条件 直线向上方向； 丄轴正向； 小于1 '的角2从运动变化观点来看， 直线的倾斜角是由:.轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成 的角3倾斜角二的范围是 d - i ：'.当:$=:'时，直线与x轴平行或与x轴重合4直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有惟一的倾斜角和它对应5已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置知识点二：直线

3、的斜率商倾斜角不是列的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即: 亠要点诠释：1.当直线.与x轴平行或重合时，r? =0 ° , k=tanO ° =0;2直线.与x轴垂直时，二=90 ° , k不存在.由此可知，一条直线.的倾斜角二一定存在，但是斜率 k不一定存在.知识点三：斜率公式猛已知点、丄一 丨，且:;. 与.轴不垂直，过两点的直线的斜率公式J '1 .要点诠释：1. 对于上面的斜率公式要注意下面五点：(1) 当X!=X2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角二=90 °，直线与x轴垂直；(2) k与Pi、P2的顺序无

4、关，即yi, y2和Xi, X2在公式中的前后次序可以同时交换，但 分子与分母不能交换；(3) 斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；当yi=y2时，斜率k=0，直线的倾斜角 二=0°，直线与x轴平行或重合；(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到.2. 斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：(1)由"、二点的坐标求：的值；已知:及中的三个量可求第四个量;已知及丄1、.的横坐标(或纵坐标)可求2?'.(4)证明三点共线知识点四：两直线平行隘设两条不重合的直线；v的斜率分别为【匸.若；，则1与V的倾斜角 J与：相等.由可得：二二一定

5、鈔，即因此，若：，则"二二.反之，若如：，则J ' - 要点诠释：1公式 '|:.':=:门二厂成立的前提条件是两条直线的斜率存在分别为':- ' J ;2当两条直线的斜率都不存在且不重合时，'口：的倾斜角都是耳'，则； j .知识点五：两直线垂直蠢设两条直线；1的斜率分别为匸.若一”叮：匚二-.要点诠释：1公式' = 1匚一 1成立的 前提条件是两条直线的斜率都存在；2.当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直.三、规律方法指导蛊|1 由斜率的定义可知，当二在范围内时，直线的斜率大于零；当二在

6、:范围内时，直线的斜率小于零；当 -11时，直线的斜率为零；当 Q :川时，直线的斜率不 存在直线的斜率与直线的倾斜角（页r除外）为对应关系，且在°型）和（9°阿范围内分 别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然因此若需在°）或（90',180）范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然.2 直线的斜率可用于直线的平行 （重合）、垂直等位置关系的判断，直线倾斜角的范围、 大小的判断、求解及直线方程的求解等.3我们在判断两直线的平行与垂直时，往往先判断直线的斜率是否存在，然后再根据具体情况进行判断；4判断两直线平行时，易忽略两直

7、线重合的情况，需特别注意；5.平行、垂直的判断中，斜率不存在的情况易忽略致错，需特别注意经典例题透析商|类型一：倾斜角与斜率的关系 焉1.已知直线.的倾斜角的变化范围为二C2)，求该直线斜率的变化范围； 閉思路点拨：已知角的范围，通过正切函数的图像，可以求得斜率的范围，反之，已知斜率的范围, 通过正切函数的图像，可以求得角的范围解析：tan ae总结升华：在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围，或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时，可利用“二,-'1 -在一和_'和上是增函数分别求解当“时，'"J；.、 HE (f/Ij当'J.时，一 ；当：.时，

8、Q I ;当*不存在时,开df 2 反之，亦成立.举一反三:【变式】(2010山东潍坊，模拟)直线II的倾斜角的范围是开 ttY (7T 5ttB.r 5tt盯C.【答案】B解析：由直线II所以直线的斜率为COSS7T 57V设直线的倾斜角为又因为tan 3 ,2 .已知 ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在边BC的右侧，/ BAC的平分线在x轴上，求边AB与AC所在直线的斜率忘思路点拨:本题关键点是求出边 解析：AB与AC所在直线的倾斜角，利用斜率的定义求出斜率如右图，由题意知/BAO= / OAC=30=kAC =ta n30° =匚直线AB的倾斜角为180° -30

9、° =150°,直线AC的倾斜角为30°,二 kAB=tan150 °总结升华：在做题的过程中，要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件直线向上方向：轴正向 小于'；，的角，只有这样才能正确的求出倾斜角举一反三：【变式1】如图，直线的斜率分别为'-，则（）A. ：. - - B. D. < - 【答案】由题意,本题选题意图：对倾斜角二变化时，T如何变化的定性分析理解选B.类型三：斜率公式的应用3 .求经过点二匚，直线的斜率并判断倾斜角 为锐角还是钝角.審思路点拨：已知两点坐标求斜率，直接利用斜率公式即可 解析：V ab 10 且经过两点的

10、直线的斜率b-mb itan = -即一；即当.；L.时，二为锐角，当' .II时，二为钝角.总结升华：btan Ch* 本题求出 但一的符号不能确定，我们通过确定 丄一的符号来确定:的符号当；II时,，为锐角；当时，二为钝角.举一反三：【变式1】过两点上 二，川匚一.；一二；|的直线.的倾斜角为 T,求的值.【答案】由题意得：直线-的斜率- 1,匕二山_片_2/ + 3AA= 1故由斜率公式-'j <-一厂一厂 -,解得< -：1或二 2.经检验- -1不适合，舍去.故，I.【变式2】匸为何值时，经过两点（-匸,6）, （1,：）的直线的斜率是12.【答案】即当二

11、 一时，J两点的直线的斜率是 12.4 .已知三点A(a , 2)、B(3 , 7)、C(-2, -9a)在一条直线上，求实数a的值.商思路点拨：如果过点AB , BC的斜率相等，那么 A, B, C三点共线.解析:,7-2 5 ,7 + 9盘 7 + 9逢血 3-a 3-a 恥 3 + 25/ A、B、C三点在一条直线上，kAB = kAC .5 _7 + 9a I7!5亠、 . ? 解之有汁2或“二9总结升华：斜率公式可以证明三点共线，前提是他们有一个公共点且斜率相等举一反三：【变式1】已知，这三点是否在同一条直线上，为什么?【答案】经过，J两点直线的斜率-经过，两点的直线的斜率所以，丄，

12、三点在同一条直线上.【变式2】已知直线的斜率 4 2,恥5),咚7), C(7 y)是这条直线上的三个点，求.和的值.【答案】由已知，得工-3 ；%”m -4 .因为一丄，三点都在斜率为2的直线上,2 =2所以J汽2，. .解得._，"二类型四：两直线平行与垂直痣05四边形丄的顶点为,试判断四边形，二1_二的形状 喘思路点拨：证明一个四边形为矩形， 我们往往先证明这个四边形为平行四边形，然后再证明平行四边形的一个角为直角解析：-，CD 边所在直线的斜率-，一边所在直线的斜率一二边所在直线的斜率'上：-,1-二上，即四边形 二|_二为平行四边形.:.ABLBC ，即四边形 AB

13、CD 为矩形.总结升华：证明不重和的的两直线平行，只需要他们的斜率相等， 证明垂直，只需要他们斜率的乘积为-1.举一反三：【变式i】已知四边形 亠-的顶点为二：，-,一，二-，求证：四边形为矩形.【答案】由题意得二1边所在直线的斜率 '亠_ - 边所在直线的斜率匚二一-边所在直线的斜率-QM 边所在直线的斜率 咕二所以四边形-'为平行四边形,又因为* _L即平行四边形为矩形.【变式2】已知】1 ,丄-，八 三点，求点二，使直线匚，且I 【答案】设点丄的坐标为：J:，由已知得直线J的斜率-；直线 CD 的斜率；直线 CB 的斜率k _+1丄：一-；直线丄的斜率厂上一.丄'

14、P+1 二 _2.由CD丄血，且CB " AD得L-i解得x二0,尸1.所以，点丄的坐标是(0,1)【变式3】（2011浙江12）若直线-?【答案】因为直线与直线-1-互相垂直，所以一II，所以 '-与直线-：-互相垂直，则实数 匸学习成果测评基础达标：商1、下列说法中正确的是（）A .一条直线和x轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角B 直线的倾斜角住的取值范围是第一或第二象限角C.和x轴平行的直线，它的倾斜角为180° .D .每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率2、（2011山东外国语学校二模）已知函数）的图象的一段圆弧（如 图所示）0 &l

15、t;1,血）念）B. '1C. '1D.前三个判断都不正确_3、过点M（-2 , a）, N（a , 4）的直线的斜率为，则a等于（）.A . -8B. 10C. 2D. 44、（2011山东外国语学校二模 8）将一张坐标纸折叠一次，使点（10, 0）与'重 合，则与点重合的点是 （）.A.B.C.1D.5、（2010山东青岛，模拟）设直线.与丄轴的交点是 P,且倾斜角为二，若将此直线绕点P按逆时针方向旋转45°,得到直线的倾斜角为 一、，则（）A 一”B .D.6、直线.的倾斜角是斜率为:的直线的倾斜角的2倍，则.的斜率为（）B. J-：7、（ 2010辽宁

16、沈阳，模拟）若直线.经过点 :和- -1 且与经过点（-2, 1）,_2斜率为J的直线垂直，则实数必的值为.8、已知点P（3, 2）,点Q在x轴上，若直线PQ的倾斜角为150。，则点Q的坐标为9、经过点, 1）, J（-3, 4），'经过点（1,'）, - （-1 , 1）,当直线与'平行时，求的值.10、已知 二，二，二三点 ，试判断_ /的形状.能力提升：磁11、如图，若图中直线的斜率分别为k1, k2, k3，则（）A ki<k2<k3B. k3<ki<k2C. k3<k2<kiD. ki<k3<k212、 若直线.

17、的倾斜角满足-'-：，则丁的取值范围是()23762C.0 <6 <sJS <6<n<&<7T326313、 若直线/的斜率k=si ng，其倾斜角的取值范围是 .14、 若经过点A(1-t, 1+t)和点B(3, 2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是15、(2010北京丰台，模拟)已知线段 PQ两端点的坐标分别为(-1 , 1)、( 2，2)，若 直线' '：-'1I与线段PQ有交点，求m的范围.综合探究：鬲16、已知函数 -l - -j.-*!'，且，则1 的大小关系为()了、f©了严

18、邓” f©>> <<A . 一11:B . 一:1Ab) f 张)f(a) /(c) f(b)> > <C.丨：D.£: 17、 设直线的斜率为函数-二的最小值，求直线.的倾斜角“.y18、 已知实数；满足-'-，当一 H 一时，求的最大值与最小值19、在直角梯形 ABCD中，已知 A(-5 , -10), B(15, 0), C(5 , 10), AD是腰且垂直于 两底，求顶点D的坐标答案与解析： 基础达标：W1、【答案】D【解析】一条直线向上的方向和 x轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角；直线的倾斜角 二的取值范

19、围是 '工.2、【答案】C了(可)/(引【解析】因为斤 % 可视为曲线上两点 (环人砧)血馆) 与原点连线的 斜率，X 作图易得 1<3、【答案】B4-a1 【解析】由题意 Q - (-2)2，解得In.4、【答案】A【解析】由条件知以(10，0)和 二；为端点的线段的垂直平分线为；，则求与点重合的点即为求点 (-4,2)关于直线“的对称点，求得为 二5、【答案】D【解析】解答此题应紧扣直线的倾斜角的取值范围，还要注意与x轴相交的直线的倾斜角不能为 0 °,Jo°<a<180°所以有叱时4亍<i时，.哄*13亍.6、【答案】B【解析

20、】斜率为 _的直线的倾斜角为，2倍为II ,则； /-：.7、【答案】23【解析】1aI 3丿2由于直线I与经过点（-2, 1）且斜率为_的直线垂直，可知J .2二一一5 .8、【答案】（3+2点0）【解析】设点Q的坐标为（心卫），由题意,解得'.-： -/所以点Q的坐标为 （3+2 眛）即用一二.10、解：.边所在直线的斜率丄T边所在直线的斜率I-.由J上'所以上是直角三角形.能力提升：硫11、【答案】BA打 ；就誉代 0 <a. <a2 <- <a.【解析】设直线的倾斜角分别为'1,1 ：，则" J根据正切函数的图像可得 'j .12、【答案】Cm _s0<5< 或 £ <0<打【解析】倾斜角的范围是一 - 1，由正切函数的图像可知二故选C. 7VU'37113、【答案】4L 4丿【解析】由于 -1细弘1 ，所以 1<<1 ，根据正切函数的图像,14、【答案】-2<t<1【解析】因为经过点 A（1-t，1+t）和点B（3，2t）的直线的倾斜角为钝角, 所以过点A（1-t，1+t）和点B（3