线段与差最值问题

1、专题一.线段和(差)的最值问题【知识依据】1线段公理一一两点之间，线段最短；2. 对称的性质一一关于一条直线对称的两个图形全等；对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线;3 三角形两边之和大于第三边；4三角形两边之差小于第三边；5、垂直线段最短。一、已知两个定点：1、在一条直线 m上，求一点 P,使PA+PB最小；(1) 点A B在直线m两侧：AmB(2) 点A B在直线同侧：A*B* mA A'是关于直线m的对称点。2、在直线 m n上分别找两点 P、Q 使PA+PQ+Q最小。(1) 两个点都在直线外侧:(2) 个点在内侧，一个点在外侧:B'(3)两个点都在内侧:B'

2、;(4)、台球两次碰壁模型变式一：已知点A B位于直线m,n的内侧，在直线n、m分别上求点 D E点，使得围成的四边形 ADEB周长最短n变式一：已知点A位于直线m,n的内侧,在直线m n分别上求点P、Q点PA+PQ+Q周长最短A"二、一个动点，一个定点：(一)动点在直线上运动：点B在直线n上运动，在直线 m上找一点P,使PA+PB最小(在图中画出点 P和点B) 1、两点在直线两侧:2、两点在直线同侧:A'）动点在圆上运动：点B在O 0上运动，在直线 m上找一点P,使PA+PB最小（在图中画出点 P和点B）1、点与圆在直线两侧:2、点与圆在直线同侧:A'三、已知A、B

3、是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点, 使得PA+PQ+Q的值最小。（原理用平移知识解）P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点,Ao（1 ）点A B在直A_C线m两侧:过A点作AC/ m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左移动PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。(2)点A B在直线m同侧:BBB'四、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边1、在一条直线 m上,(1)点A B在直线求一点P,使PA与PB的差最大; m同侧：- m(2) 点A B在直线m异侧:B'"H-P'过B作关于直线m的对称点B'

4、,连接AB交点直线m于P,此时PB=PB, PA-PB最大值为AB'I .专题精讲最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和(差)问题，要归归于几何模型：(1) 归于“两点之间的连线中，线段最短”凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型.(2) 归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型.H.典型例题剖析一归入“两点之间的连线中，线段最短”I“饮马”几何模型：条件：如下左图， A B是直线l同旁的两个定点.问题：在直线I上确定一点P,使P/V PB的值最小.模型应用：1如图，正方形 ABCD勺边长为2, E为AB的中点，P是A

5、C上一动点.则 PBPE的最小值是 .2. 如图，O 0的半径为2,点A、B C在O 0上，OALOB Z AOC60。，P是0B上一动点，贝U PA+PC的最小值是 3. 如图，在锐角厶 ABC中, AB= 42,Z BAC= 45°,Z BAC的平分线交 BC于点D, M N分别是AD和AB上的动点，则BMMN勺最小值是第2题4 NB第3题第4题4. 如图，在直角梯形ABCDKZ ABC=90°AD/ BCAD= 4,AB= 5,BC= 6,点P是AB上一个动点，当PC+ PD的和最小时，PB的长为.5. 如图，等腰梯形 ABCD中, AB= AD= CD= 1, Z

6、ABC= 60° P是上底，下底中点 EF直线上的一点，则 PA+PB的最小值 为.6. 如图，MN是半径为1的O 0的直径，点A在O0上，Z AM比30°B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，贝UPA+ PB的最小值为-2 -1 0-17.已知 A 2, 3) , B(3 , 大值为.1) , P点在x轴上，若PAV PB长度最小，则最小值为.若PA PB长度最大，则最2y = x + bx+ c与x轴的两个交点分别为A(1 , 0) , B(3 , 0).&已知：如图所示，抛物线(1) 求抛物线的解析式；(2) 设点P在该抛物线上滑动，且满足条件Sapab=

7、1的点P有几个？并求出所有点 P的坐标；(3) 设抛物线交y轴于点C,问该抛物线对称轴上是否存在点M使得 MAC勺周长最小？若存在，求出点 M的坐标;n.台球两次碰壁模型已知点A位于直线 m n的内侧，在直线 m n分别上求点P、Q点，使PA+PQ+QA周长最短变式：已知点A B位于直线m n的内侧，在直线 m n分别上求点 D E点，使得围成的四边形 ADEB长最短M模型应用：1如图，/ AOB45°, P是/ A0斷一点，P（=10, Q R分别是OA 0B上的动点，求 PQR周长的最小值.2 如图，已知平面直角坐标系，A, B两点的坐标分别为 A（2 , - 3）, B（4 ,

8、 - 1）设M N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点Mm 0）, NO, n）,使四边形ABM的周长最短？若存在，请求出 m=, n = （不必写解答过程）；若不存在，请说明理由.Jir211jIII2 -1 00 12 345 ?-1-2-3 n中考赏析：1. 著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（ B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，A扌50km B到直线X的距离分别为10km和40km,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P,向A B两景区运送游客小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P）, P到A、B的距离之和S = PA PB图（2）是

9、方案二的示意 图（点A关于直线X的对称点是 A'，连接BA'交直线X于点P）, P到A、B的距离之和S2= PA PB（1）求S、S2,并比较它们的大小；（2）请你说明Sa= PA PB的值为最小；（3） 拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系， B到直线Y的距离为30km,请你在X旁和Y旁各修建一服务区 P、Q使P、A、B Q组成的四边形的周长最小并求出这个最小值.3182.如图，抛物线y =x2-x+ 3和y轴的交点为A,M为0A勺中点，若有一动点P,自M点处出发，沿直线运动到x55轴上的某点（设为点 E），再沿直线运动到该抛物线对称

10、轴上的某点（设为点 运动的总路程最短的点 E,点F的坐标，并求出这个最短路程的长.川.已知AB是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQQB的值最小.（原理用平移知识解）（1）点A B在直线m两侧：（2）点A B在直线m同侧：模型应用：12、 、1. 如图，抛物线y = 4X x错误！未指定书签。+2的顶点为A,与y轴交于点B.求点A、点B的坐标；（2）若点P是x轴上任意一点，求证： PA- PB< AB 当PA PB最大时，求点 P的坐标.12. 如图，已知直线 y=丄x+ 1与y轴交于点A与x轴交于点D,22抛物线

11、y =丄x + bx+ c与直线交于 A E两点，与x轴交于B C两点，且B点坐标为(1 , 0).2(1)求该抛物线的解析式；(3) 在抛物线的对称轴上找一点M使|Ah MC的值最大，求出点 M的坐标.3. 如图，直线y = , 3x+ 2与x轴交于点C,与y轴交于点B,点A为y轴正半轴上的一点，O A经过点B和点Q 直线BC交O A于点D.(1) 求点D的坐标；(2) 过Q C, D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使线段PQ与 PD之差的值最大？若存在，请求 出这个最大值和点 P的坐标.若不存在，请说明理由.4. 已知：如图，把矩形 OCBA放置于直角坐标系中，0G= 3,

12、 BC= 2，取AB的中点M连接MC把厶MBC沿x轴的负方向平移0C的长度后得到 DAO(1) 试直接写出点 D的坐标；(2) 已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点 P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作PQL x轴于点Q连接 OP若以O P、Q为顶点的三角形与 DAO相似，试求出点 P的坐标；(3) 试问在(2)抛物线的对称轴上是否存在一点T,使得| TO-TB|的值最大？若存在，则求出点 T点的坐标；若不 存在，则说明理由.y*aWR一归入“三角形两边之差小于第三边”1.直线2x-y-4=0上有一点P,它与两定点 A (4, -1 )、B ( 3, 4)的距离之差最大，则P点的坐标是

13、.2. 已知A、B两个村庄的坐标分别为 (2, 2) , (7, 4)，一辆汽车(看成点P)在x轴上行驶.试确定下列情况下汽车 (点 P)的位置：(1) 求直线AB的解析式，且确定汽车行驶到什么点时到A、B两村距离之差最大？(2) 汽车行驶到什么点时，到 A、B两村距离相等？八肌儿4)M«心2,2)好题赏析:原型：已知：P是边长为1的正方形 ABCD内的一点，求 P/V PB+ PC的最小值.B点)上任意例题：如图，四边形 ABCD!正方形， ABE是等边三角形，M为对角线BD(不含 一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN连接EN AM CM(1) 求证： AMBA ENB(2) 当M点在何处时，AW CM的值最小；当M点在何处时，A船BW CM的值最小，并说明理由；(3) 当AW BW CM的最小值为 3+ 1时，求正方形的边长.BD (不含B点)上任