微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的应用解读

1、华东师范大学数学系编数学分析第三版上册教案第六章微分中值定理及其应用兴义民族师范学院数学系第1页共 11 页 5 微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的应用教学章节第六章 微分中值定理 5 微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的应用教学目的掌握讨论函数的凹凸性和方法教学要求弄清函数凸性的概念，掌握函数凸性的几个等价论断，会求曲线的拐点，能应用 函数的凸性证明某些有关的命题.教学重点利用导数研究函数的凸性教学难点利用凸性证明相关命题教学方法系统讲授法+演示例题教学程序上面已经讨论了函数的升降与极值，这对函数性状的了解是有很大作用的.为了更深入和较精确地掌握函数的性状，我们在这里再讲述一下有关函数凸性

2、的概念及其与函数二阶导数的关 系什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例，从直观上看一看何谓函数的凸性如函数 y=.x所表示的曲线是向上凸的，而 y=x2所表示的曲线是向下凸的，这与我们日常习惯上 的称呼是相类似的或更准确地说：从几何上看，若 y 二 f(x)的图形在区间 I 上是凸的，那么连 接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方；若y= f(x)的图形在区间 I 上是凹的，那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢？J L设函数f (x)在区间I上是凸的(向下凸)，任意 Xi， X2“(XiCX2曲线y = f(x)上任意两点 A(Xi,f(Xi)，

3、 B(Xi,f(X|)之间的图象位于弦AB的下方，即任意(Xi,X2)，f(x)的值小于或等于y(X2)f(Xi)(x-Xi) f(xi).对任意X，(X|,X2)有f(x)一卫宜-Xi) f (Xi)，整理得令t二色x)，则有0：t：1，且 x=tXi (1-t)X2，易得X一人=1 _t，上式可写成x2 捲x2-x弦AB在X点的函数值，弦AB的方程f(x)乞华东师范大学数学系编数学分析第三版上册教案第六章微分中值定理及其应用兴义民族师范学院数学系第2页共 11 页川捲(1-t)x2 _tf (xj (1 -t)f (x2).一、凸函数定义以及与连续性的关系1、凸(凹)函数的定义定义 1 设

4、函数 f 为定义在区间 I 上的函数，若对 I 上任意两点x、X2 和任意实数扎(0,1)总有 f (丸x + (1-丸)冷)f (x ”(1 丸 f x，)则称 f 为 I 上的凸函数.反之，如果总有 f (“ + (1 - k 区)沐 f (x 片仲)哭，则称f为1上的凹函数.注 易证：若一 f 为区间 I 上的凸函数，贝Uf 为区间 I 上的凹函数，因此，今后只讨论凸 函数的性质即可.定义 2 设曲线 y = f(x)在点(x0, f (x0)处有穿过曲线的切线，且在切点近旁，曲线在切线的 两侧分别是严格凸或严格凹的，这时称(心 f(x0)为曲线 y= f(x)的拐点.必须指出；若(x0

5、,f(x。)是曲线 y=f (x)的一个拐点，y= f(x)在点怡的导数不一定存在，如 y = Vx在 x = 0 的情形.2、凸函数的特征引理 f 为 I 上的凸函数=对于 I 上任意三点音：X2 : X3总有：f(X2)- f(X1)二f(X3)- f(X2)X2-X,x3-x2f (X)严格凸函数二上式严格不等式成立证：=记，=X3&，贝y 0 二1及x2=彊占.(1 _ )x3，X3 X1由f的凸性知f(xf(x1)(叫 当(X1)=f(X3)(4)从而有华东师范大学数学系编数学分析第三版上册教案第六章微分中值定理及其应用兴义民族师范学院数学系（X3-Xi）f（X2）乞（X3-

6、X2）f （Xi）（X2-Xjf（X3）即（X3-X2）f（X2）（X2-M）f（X2）乞（X3-X2）f （Xi）（X2-Xi）f（X3）整理即得式.:二 一Xi,X3I(Xi：X3)- (0,1)记X2=f；.X|(1-)X3，则Xi：X2：X3，x2_ X1由必要性的推导步骤可逆，从(3)式便得式.故f为凸函数.同理便知，曲线上首尾相连的线，其斜率是递增的，即-Xi,X2,X3I，Xi:： X：X3，有f(X2)- f (Xi).：f(X3) - f (Xi)X2X3f (X)严格凸函数=上式严格不等式成立定理 设为开区间上的凸函数若 I:-=-则在-丨上满足利普希茨条件，且在上连续.证

7、明(证明开区间上的凸函数必为连续函数)当取定-二后，由为开区间，必 可选取中的四点满足：如图所示，再在门中任取两点.应用引理得到华东师范大学数学系编数学分析第三版上册教案第六章微分中值定理及其应用兴义民族师范学院数学系第 3 页共 ii 页华东师范大学数学系编数学分析第三版上册教案第六章微分中值定理及其应用兴义民族师范学院数学系第5页共 11 页显然，上述 L 与门再中的点 无关，故在上的每个内闭区间上满足利普希茨条件.由此容易推知在：上连续，再由匕川在上的任意性，又可推知.在，上处处连续.证毕如果 f 是 I 上的可导函数，则进一步有：二、凸函数与导数的关系定理 1 （可导函数为凸函数的等价

8、命题）设 f 为区间 I 上的可导函数，则下述论断互相等 价：（1） f为 I 上的凸函数；（2） 为 I 上的增函数；（3）对 I 上的任意两点洛必总有f(X2) f(Xi) f (Xi)(X2- Xi)证（i）=（ii）-J，并取L，使x + A X2 - A k兰（1-k十）f任X）+打七f（xk卑）兰（1-兀中）区二* 1一/*十idf(X) k 1f (xk 1)k 1=S人f (x)二结论成立.i 4注：由于（6）式中当一时即为凸函数的定义式（1），所以詹森不等式（6）也可用来作为凸函 数的定义，而詹森不等式的应用也就是凸函数的应用.对具体的函数套用 Jensen 不等式的结果,可

9、以证明一些较复杂的不等式这种证明不等 式的方法称为 Jensen 不等式法或凸函数法.具体应用时,往往还用到所选函数的严格单调性例 4 证明:对-x, y R,有不等式1(exey).2例 5：设 X0(i =12川,n)，则空nX1X2Xn X1* X2 * I11 * Xnn华东师范大学数学系编数学分析第三版上册教案第六章微分中值定理及其应用兴义民族师范学院数学系第12页共 11 页即InJxn|nn初Qn因In x严格增，故有XmXng 山xn又 Xi不全等-1:不全等，故Xi:1nln vxi八1( 1 n1)In1ni4n*nX1X2|Xn所以n10p0a3+ B3兰2求证 + P 2.（留为作业）华东师范大学数学系编数学分析第三版上册教案第六章微分中值定理及其应用兴义民族师范学院数学系第14页共 11 页( 解函数 f(X)=x3在(0,+