高等代数习题集

1、高等代数习题集21. 设 X = ，求X。 2. 设二次型 f (x1, x2, . , xn)是不定的，证明： 存在n维向量X0，使 X0'AX0 = 0，其中A是该二次型的矩阵。 3. 设 W = f (x)| f (x) Px4, f (2) = 0。 a 证明：W是Px4的子空间。 b 求W的维数与一组基。 4. 在R3中定义变换A：任意 (x1, x2, x3) R3, A(x1, x2, x3) = (2x2 + x3, x1 -4x2, 3x3)。 1， 证明：A是Rr3上线性变换， 2， 求A在基 xi1 = (1, 0, 0), xi2 = (0, 1, 0), xi

2、3 = (1, 1, 1)下的矩阵。 5. 设 ，求正交矩阵T，使T'AT成对角形。 6. 设V是数域P上n维线性空间，A是V上可逆线性变换， W是A的不变子空间。证明：W也是A-1的不变子空间。 7. 设V是n维欧氏空间，A是V上变换。 若任意 , V，有 (A, A) = (,)。 证明：A是V上线性变换，从而是V上正交变换。 8. 设 X = ，求X。 9. 设A是奇数级的实对称矩阵，且| A| > 0， 证明：存在实n维向量X0 0，使 X0'AX0 > 0。 10. 设 A = ， W = | R4, A = 0。证明： 1. 1，W是 4的一个子空间。

3、2. 2，求W的维数与一组基。 11. 设 B， C = ，在 R2 x 2中定义变换A：任意 X R2 x 2, A(X) = BXC。 1， 证明：A是 R2 x 2上线性变换。 2， 求A在基 E11, E12, E21, E22下的矩阵。 12. 用正交线性替换，化实二次型 f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3为标准形。 13. 设V为数域P上线性空间，A是V上线性变换， 若 (A2)-1(0) = A-1(0)，证明： V = AV.+A-1(0)。 14. 设V是n维欧氏空间。A是V上正交变换，W是A的不变子空间。 证明：W也是A的不变子空间。

4、15. 设 X = ，求X。 16. 设A是奇数级的实对称矩阵，且| A| > 0， 证明：存在实n维向量X0 0，使 X0'AX0 > 0。 17. 设 A = ， W = | R4, A = 0。证明： 1. 1，W是 4的一个子空间。 2. 2，求W的维数与一组基。 18. 设 B， C = ，在 R2 x 2中定义变换A：任意 X R2 x 2, A(X) = BXC。 1. 1，证明：A是 R2 x 2上线性变换。 2. 2，求A在基 E11, E12, E21, E22下的矩阵。 19. 用正交线性替换，化实二次型 f (x1, x2, x3) = 2x1x2

5、+2x1x3 -2x2x3为标准形。 20. 设V为数域P上线性空间，A是V上线性变换， 若 (A2)-1(0) = A-1(0)，证明： V = AV.+A-1(0)。 21. 设V是n维欧氏空间。A是V上正交变换，W是A的不变子空间。 证明：W也是A的不变子空间。 22. 设 X = ，求矩阵X。 23. 设实二次型 f (x1, x2, . , xn) = X'AX的秩是n,其中A是实对称矩阵. 证明:实二次型 g(x1, x2, . , xn) = X'A-1X与 f (x1, x2, . , xn)有相同的正负惯性指数和符号差 。 24. 设 W = (a1, a2,

6、 . , an)| ai R,ai = 0 证明 1. 1，证明：W是 Rn的子空间。 2. 2，求W的维数与一组基。 25. 设 B = , B = .在 R2中定义变换: 对任意 X R2 x 2,X = BX + XC 1. 1，证明：是V上线性变换。 2. 2，求在基 E11, E12, E21, E22 下的矩阵。 26. 设 A = ，求正交矩阵T，使T'AT成对角形。 27. 设V为数域P上n维线性空间，V1, V2为其子空间， 且 V = V1V2,为V上可逆的线性变换. 证明： V = V1 + V2。 28. 设V为n维欧氏空间，若A既是V上对称变换且A2 = E。

7、 证明：存在V的一组标准正交基，使得在该基下的矩阵为 。 29. 设 X = ，求矩阵X。 30. 设 f (x1, x2, . , xn) = X'AX是实二次型,其中A是实对称矩阵.如果X'AX = 0当且仅当X = 0。 证明： f (x1, x2, . , xn)的秩为n，符号差是n或- n. 31. 设 = (1, 2, 3, 0), = (- 1, -2, 0, 3)， = (0, 0, 1, 1), = (1, - 2, - 1, 0)， W = ki| ki R。 1. 1，证明：W是Rr4的子空间。 2. 2，求W的维数与一组基。 32. 设A三维向

8、量空间V上可逆线性变换，A在 基 ,下的矩阵是 。 1. 1，证明：A的逆变换A-1也是V上线性变换。 2. 2，求A-1的在 ,下的矩阵。 33. 设 ，求正交矩阵T，使T'AT成对角形。 34. 设V为n维欧氏空间，若A既是V上正交变换，又是V上对称变换。 证明：A2是V上的恒等变换。 35. 设V为数域P上n维线性空间，W为其子空间，A为V上线性变换。 证明：维(AW) +维 (A-1(0) W) =维W。 36. 设 X = ，求矩阵X。 37. 设 W = A| A R3 x 3, A' = - A。 1. 1，证明：W是 R3 x 3的一个子空间。 2. 2，求W的

9、维数与一组基。 38. 设实二次型 f (x1, x2, . , xn) = X'AX的秩为n， 符号差是s。证明：R中存在 (n - | s|)维子空间W使任意X0 W， X0'AX0 = 0。 39. 在Rx3中定义变换A：任意 f (x) Rx3, A(f (x) = xf'(x)。 1. 1，证明：A是Rx3上线性变换。 2. 2，求A在基 1, x + 1, x2 + x + 1下的矩阵。 40. 设 A = ，求正交矩阵T，使T'AT成对角形。 41. 设V为数域P上n维线性空间，A为V上线性变换。证明： 维(AV) +维 (A-1(0) =维V。

10、42. 设V为n维欧氏空间，若A是V变换，若任意 , V， (A,) = (, A)。 证明：A是V上线性变换，从而为V上对称变换。 43. 设 V = Px5,f (x) V ，有 f (x) = (x2 - 1)q(x) + r(x)， 其中r(x) = 0或次(r(x) < 2, 1. 1，证明： f (x) V,令 A(f (x) = r(x)，则A是V的一个线性变换; 2. 2，求A在基 1, x, x2, x3, x4下的矩阵. 44. 用正交线性替换，把实二次型 f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 +2x2x3化为标准形， 并求所用的正交线性替换,

11、45. 设A, B是n x n正定矩阵，证明：A2 + B2是正定矩阵, 46. 设 W = A| A = (aij)n Pn x n,aii = 0, 1. 1，证明：W是 Pn x n的子空间, 2. 2，求W的维数与一组基, 47. 判别下述结论是否正确，并说明理由, 1. 1，若n x n矩阵A, B有相同特征多项式，则A与B相似； 2. 2，若W是n维欧氏空间V的子空间W的正交补，则 V = W W, 48. 设A为n维欧氏空间V的线性变换， 证明：A是对称变换的充要条件是A有n个两两正交的特征向量, 49. 设A, B是数域P上n维线性空间V的两线性变换,若AB = BA，并且A有

12、n个互异的特征值, 证明：A, B有n个线性无关的公共的特征向量. 50. 求矩阵 A = 的特征值和特征向量。 51. 求二次型 f (x1, x2, x3) = x12 +5x1x2 -3x2x3 的标准型，并写出所用的非退化的线性替换。 52. 设V是由零多项式和数域 上 次数小于3的一元多项式的全体组成的P上线性空间。对于任意的 f (x) V,定义 (f (x) = f'(x) - f''(x).证明 1. 1，证明：是V的线性变换。 2. 2，求在基 1, x + 1, x2 - x下的矩阵。 53. 设V是一个欧氏空间， , V。证明: | = | ( +

13、 , - ) = 0 54. 设 W = f (x)| f (x) Px4, f (2) = 0. 1. 1，证明：W是Px4的子空间。 2. 2，求W的维数与一组基。 55. 设A为线性空间V上线性变换。证明： A是可逆的线性变换的充要条件是A 的特征值一定不等于零. 56. 设A为n x n实矩阵， A = A', A3 = En 证明：A = En 。 57. 设 X = ,求矩阵X。 58. 在Rr3中定义线性变换A： (a1, a2, a3) R3, A(a1, a2, a3) = (2a2 + a3, a1 -4a2, 3a1)。求在基 (1, 0, 0),(1, 1, 0

14、),(1, 1, 1)下的矩阵. 59. 用正交线性替换化二次型 f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3为标准形 60. 设V为数域P上n维线性空间，A是V的一个可逆线性变换， W是A子空间。证明：W也是A-1-子空间。 61. 设A是正定矩阵，证明： A-1, A2都是正定矩阵。 62. 设V为数域P上n维线性空间，A是V的线性变换，且 kerA = kerA2。证明： V = kerA AV。 63. 设V为n维欧氏空间，A是V上对称变换，且A2 = E。 证明：存在V的一标准正交基，使A在该基下的矩阵是 . 64. 设 B P2 x 2， 1. 1，证明

15、： A(X) = BX - XB,X P2 x 2是 P2 x 2上一个线性变换； 2. 2，当 B = 时，求A在基 E11, E12, E21, E22下的矩阵。 65. 用正交线性替换，把实二次型 f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 +2x2x3化为标准形， 并求所用的正交线性替换。 66. 设 W1 = | x, y, z P, W2 = | A, b, c P都是 P2 x 2的子空间。 1. 1，求 W1 W2的维数和一组基； 2. 2，求W1 + W2的维数。 67. 判别下述结论是否正确，并说明理由。 1. 1，设 A, B Pn x n，若A

16、, B有相同特征多项式，则A与B相似； 2. 2，设A是P上n维线性空间V的线性变换，若A有n个不同特征值，则 A在某基下的矩阵是对角形。 68. 判别实二次型 f (x1, x2, x3) = 3x12 +4x22 +5x32 +2x1x2 -4x2x3 是不是正定的？并说明理由。 69. 设A, B是数域P上n维线性空间V的两线性变换。 若A有n个互异的特征值，且A的特征向量都是B的特征向量， 证明：AB = BA。 70. 设A, B是n阶实对称矩阵，且B是正交矩阵。证明：存在n x n实可逆矩阵T，使T'AT与T'BT同时为对角形。 71. 设 X = ，求矩阵X。 7

17、2. 设 B， C = ，在 R2 x 2中定义变换A：任意 X R2 x 2, A(X) = BXC。 1. 1，证明： A是 R2 x 2上线性变换。 2. 2，求A在基 E11, E12, E23, E22下的矩阵。 73. 用正交线性替换，化实二次型 f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3为标准形。 74. 设 W = (a1, a2, . , an)| Ai Rn, a1 + a2 + . + an = 0。 1. 1，证明：W是Rn的子空间。 2. 2，求W的维数与一组基。 75. 设V为数域P上n维线性空间，V1, V2为V的两子空间， 且 V

18、= V1 V2, A是V上可逆线性变换。证明： V = AV1 AV2。 76. 设V是一个欧氏空间， , V， 证明： | = | + , - ) = 0。 77. 设A是欧氏空间V的一个正交变换， 证明：A的不变子空间的正交补也是A的不变子空间。 78. 设 V = P2 x 2, B V，(1)证明：变换A： X BX - XB是V上一个线性变换；(2)当 B = 时，求A在基Eij下的矩阵。 79. 求 f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 -6x2x3的标准形， 并给出所用的非退化线性替换P. 80. 求k为何值时 f (x1, x2, x3) = x12 +

19、(k + 2)x22 + kx32 +2x1x2 -2x1x3 -4x2x3 是正定的。 81. 判别下述结论是否正确，并说明理由。 1. 1，设 A, B Pn x n，若A, B有相同特征多项式，则A与B相似； 2. 2，设A是P上n维线性空间V的线性变换，若A有n个不同特征值，则 A在某基下的矩阵是对角形。 82. 设 W1 = | x, y, z P, W2 = | A, b, c P都是 P2 x 2的子空间。 (1)求 W1 W2的维数和一组基；(2)求W1 + W2的维数。 83. 设 A = ， 1. 1，求A的特征值与特征向量； 2. 2，A是否相似于对角形，为什么

20、？ 84. 设A, B是数域P上n维线性空间V的两线性变换。 若A有n个互异的特征值，且A的特征向量都是B的特征向量， 证明：AB = BA。 85. 设A, B是n阶实矩阵，且B是正定矩阵。证明：存在实可逆矩阵P， 使PTAP与PTBP同时为对角形。 86. 设 V = P2 x 2, B V， 1. 1，证明：变换A： X BX，是V上一个线性变换； 2. 2，当 B = 时，求A在基Eij下的矩阵。 87. 求 f (x1, x2, x3) = x1x2 + x1x3 + x2x3的标准形， 并给出所用的非退化线性替换. 88. f (x1, x2, x3) = 3x12 +4x22 +

21、5x32 +2x1x2 -4x2x3是否正定。为什么？ 89. 判别下述结论是否正确，并说明理由。 1. 1，设 A, B Pn x n，若A与B相似，则A, B有相同特征多项式； 2. 2，设A是n维线性空间V的线性变换，若A在某基下的矩阵是对角形， 则A有n个互异特征值。 90. 设 = (1, 0, 1, 1), = (1, -1, 1, 2), beta1 = (1, -1, 0, 1), = (0, 1, 0, 1), W1 = L(,), W2 = L(,)。 1. 1，求W1 + W2的维数和一组基； 2. 2，求 W1 W2的维数。 91. 设 A = ， 1. 1，求A的特征

22、值与特征向量； 2. 2，A是否相似于一个对角矩阵，为什么？ 92. 设A是实对称矩阵，并且A3 = En。证明：A = En。 93. 设A, B是数域 上n维线性空间V的两线性变换。若AB = BA，并且A有n个互异的特征值。 证明：A, B有n个线性无关的公共特征向量. 94. 设 V = Px5,f (x) V, A(f (x) = r(x)， 其中 f (x) = (x3 - 1)q(x) + r(x), r(x) = 0或次(r(x) < 3。 1. 1，证明：变换A是V的一个线性变换。 2. 2，求A在基 1, x, x2, x3, x4下的矩阵。 95. 设 A = 求正

23、交矩阵T使T'AT为对角形。 96. 设A, B是n x n正定矩阵，证明：A2 + B2是正定矩阵。 97. 判别下述结论是否正确，并说明理由。 1. 1，设A是n维线性空间V的线性变换，则 V = AV kerA； 2. 2，设V为欧氏空间，A是V的一个对称线性变换， ,是A之属不同特征值下的特征向量,则 , 98. 设 ,是 上n维线性空间V的线性变换， W既是-不变子空间,也是-不变子空间.证明: 1. 1，W是 + ,-不变子空间； 2. 2，若是可逆的，则W是 -不变子空间, 99. 设 W = A n x n| TrA = 0, (其中TrA表示A的主对角线元素

24、的和). 1. 1，证明：W是一个子空间； 2. 2，求W的维数和一组基. 100. 设 A = 可逆，其中 A1 Pm x n, Wi = AiX = 0 之解空间,证明： Pn = W1 W2. 101. 设A在基 ,下的矩阵是 A = 求在基 = 2 +3 + , = 3 +4 + , = +2 +2下的矩阵. 102. 设 A = 求A的特征值，特征向量.A是否相似于对角矩阵？ 103. 设A正定矩阵，证明：A*也正定. 104. 判别下述结论是否正确，并说明理由. 1. 1，n级实矩阵A是负定的充要条件是A的顺序主子式全小于0； 2. 2，n维欧氏空间V之正交变换把V的正交基变成正交

25、基. 105. 设是A之属的特征向量， g(x) = akxk Px，证明：是g(A)之属 g()的特征向量。 106. 设A是n维线性空间V的线性变换，证明下述等价. 1. 1，A可逆； 2. 2， kerA = 0； 3. 3，A将V的基变成基. 107. 设XTAX是实二次矩阵，XTBX是正定二次矩阵，其中A, B是对称矩阵, 则存在非退化线性替换X = PY把它们同时变换成标准形。 108. 设 V = Px5,f (x) V, A(f (x) = r(x)， 其中 f (x) = (x2 - 1)q(x) + r(x)，r(x) = 0或次(r(x) < 2)。 1. 1，证明

26、：变换A是V的一个线性变换。 2. 2，求A在基 1, x, x2, x3, x4下的矩阵。 109. 用正交线性替换，把实二次型 f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 +2x2x3化为标准形， 并求所用的正交线性替换。 110. 设A, B是正定矩阵，证明：A + B，A-1都是正定矩阵。 111. 判别下述结论是否正确，并说明理由。 1. 1，若数域P上n阶矩阵A, B有相同特征多项式，则A与B相似； 2. 2，若W是n维欧氏空间V的子空间W的正交补，则 V = W W。 112. 设 V1, V2, V3 V是有限维子空间，证明： dimV1 + dimV2 + d

27、imV3 = dim(V1 + V2 + V3) + dim(V3 (V1 + V2) + dim(V1 + V2)。 113. 设A为n维欧氏空间V的线性变换， 证明：A是对称变换的充要条件是A有n个两两正交的特征向量。 114. 设A是n维欧氏空间的一个线性变换， (,)是V的内积。证明： (A(), A()是V的内积 A可逆。 115. 设 A = ，求A的逆矩阵。 116. 求二次型 f (x1, x2, x3) = x12 +5x1x2 -3x2x3的一个标准形， 并写出所用的非退化的线性替换。 117. 设 A = ，求A的所有特征值，特征向量。A是否相似于一个对角矩阵，为什么？

28、118. 设A是P上n x n矩阵， W = f (x) Px| f (A) = 0。 证明：W关于通常的加与数乘是一个P上的线性空间。 119. 设 = (1, 2, 1, 0), = (- 1, 1, 1, 1), = (2, -1, 0, 1), = (1, - 1, 3, 7)，求 L(,) + L(,)与 L(,) L(,) 的维数。 120. 设V是一个欧氏空间， , V， 证明： | = | ( + , - ) = 0。 121. 设A是n x n实矩阵，证明：A'A是半正定矩阵。 122. 设A是欧氏空间的一个实对称变换。证明：若A4 = 0，则A = 0。

29、123. 设 A = ，求A的逆矩阵。 124. 求二次型 f (x1, x2, x3) = 3x12 -5x1x2 +2x1x3 - x32的一个标准形， 并写出所用的非退化的线性替换。 125. 设 A = ，求A的最小的特征值，并求属于该特征值的全体特征向量。 126. 设A是P上n x n矩阵， W = f (A)| f (x) Px。 证明：W关于通常的加与数乘是一个线性空间。 127. 设V是P上2 x 2矩阵全体组成的一个线性空间，对B V，令 A(B) = ，其中B'是B的转置。 1. 1，证明：A是V的一个线性变换。 2. 2，求A在基 ,下的矩阵。 128

30、. 设V是欧氏空间， , V。证明： (,) = | + |2 - | - |2。 129. 设A是3 x 3矩阵。若1, 1, - 2是A的特征值，求 A2 +2A - 3E3的行列式。 130. 设A是n x n实对称矩阵。证明：若A3是半正定矩阵，则A是半正定矩阵。 131. 求矩阵X，使 X = 。 132. 求二次型 f (x1, x2, x3) = x12 -6x1x2 +4x1x3 -7x22 + x32的一个标准形， 并写出所有的非退化的线性替换。 133. 设 A = ，求A的最大的特征值，并求属于该特征值的全体特征向量。 134. 设A是一个p上n x n矩阵，W是所有形为

31、AB(其中B是n x m矩阵)全体所成的集。 证明：W关于通常的加与数乘是一个P上的线性空间。 135. 设V是由零多项式和P上次数小于3的一元多项式的全体组成的P上的线性空间。 对于f (x) V，令 A(f (x) = f'(x) - f''(x)。 1. 1，证明：变换A是一个线性变换。 2. 2，求A在基 1, x + 1, x2 - x下的矩阵。 136. 设V是欧氏空间， , V。证明： 若 | + |2 = |2 + |2，则与正交。 137. 设A, B都是n x n正定矩阵。证明：A + B也是正定矩阵。 138. 设A是n x n实对称矩阵。证明：

32、若A5 = En，则A = En。 139. 设 A = ，求A的逆矩阵。 140. 求二次型 f (x1, x2, x3) = 2x12 + x22 -4x1x2 -4x2x3的一个标准形， 并写出所用的非退化的线性替换。 141. 设 A = ，求A的最小的特征值，并求属于该特征值的全体特征向量。 142. 设V是欧氏空间，W是V上所有对称变换组成的集合。 证明：W关于通常的加与数乘是一个R上的线性空间。 143. 设V是P上2 x 2矩阵全体组成的一个线性空间，对B V，令 A(B) = B。 1. 1，证明：A是V的一个线性变换。 2. 2，求A在基 ,下的矩阵。 144. 设V是一个

33、欧氏空间， , V。证明： 若与正交，则 | + |2 - | - |2 = 0。 145. 设A是n x n矩阵。证明：若0是A的一个特征值，则A不是可逆的。 146. 设A是n x n实对称矩阵。是A的最大特征值。 证明： ( +1)En - A是正定矩阵。 147. 求矩阵X，使 X = 。 148. 求二次型 f (x1, x2, x3) = 2x12 +5x22 +5x32 +4x1x2 -4x1x3 -8x2x3的一个标准形， 并写出所用的非退化的线性替换。 149. 设 A = ，求A的全体实的特征值，并求属于这些特征值的全体特征向量。 150. 设 W = f (x) Px|&

34、#160;f (1) = 0。 证明：W关于通常的加与数乘是一个上P的线性空间。 151. 设 = (1, 2, -1, -2), = (3, 1, 1, 1), = (- 1, 0, 1, -1), = (2, 5, -6, 5), = (- 1, 2, - 7, - 3)，求 L(,) + L(,)与 L(,) L(,) 的维数。 152. 设V是一个欧氏空间， , V。证明： | + |2 + | - |2 = 2|2 +2|2。 153. 设A是3 x 3矩阵。若1, - 1, - 2是A的特征值，求 A2 -3A - 10E3的行列式。 154. 设A是一个n x n实对称矩阵.如果对任意n维列向量（视为n x 1矩阵）， 有 (A,) > 0。证明：A是正定矩阵。 155. 计算向量组， = , = , = , = 的秩. 156. 计算行列式： . 1