立体几何之内切球外接球习题讲义教师版

1、liiI梦敦育中心立体几何中的"AT与"外接"问題的探究 1球与柱体观则的柱体，如正方依、长方体、正棱柱等能昵和球进行充分的组合，以外接和切 两种形态进行结合，通过球的半径和梭柱的様产生联系，然后考査几何休的体枳或者 表面枳等相关问题.1.1球与正方体如图1所示，正方体ABCQ A£C4,设正方休的校长为a, E,F,H,G为校的中点，0 为球的球心。常见组合方武有三类：一是球为正方体的切球，截面图为正方形EFHG和其切圆， !iN|OJ| = r = |;二是与正方体各棱相切的球，戡面图为正方形EFHG其外接圆，9OG = R = a；三是球为正方休的

2、外接球，截面图为长方形ACC内和其外接圆，州A0 = R=竿.通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合间题，常用工具是截面图，即根 据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方依 的校与球的半径的关系，进而將空间间题转化为平面问題OAB图1例1棱长为1的正方体ABCD-AC的8个顶点那在球O的表面上，E, F分别是様 側,的中点，呱直线EF被球。截得的线段长为（）A.返B. 1 C. 1 +返 D. >/22 2箫：由题意可知，球为正方体的外接球平而肚四截面为得圆面的丰徑R = =,-：SFc面就站,:.M EF麴0濮艦段为魁範甌直径2R = .2 21.

3、2球与长方体长方体各顶自可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在切球.设长方 休的棱长为其体对角线为/.当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面 和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径R =；宀八F .2 2例2在长、宽、高分别为2, 2, 4的长方体有一个半径为1的球，任意瞿动此长方体, 呱球经过的空间部分的休枳为（）10u8 IT7ITAB.4” C D 解：利用运审的视点分析在小球移瓦I的过程中，进过部分的几何肚.因半径为1的小球恰奸为械怏为2的正方兔的內切球.抜4、跋经过空间由上往TWXj：半个小珑、高为2的同柱和半个小珑.三部分的他积为：xlSxix2

4、+7TKl；!x2= 7T.3231.3球与正祓柱球与一般的正様柱的组合休，常以外接形态居多。下面以正三様柱为例，介绍本类题目的解法一构造直角三角形法。设正三様柱ABC ABC的高为力，底面边长为"，如 图2所示，D和卩分别为上下底面的中心。根据几何依的特自，球心必落在高D卩的中点。，OD=AO = R,AD = a ,借助直角三角形AOD的勾股定理，可求例3正皿棱柱ABCD 的各项点都在半径为R的球面上,则正皿棱柱的侧面枳有 最值，为.解，如图3,戡面图为长方形ACC和其外接国球心EEX的中点6 则R = OA.设正四棱枉的侧棱长沟& ,底瓦辺长为”，则 虫C =、伍 a,

5、4E =匹 a,OE = ?,炉=(2 2 2 2:.4R2 = 2/ +护,则正四枝柱的侧面积:S=4Q= a/2 2a 旋心旋 3+ 2夕）=4 旋" 古艾侧面积有战:AQ, 湘4、f疋，当且仅当心=旋0时等号感B .2球与锥体观则的錐体，如正呱面体、正棱推、特殊的一些棱推等能筋和球进行充分的组合， 以外接和切两种形态进行结合，通过球的半径和梭推的棱和高产生联系，然后考査几 何休的体枳或者表面枳等相关间题.2.1球与正四面体正四面体作为一个规则的几何体，它撕存在外接球，也存在切球，并且两血合一，利 用这点可顺利解决球的半径与正四面体的梭长关系。如图4,按正四面体$-ABC的稜长为

6、。，切球半径为厂，外接球的半径为心取A3的 中点为D, E为S在底面的射影，连接CDSDSE为正四面体的高。在截面三角形SDC, 作一个与jjlSD和DC相切，圆心在髙SE上的圆，妙为幼球的截面。因为正四面体本身的对称性可知，外接球和切球的球心同为。此时，CO = OS = R,OE = r, SE = a,CE =耳“，JH 有 R + r =R2 -r2 =|CE|2 =» 解得："孚片和这个解法是通ii利用两心合-的思路,建立含有两f球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现，球心。为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些 数量关系，可为解题带来极大的方便.

7、1;4将半径那为1的四个銅球完全装人形状为正四面体的容器里，这个正皿面依的高 的最小值为（）A /T + 2“b 2 | 2应 c 彳卜 2 Ad 4/J+ 2书'3 丁 31W. “容器四而悴”中的題四个小球，以四个小球沟球心沖顶点构威了一个槪爆油2的“球心正四面悴”，这个四面体的高是“单位正四面体”高（竺）的2信即湘三竺.“球心正四面体”的底面到“容器正四 面体”的地面対小球半径1,而“球心正四面体”顶点到“容器正四面体”的顶点的距离湘（小球半径的3 15）.于是“密器正四面際"的鬲两里十$十1,选捽C.这个“小球半径旳3 （咅"是这样想.的，敝一个小球的外M正

8、四面体，迪个小球球0与外切正四面g的中0車合，而正皿面体的中心月頂点的胞离是中0到地面距离的3倍.2.2球与三条值校互相垂直的三棣锥球与三条侧梭互相垂直的三梭锥组合冋题，主要是体现在球为三棱推的外接球.解决的基本方法是补形法，即把三梭柱补形成正方体或者长方体。常见两种形式：是三棱推的三条校互相垂直且相等，则可以补形为一个正方依，它的外接球的«-T球心就是三棱锥的外接球的球心。如图5,三棱锥A.-AB.D.的外接球的球心和正方体ABCD-AC.D,的外接球的球心重合，设心产"二是如果三様推的三条侧棱互相垂直且不相等，呱可以补形为一个长方体，它的外接球的球心就是三校雉的外接球的

9、球心，rS：y 厶（/为长方U的体对角线长）。44例5在正三棱its ABC中，M、7V分别是H SC. BC的中点，冃AM丄MTV,若侧校S4 = 2jJ,则正三様锥S ABC外接球的表面枳是。三棱锥S-ABU外接球的志页积是.如图6.正三梗锥对憐相互垂直即虫C丄S3又S3/ MU.：. M科丄丄QM, 辺7丄平面SAC.于是S丄平面SAC.：.，曲丄Q4.S丄;从而金4丄SU.此时正三橙锥0-虫左0的三务侧悵互桐垂玄并且相等披将正三棱锥补形为正方体球的半径2.3球与正棱锥球与正板维的组合，常见的有两类,是球为三棱维的外接球，此时三梭錐的各个顶点在球面上，根据截面图的特点, 可以构造直角三角

10、形进行求解.二是球为正棱维的切球，例如正三様雉的切球，球与正三梭推皿个面相切，球心 到呱f面的距离相等，部为球半径乩这样求球的半径可转化为球球心到三棱錐面的扼离，故可采用等体枳法解决，即四个小三校錐的依枳和为正三校錐的依枳.例6在三棱锥P-ABC中，PA = PB=PC= >/3,IO PA与底面ABC所成的角为60°,则该三様锥外接球的体枳为（）解，如图7所示，过P点作底面屈C的垂绕.垂.足为0,设左为外接球的球心，AH,A0,因ZPA0 = 6J,PA=书,故 A0 = ,P0=-t又 AHO 为 亘角三 角形，22图？AH = PH = r,:. AH2 = A02 +0

11、0,2.4球与特殊的校锥球与一些特殊的棱锥进行组合,-定要抓住梭锥的几何性质，可综合利用截面法、补 形法、等进行求解。例如，呱面体部是直角三角形的三棱錐，可和用直角三角形斜边中点几何特征，巧定 球心位置。如图&三棱iS-ABC,满足SA丄面ABC, 丄BC,取SC的中点为0,由直角三角形的性 质可得：OA = OS = OB = OC,所以O点为三梭推S-AB C的外接球的球心,则R = .ft 7矩形A3CD中，AB=4,8C = 3,油AC将矩形A3CD折成一 f直二面角B-AC-D, ffl 面ft ABCD tfj外接球的体枳是（）A.巴rB逻；rC.空兀D.逻；r12963f

12、t=曰题肯分析可知，四面体期CD的外捋球的球心落在4C的中点，此时満足OA = OD = OB = OC,22363球与球对个多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体冋题，要求有丰富的空间想象能 力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心的位置关系， 或者肝借截面图等方法,將空间间题转化平面冋題求解.例8在半径为的球放入大小相等的4个小球，则小球的半径的最大值为（）A. (V?- 1)-?B (苗一2；虫图9C.yJ?D. yJ?輪.要傍:得小球的半径骯大，需快得4个小球的球心育一个正四面体的 四个顶点，如图9所示，此时正四面处A - BCD的外接球的球心为6 即因半径肉R的

13、球的球心，PJJlO = -r,X因O为虫O的四分点、，故4HO】=（虫一尸）多在RiKABOl中，AB = 2厂,旳=|屈,（去一刀胡2 =门厂）2 _（|屈尸，.厂=（庞一 2）尺4球与几何体的各条棱相切球与几何体的各条梭相切问题，关鍵要抓住梭与球相切的几何性质,达到明确球心的 位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.，V2如与正呱面体各棱部相切的球的半径为相对棱的一半：'4：« 8把一个皮球放人如图10所示的由8根长均为20 cm的鉄丝接成的四棱推形骨架,使皮球的表面与8根铁丝那有接験点，则皮球的半径为（）A. 0l3cm B 10c？ C 0i2cm D 3

14、0cm图IQW 如图11所示，由题意球心在AP上，球心沖6 过0作BP的垂线ON垂足为N, ON=R, OM=R,因沟各个棱都次1 20,所以AM=1O. BP=20, BM=1O. AB= 1 02 ,设 ABPA = G 在 AZA BPM 中，= BM2+PM2 ,所以 PM = 103 在 AzA PAM 中，PM2 = AM2+AF.所以PA = 10V2 在 RtA ABP 中，血丝=匹=翌,BP >:（）>在Rih ONP中图11sin Cd =ON ROPOP，所以= (10/2-V2A)2 4-100,所OP = 42R 在 RtA CAM 中，QM2 = AO2

15、所以,OP 2 解得，虑=10或30（咅）.所以，R = Wcm.故选B综合上面舸皿种类型，解决与球的外幼间题主要是指球外切多面依与旋转体，解笞时 首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面 休过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的接IO.解决 这类|可題的关鍵是抓住接的特点,即球心到多面体的硕点的距离等于球的半径.发挥 好空间想象力，借助于数形结合进行转IE, IO即可得解.如果是一些特殊的几何体, 如正方体、正呱面依等可以借血结论直接求解，此时结论的记忆必须准确.外接球切球IHJ題1（理）一个正三様锥的四个顶自部在半径为1的球面上，其

16、中底面的三个硕点在 该球的一个大圆上，呱该正三校推的体枳是（）A.秀B.逼C.逼D.匣43412答案B2.直三様柱ABC-ABG的各顷点胡在同一球面上,若AB = AC = AAl=2,ZBAC = 120°1则 此球的表面枳等于。解:在AABC中AB = AC = 2,ZBAC = 120°,可得BC = 2羽,由正弦定理，可得AABC外接圆半径匸2,设此圆圆心为O,球心为0,在R7SOBO中，易得球半径/? = >/5 ,故此球的表面枳为4ttR = 20兀3.正三様柱ABCWG接于半径为2的球,若礼B两点的球面距离为江，则正三梭柱的 体枳为.笞案84 表面枳为2

17、的的正八面体的各个硕点都在同一个球面上,则此球的体枳为A. HB. 3C. JD. 土兀3333答案A【解析】此正八面休是每个面的边长均为。的正三角形，所以由8x学=2石知，d = l,4则此球的直径为血,故选A。5 已知正方体外接球的依枳是争，朋么正方体的棱长等干（）A.2V2答案D6.（卷）正方体的切球与其外接球的体枳之比为（）A. 1 ： >/3 B. 1 ： 3C. 1 ： 373D. 1 ： 9答案C7.（、理科）一个穴棱柱的底面是正穴边形，其侧棱垂直底面.已知该穴棱柱的硕点 部在同一个球面上，且该穴様柱的体枳为?底面周长为3, i g t球舸体枳为.答案¥&（天津理）一个长方体的各顶点均在同一球舸球面上，且一个顶点上的三条様的长 分别为1, 2, 3,则此球的表面枳为.答案14兀9.（全国II理）一个正四棱柱的各个硕点在一个直径为2 cm的球面上。如果正四梭柱 的底面边长为1 cm,朋么该様柱的表面枳为cm2.答案2 + 4血10. （ ） im图，半径为2的半球有一接正穴P-ABCDEF,册此正穴棱錐的侧面枳是答案6" "（省一中）棱长为2的正皿面体的皿个顶点那在同一个球面上，若过该球球心的一 个截面如图，呱图中三角形（正四面休