第10练-计数原理、概率、随机变量及其分布列解析版

1、第 10 练- 计数原理、概率、随机变量及其分布列、单选题1七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）15A 3600 种【答案】 AB 1440 种C4820 种D 4800 种解析】分析】不相邻问题用插空法，先将除甲乙外的其他【详解】5 人全排列，再将甲乙2 人插入 6 个空中，即可第一步，先将除甲乙外的其他5 人全排列， A55 5 4 3 2 1 120 种2第二步，将甲乙 2 人插入 6 个空中， A62 6 5 30 种52 则不同的排法种数是 A55gA62 120 30 3600 种故选： A【点睛】 本题考查排列问题，插空法是解决本题的关键.属于较易

2、题 .2从集合 A，B，C，D，E，F 和1，2，3，4，5，6，7，8，9 中各任取 2 个元素排成一排（字母和数字均不能重复）则每排中字母 C 和数字 4，7 至少出现两个的不同排法种数为（）A 85B 95C2040D 2280【答案】 C【解析】【分析】根据题意，分2步进行分析：先在两个集合中选出4个元素，要求字母 C和数字4, 7至少出现两个，再将选出的 4个元素全排列，即得解 .【详解】根据题意，分 2 步进行分析：，先在两个集合中选出 4个元素，要求字母 C和数字4, 7至少出现两个，若字母C和数字4，7都出现，需要在字母 A，B, D，E, F中选出1个字母，有5种选法， 若字

3、母C和数字4出现，需要在字母 A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、& 9中选出1个数字，有5X7= 35种选法，若字母C和数字7出现，需要在字母 A, B, D , E, F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1 个数字，有5X7= 35种选法，若数字4、7出现，需要在字母 A, B, D, E, F中选出2个字母，有C52 = 10种选法， 则有 5+35+35+10=85种选法，将选出的4个元素全排列，有 A4Q 1 2x 1 x = 24种情况，则一共有 85X24= 2040 种不同排法；故选： C【点睛】 本题考查了排列组合综合,考查了学生综

4、合分析,转化化归,分类讨论的能力,属于中档题43. 1 2x 1 x的展开式中x3的系数为（）A 12 B 14 C 16 D 20【答案】C【解析】【分析】将代数式变形为41 2x 1 x441 x 2x 1 x ,求出展开式的通项，利用 x的指数为3，求出参数值,然后代入展开式通项可求得x3 的系数 .详解】441 x 2x 1 x展开式通项为 Tr,kC4rxr2xCkxkC4rxr2C4kxk323，得r 3, k 2，则展开式中x3的系数为C4 2C4 4 2 6 16.故选： C.【点睛】 本题考查了二项展开式中指定项的系数问题,考查计算能力,是基础题.4. 某人设计一项单人游戏,

5、规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形 ABCD （边长为 2个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（i 1,2, ,6） ,则棋子就按逆时针方向行走 i 个单位,一直循环下去 .则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点 A 处的所有不同走法共有（ ）A . 22 种 B . 24 种 C . 25 种 D . 27 种【答案】D【解析】分析：抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的表示三次骰子的点数之和是8,16，列举出在点数中三个数字能够使得和为8,16的125;134;116;224;233;466;556 ，共有7种组合，利用分类计数

6、原理能得到结果详解：由题意知正方形 ABCD （边长为2个单位）的周长是 8，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的表示三次骰子的点数之和是8,16，列举出在点数中三个数字能够使得和为8,16的有125;134;116;224;233;466;556 ，共有7种组合，前2种组合125;134，每种情况可以排列出A 6种结果，3共有2A 2 612种结果；116;224;233;466;556各有3种结果，共有5 3 15种结果，根据分类计数原理知共有 12 1527种结果，故选D.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组

7、合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件解题过程中要首先分清是分类还是分步”、是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率5. 吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的 戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支， 若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同,则口香糖吃完时还剩2支香烟的概率为（)18_AB51533C.D .520【答案】D【解析】

8、【分析】口香糖吃完时还剩2支香烟”即第四次取到的是口香糖且前三次有两次口香糖一次香烟，根据古典概型计算出其概率即可【详解】由题：口香糖吃完时还剩 2支香烟”说明：第四次取到的是口香糖， 前三次中恰有两次口香糖一次香烟，记香烟为Ai,A2,A，口香糖为B1,B2,B3，进行四次取物，基本事件总数为：6 5 4 3 360种事件口香糖吃完时还剩 2支香烟”前四次取物顺序分为以下三种情况：烟、糖、糖、糖:3 3 2 118种糖、烟、糖、糖:33 2 118种糖、糖、烟、糖:32 3 118种包含的基本事件个数为:54,所以，其概率为54336020故选：D【点睛】此题考查古典概型，解题关键在于弄清基

9、本事件总数，和某一事件包含的基本事件个数，其本质在于计数原理的应用6 我国古代有着辉煌的数学研究成果.周牌算经、九章算术、海岛算经、孙子算经、缉古算经等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期某中学拟从这10部专著中选择2部作为 数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为()14 12A B C D 15 159"【答案】A【解析】【分析】设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A，可以求P(A),运用公式P(A) 1 P(A),求出P(A).【详解】设所选2部专著中至

10、少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A ,所以P(A)=C2，因此 P(A) 1P(A)=114，故本题选 A.151515【点睛】本题考查了求对立事件的概率问题，考查了运算能力D( 1)P1(1 P1), D( 2) P2(1 P2)，二 D( 1) D( 2) ( P1P2)(1P1P2)0 ,故选 A.7.已知随机变量i满足P ( i =1)=Pi,P ( i =0) =1 pi,i=1 , 2若 0<p1<p2< ，则A . E( J<E( 2),D( 1)<D( 2)B.E( J<E( 2), D(1)>D( 2)C. E( J>E( 2

11、),D( 1)<D( 2)D.E( 1)>E( 2), D(1)>D( 2)【答案】A【解析】 E( 1)P1, E( 2)P2，二 E(1)E( 2),X的取值情况，然后利用排列，组合【名师点睛】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定 与概率知识求出 X取各个值时的概率.对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.由已知本题随机变量服从两点分布，由两点分布数学期望与方差的公式可得A正确.8有甲、乙两个盒子，甲盒子里有 1个红球，乙盒子里有 3个红球和3个黑球，现从乙盒子里随机取

12、出n1 n 6,n N*个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着n 1 n 6,n N*的增加，下列说法正确的是（）A. E增加，D增加 B. E增加，D减小C. E减小，D增加 D. E减小，D减小【答案】C【解析】【分析】由题意可知，从乙盒子里随机取出n个球，含有红球个数 X服从超几何分布，即X : H 6,3, n，可得出n11EX，再从甲盒子里随机取一球，则服从两点分布，所以 E P 12 2 2n 21 iDIP 1 -，从而可判断出E和D的增减性.2 2n 2【详解】由题意可知，从乙盒子里随机取出n个球，含有红球个数 X服从超几何分布，即X : H 6

13、,3, n，其中k n k3 3 ，其中k故从甲盒中取球，相当于从含有1个球中取一球,取到红球个数为n 12 1 1 11 n 122 n随机变量服从两点分布，所以2 11，随着n的增大,n 12 2n 2E减小;P 112 2n，随着n的增大,2D增大.故选：C.【点睛】 本题考查超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查推理能力与计算能力，属于难题二、多选题9设集合M 2,3,4 , N 1,2,3,4,分别从集合M和N中随机取一个元素 m与n 记点P(m, n)落在直线x y k上”为事件Ak 3 k 8,k N* ，若事件Ak的概率最大，则k的取值可能是()A 4 B 5 C 6 D

14、 7【答案】BC【解析】【分析】先计算出基本事件的总数，再分别求出事件A3、事件A、事件A、事件A6、事件A、事件A所包含基本事件的个数及相应的概率即可【详解】 由题意，点 P(m, n)的所有可能情况为(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)，共12个基本事件，则事件 A :点P(m,n)落在直线x y 3包含其中(2,1)共1个1基本事件，所以P A3；事件A :点P(m, n)落在直线x y 4包含其中(2,2)、(3,1)共2个基本121事件，所以P A4;事件A :点P(m, n)落

15、在直线x y 5包含其中(2,3)、(3,2)、(4,1)共3个基61本事件，所以P A5；事件A :点P(m, n)落在直线x y 6包含其中(2,4)、(3,3)、(4,2)共3个41基本事件，所以P A6；事件A7 :点P(m, n)落在直线x y 7包含其中(3,4)、(4,3)共2个基本41事件，所以P A7；事件A :点P(m, n)落在直线x y 8包含其中(4,4)共1个基本事件，所以61 1P A8综上可得，当 k 5或6时，P Ak max P A5P A6-.12max4故选：BC.【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算问题，关键是要分情况讨论，属中等难度题1 n10 对

16、于二项式x3nN* ，以下判断正确的有()xA 存在n N*，展开式中有常数项；B 对任意n N*，展开式中没有常数项；C 对任意n N*，展开式中没有x的一次项；D 存在n N*，展开式中有x的一次项.【答案】AD【解析】【分析】利用展开式的通项公式依次对选项进行分析，得到答案。【详解】n设二项式 1 x3 nN*展开式的通项公式为 Tr1,x则 Tri=cn(-)nr(x3)r c；x4rn ,x不妨令n 4，则r 1时，展开式中有常数项，故答案A正确，答案B错误；令n 3，则r 1时，展开式中有 x的一次项，故 C答案错误，D答案正确。故答案选AD【点睛】本题考查二项式定理，关键在于合理

17、利用通项公式进行综合分析，考查学生分析问题解决问题的能力，属 于中档题。11.下列对各事件发生的概率判断正确的是()A 某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是1-,那么该生在上学路上到第343个路口首次遇到红灯的概率为27B.三人独立地破译一份密码，111他们能单独译出的概率分别为 -，-，一，假设他们破译密码是彼此独立的，5342则此密码被破译的概率为 一5C.甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有 6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球1的概率为一21D .设两个独立事件 A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与 B发

18、生A不发生的概率相同,92则事件A发生的概率是-9【答案】AC【解析】【分析】根据每个选项由题意进行计算，从而进行判断即可【详解】对于A,该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯，第3个路口是红灯，所以概率为21141，故A正确；3 3 27111对于B,用A、B、C分別表示甲、乙、丙三人能破译出密码，则P(A) ，P(B) - , P(C)-,兰个人都5344 2不能破译出密码”发生的概率为一一-，所以此密码被破译的概率为1 ?3，故B不止确;5 34 555对于C,设从甲袋中取到白球”为事件A,则 P(A)82,设从乙袋中取到白球”为事件B,则1236 1P(B),故取到同色

19、球的概率为2 1 111,故C正确；12 23 2 322对于 D,易得 P(AI B) P(BI A),即 P(A) P(B) P(B)P(A),1 即 P(A)1 P(B)P(B)1 P(A),. P(A) P(B),又 P(AI B)-,912- P(A) P(B) , P(A)，故 D 错误3 3故选AC【点睛】本题考查古典概型，考查事件的积，考查独立事件，熟练掌握概率的求解公式是解题关键12 针对时下的 抖音热”某校团委对 学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的-，女生喜欢抖音的人数占女生人数-，若有95%的把握认55为是

20、否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有()人附：K2附表：P Kn ad beabed a e b dA 25 B 45 C 60 D 75【答案】BC【解析】【分析】设男生的人数为5n n N ，列出2 2列联表，计算出 K2的观测值，结合题中条件可得出关于n的不等ko0.0500.010k3.8416.635式，解出n的取值范围，即可得出男生人数的可能值【详解】设男生的人数为5n n N ，根据题意列出2 2列联表如下表所示:男生女生合计喜欢抖音4n3n7n不喜欢抖音n2n3n合计5n5n10n2则 210n 4n 2n 3n n 10n则K5n 5n 7n 3n 21由于有95%的把

21、握认为是否喜欢抖音和性别有关，则3.841 K2 6.632，即 3.841 型 6.632，得 8.0661 n 13.9272，21Q nN，则n的可能取值有9、10、11、12 ,因此,调查人数中男生人数的可能值为45或60.故选:BC.【点睛】本题考查利用独立性检验求出人数的可能取值，解题时要列举出2 2列联表，并结合临界值表列不等式求解，考查计算能力，属于中等题 三、填空题n13在 真2 的二项展开式中，只有第 5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于 x【答案】112【解析】【分析】 由题意可得n 8，再利用二项展开式的通项公式，求得二项展开式常数项的值.【详解】(3x

22、2)n的二项展开式的中，只有第 5项的二项式系数最大，n 8 ,xn 4r8 4r84通项公式为 Tr 1 cna 2)rgx ( 2)rgC8gx，令二 0，求得 r = 2，可得二项展开式常数项等于 4 Cs 112 ,故答案为112.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.14安排 代B,C,D,E,F六名义工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾一位老人考虑到义工与老人住址距离问题，义工 A不安排照顾老人甲，义工 B不安排照顾老人乙，安排方法共有 .【答案】42【解析】试题分析：6人分组为：种，当二照顾老人甲时有工-.< !种，同

23、理义工丄照顾老人乙也有30种，再加上同时分别照顾老人甲和乙有一- 一种，所以共有 二人.-种.考点：1 平均分组问题；2 特殊元素优先排序法；3排除法；15.若有一个不透明的袋子内装有大小、质量相同的6个小球，其中红球有2个，白球有4个，每次取两个，取后放回，连续取三次，设随机变量表示取出后都是白球的次数，则E 【答案】65【解析】【分析】计算出从袋中随机抽取两个球都是白球的概率p，可知：B 3,p ,然后利用二项分布的期望公式可计算 出E 的值.【详解】从袋中随机抽取两个球都是白球的概率为由题意可知,b3,5，由二项分布的期望公式得55516故答案为：6.【点睛】本题考查二项分布期望的计算，

24、解题时要弄清随机变量满足的分布列类型，考查计算能力，属于中等题2018 2 .16.设(1 ax)a0 a1x a2xL2018a2018X若 a 2a2 3a32018a20182018a a 0 ,则实数a【答案】2【解析】【分析】将左右两边的函数分别求导，取x 1代入导函数得到答案23【详解】2018(1 ax)a0a-|X2a2x2018a2018x两边分别求导:20172018a(1 ax)2a?x L20172018a2018X2018a(1 a)2017日 2a? L2018a20182018aa 2故答案为2【点睛】 本题考查了二项式定理的计算，对两边求导是解题的关键四、解答题

25、17武汉又称江城，是湖北省省会城市，被誉为中部地区中心城市，它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着众多名胜古迹与旅游景点，每年来武汉参观旅游的人数不胜数，其中黄鹤楼与东湖被称为两张名片为合理配置旅游资源，现对已游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不游玩东湖记1分,1若继续游玩东湖记 2分，每位游客选择是否游览东湖景点的概率均为一，游客之间选择意愿相互独立 2(1) 从游客中随机抽取 3人，记总得分为随机变量 X，求X的分布列与数学期望；(2) (i)若从游客中随机抽取 m人，记总分恰为 m分的概率为Am，求数列 入 的前10项和；(H )在对所有游客进行随机问卷调查过程中，记已调

26、查过的累计得分恰为 n分的概率为Bn ,探讨Bn与Bn 1之间的关系，并求数列Bn的通项公式1 D221Bn 1，Bn23n331023 2【答案】(1)见解析(2)( i)(ii) Bn -1024 3【解析】【分析】（1）判断出X可能取值为3，4，5, 6，分别求出概率，进而求出其数学期望。（2 ）（ i ）由题可得首项为-，公比为-的等比数列，并求其前2 210项和。i ）根据Bn与Bn 1之间的关系1 Bn2 Bn 1，用待定系数法得Bn2231 Bn 1-，进一步就可求出2 3Bn的通项公式。【详解】解：（1） X可能取值为3, 4, 5, 6.P(X 3)4)c3I，P(X 5) C；6)二X的分布列为X34561331P88881331EX 3 4 5 6 4.58 8 8 8m(2) (i )总分恰为m分的概率为Am-2二数列Am是首项为1，公比为1的等比数列,2 2前10项和1110231024(ii)已调查过的累计得分恰为n分的概率为Bn，得不到n分的情况只有先得n 1分，再得2分，概率为所以1Bn11Bn1 ,B1221 B2n 1, 即 Bn1Bn 112BiBn 1- Bn Bn【点睛】Bn1Bn 1 1，可通过待定系数法求 Bn的通项公式,2本题是一道数列与概率的综合问题，对于递推式 是一道中等难度的题目。18.某游戏棋盘上标有第 0、1、2