2020-2021学年高二数学人教A版选修2-2学案：2.3　数学归纳法 Word版含解析

1、2.3数学归纳法目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题重点 数学归纳法及其应用难点 对数学归纳法原理的理解知识点数学归纳法填一填1数学归纳法的证题步骤一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0n*)时命题成立(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kn*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立上述证明方法叫做数学归纳法2用框图表示数学归纳法的步骤答一答1在数学归纳法的第一步归纳奠基中，第一个值n0是否一定为1?提示：不一定，n0还可以取其他值

2、，如证明“2n>n2”中，n05，而证明“凸n边形内角和为(n2)·180°”中，n03.2所有与正整数有关的命题都可以用数学归纳法证明吗？提示：数学归纳法是证明与正整数有关的命题的有力工具，但并不是所有与正整数n有关的命题都能用数学归纳法证明，一般当从nk过渡到nk1时，问题中存在可利用的递推关系时才能应用3用数学归纳法证明问题时，归纳假设是否一定要用上？提示：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k1”的过程，必须把归纳假设“nk”作为条件来导出“nk1”时的命题，在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次类型一用数学归纳法证明等式【例1】用数学归纳法证明： .

3、【证明】(1)当n1时成立(2)假设当nk时等式成立，即有，则当nk1时，即当nk1时等式也成立总之，由(1)(2)可得对于任意的nn*等式都成立应用数学归纳法时应注意的问题：(1)第一步的验证，对于有些问题验证的并不是n1，有时需验证n2，n3，甚至需要验证n10，如证明：对足够大的正整数n，有2n>n3，就需要验证n10时不等式成立.(2)nk1时式子的项数，特别是寻找nk与nk1的关系时，项数发生什么变化容易被弄错.因此对nk与nk1这两个关系式的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障.(3)“假设nk(k1)时命题成立，利用这一假设证明nk1时命题成立”，这是应用数学归纳法证

4、明问题的核心环节，因此在第二步的证明过程中一定要用上归纳假设，否则这样的证明就不再是数学归纳法了.另外在推导过程中要把步骤写完整，注意证明过程中的严谨性、规范性.(1)用数学归纳法证明1aa2an1(nn*，a1)，在验证n1成立时，左边所得的项为(b)a1 b1aa2c1a d1aa2a3解析：左边应为1aa2.故选b.(2)设sk，则sk1为(b)askbskcskdsk类型二用数学归纳法证明不等式【例2】已知an为等比数列且an2n1，记bn2(log2an1)(nn)，用数学归纳法证明对任意的nn，不等式···>成立【证明】由已知条件可得bn2n(n

5、n)，所证不等式为···>.(1)当n1时，左边，右边，左边>右边，不等式成立(2)假设当nk(kn)时，不等式成立即···>，则当nk1时，····>· .要证当nk1时，不等式成立，只需证，即证，由基本不等式，得成立，成立，当nk1时，不等式成立由(1)(2)可知，对一切nn，原不等式均成立运用数学归纳法证明不等式时，在利用了归纳假设后，要注意根据欲证目标，灵活地运用比较法、放缩法等技巧来进行证明，如本例就是利用了比较法.用数学归纳法证明：<1(n2，

6、nn*)证明：(1)当n2时，左式，右式1，<，不等式成立(2)假设nk(k2，kn*)时，不等式成立，即<1，则当nk1时，即<111<11，当nk1时不等式也成立综合(1)(2)得，对任意n2的正整数，不等式均成立类型三用数学归纳法证明整除问题【例3】用数学归纳法证明(3n1)·7n1(nn*)能被9整除【思路分析】按照数学归纳法证明步骤：(1)先证n1时命题成立；(2)假设nk时命题成立，证明nk1时命题也成立【证明】(1)当n1时，4×7127能被9整除，命题成立(2)假设nk(kn*)时命题成立，即(3k1)·7k1能被9整除，那

7、么当nk1时，3(k1)1·7k11(3k1)3·7·7k17·(3k1)·7k121×7k(3k1)·7k16(3k1)·7k21×7k(3k1)·7k118k·7k27×7k(3k1)·7k1(18k27)·7k.由假设知(3k1)·7k1能被9整除，又因为(18k27)·7k能被9整除，所以(3k1)·7k1(18k27)·7k能被9整除，即nk1时命题成立综上由(1)(2)知，对所有正整数n，命题成立当n1时

8、，原式等于27被9整除，因此要研究(3k1)·7k1与(3k4)·7k11之间的关系，以便利用归纳假设(3k1)·7k1能被9整除来推证(3k4)·7k11也能被9整除.利用数学归纳法证明：x2ny2n(nn*)能被xy整除证明：(1)当n1时，x2y2(xy)(xy)，能被xy整除，所以命题成立(2)假设当nk(kn*)时命题成立，即x2ky2k能被xy整除，那么，当nk1时，x2k2y2k2x2·x2ky2·y2kx2·y2kx2·y2kx2(x2ky2k)y2k(x2y2)，因为x2ky2k与x2y2都能被x

9、y整除，所以x2k2y2k2能被xy整除，即当nk1时命题也成立根据(1)和(2)，可知命题对任意nn*都成立数学归纳法证明问题从nk到nk1时弄错增加项【例4】用数学归纳法证明1>(nn*)【错解】当n1时，左边1，右边1，显然左边>右边，即n1时不等式成立假设nk(k1，且kn*)时不等式成立，即1>.那么当nk1时，1>>，即nk1时，不等式成立由得1>(nn*)成立【错因分析】以上用数学归纳法证明的过程是错误的，因为在从nk到nk1时增加的不止一项，应是，共有2k项，并且>也是错误的【正解】当n1时，左边1，右边1，所以左边>右边，即n1

10、时不等式成立假设nk(k1，kn*)时不等式成立，即1>，那么当nk1时，有1.所以nk1时，不等式成立，由可知，nn*时1>.用数学归纳法证明>(nn*)证明：(1)当n1时，左边>，不等式成立(2)假设当nk(kn*，k1)时，不等式成立，即>，即当nk1时，>.因为>0，所以>>，所以当nk1时，不等式成立由(1)(2)可知，对于任意正整数n，不等式成立1用数学归纳法证明122n1(n1)(2n1)时，在验证n1成立时，左边所得的代数式是(c)a1 b13c123 d12342满足1×22×33×4n(n1)3n23n2的自然数等于(c)a1 b1或2c1,2,3 d1,2,3,4解析：逐个代入验证3已知sn，则s1，s2，s3，s4，猜想sn.解析：分别将1,2,3,4代入观察猜想sn.4用数学归纳法证明1<n(nn*，且n>