线束原理在几何证明中的应用讲解学习

1、精品文档精品文档AB、EF=3DE 。的中点， D为BC边上一点， P在BF上，DP / CF , Q在CE上，DQ / BE , PQ交 BE于点R，交CF于点S,求证：PR=RS=SQ。【例2】如图2,设E、F分别为 ABC 的边 AC、AB【提示】有三条线段经过点如图1-1，于点 RDR : RS :=1 : 1 : 1, DE : AG=DR : RG=1 : 2; DF : AG=DS : SG=2 : 1。过点D作DG /、S、 G ，SG=BM : MN : NCA线束原理”在几何证明中的应用刚上初中三年级的同学现在开始学平行线分线段成比例”和相似三角形”，这两部分有相互交叉的内

2、容，例如在“ A”字型相似模型和 “ X”型相似模型中，平行线分线段成比例”中也有这两种模型（详见比例与相似高级教程（十）：线束原理），它们的共同点是有两条或两条以上的线段经过同一点，那么用相似”的原理或 平行线分线段成比例 ”的原理都可以得到应有的结论。但是，当线段较多让人眼花缭乱时， 我们仅用相似的原理来求解就显得过程臃肿，较为繁杂，反而用平行线分线段成比例”的原理来求解则显得简洁明了。当经过同一点的线段超过两条（至少三条）时， 可用其推论 线束原理”（详见比例与相似高级教程（十）：线束原理）来解决。【例1】如图1，M、N ABC边BC上两点，且满 足BM=MN=NC ，一条平行于 AC的

3、直线分别交AM和AN延长线于点 D、E和F。求证：A，且BM=MN=NC ，所以构造 线束模型”来解决。BC，分别交 AM、AN、AC则根据“线束原理”，【提示】点 G ABC的重心（或中心），故:FG : FC=EG : EB=1 : 3 ；F14-1平行线分线段成比精品文档PR : PQ=PK : PD, QS : PQ=QH : QD ;根据线束原理”，PK : PD= FG : FC=1 : 3; QH : QD= EG : EB=1 : 3,PR : PQ= QS : PQ= 1 : 3。【注】此题图形线段较多，要充分利用已知条件识别比例关系。【例3】如图3，梯形ABCD的底边 AB

4、上任取一点 M , 过 M 作 MK / BD , MN / AC，分别交 AD、BC 于点 P, Q,求证：KP=QN。【提示】 KP : KN=KR : KM=DO : DB=DC : (DC +AB);QN : KN=NS : MN=CO : CA=DC : （DC +AB）; 故 KP=QN【注】求出 KP和QN与KN的比例关系是解开此题的关键思想。【例 4】如图 4, AB=AC , BD / AC , AB / CE，过 A 点的直线分别交 BD、CE于点D、E,求证：（1 ）AM=NC ;（2） MN / DE。【提示】（1 ）利用平型关系构造线束模型”，如图4-1。延长DB交E

5、C延长线于点 F，则四边形 ABFC为菱形。 根据线束原理：AM : AB=EC : EF;又 NC : BF=EC : EF, AM : AB=NC : BF=NC : AB ;AM=NC。（2）用以前学的角度关系来证明MN / DE不太容易，此题考虑用平行线分线段成比例”的逆定理（详见比例与相似高级教程（二）：成比例线段判断平行关系）来证明。根据线束原理：BM : MA=CF : CE=AB : CE=BN : NE , MN / DE。【注】通过此题，我们证明两直线平行的方法又多了一种，就是 例”的逆定理。精品文档【例5】如图5, ABC为等腰直角三角形，点P为AB上任意一点，PF丄BC

6、 , PE丄AC ,AF 交 PE 于点 N , BE 交 PF 于点 M。求证：(1) PM=PN ;( 2) MN / AB。A圈5 i铝中片松工网【提示】(1 )根据线束原理：EN : NP=CF : BF=CF : FP; PM : MF=AE : CE=CF : FP; EN:NP=PM:MF=CF : FP ; 设 CF=a,FP=b，则:Q0PAf=-=-b=-=- PN=PM 。(2)Z PNM=45o，/ APE=45o , MN / AB.【练习题】如图 6,正方形 BFDE内接于 ABC , CE与DF交于点 N , AF交DE于 点 M , CE 与 AF 交于点 P。求证：(1 ) EM=DN ( MD=FN );( 2) MN / AC。【提示】此题与【例5】十分类似