第5讲,平面向量概念和线性运算教师

1、第5讲,平面向量概念和线性运算教师 第五讲 平面向量的概念和线性运算 玩前必备 1向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模 (2)零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的 (3)单位向量：长度等于 1 个单位的向量 (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量平行 (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量 (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量 2向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：abba； 结合律： (ab)ca(bc) 减法 求 a 与 b 的相反向量b

2、的和的运算 aba(b) 数乘 求实数 与向量 a 的积的运算 | a|a|，当 0 时，a与 a 的方向相同；当 0时，a 与 a 的方向相反；当 0 时，a0 ( a)()a；()aaa； (ab)ab 3.向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 ，使得 ba. 4向量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b，作oaa，obb，则aob 就是向量 a 与 b 的夹角，向量夹角的范围是0， 5平面向量的数量积 定义 设两个非零向量 a，b 的夹角为 ，则数量|a|b|cos 叫做 a 与b 的数量积，记作 ab 投影 |a|cos 叫做向量 a 在 b 方向上的

3、投影，|b|cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影 几何意义 数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积 6.向量数量积的运算律 (1)abba.(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc. 7向量数量积的性质 设 a、b 为两个非零向量，e 是与 b 同向的单位向量 (1)aeea|a|cosa，b；(2)abab0 且 ab0ab； (3)aa|a| 2 或|a| a 2 ；(4)cosa，bab|a|b| ；(5)|ab|a|b|. 玩转典例 题型一 向量概念的理解 例 1 判断下列命题是否正确，并说明理由 若 ab，则 a 一

4、定不与 b 共线； 若ab dc ，则 a、b、c、d 四点是平行四边形的四个顶点； 在平行四边形 abcd 中，一定有ab dc ； 若向量 a 与任一向量 b 平行，则 a0； 若 ab，bc，则 ac； 若 ab，bc，则 ac. 解 两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以 a 与 b 有共线的可能，故不正确abdc，a、b、c、d 四点可能在同一条直线上，故不正确在平行四边形 abcd 中，|ab |dc |，ab 与dc平行且方向相同，故ab dc ，正确零向量的方向是任意的，与任一向量平行，正确ab，则|a|b|且 a 与 b 方向相同；bc，则|b|c|且 b

5、与 c 方向相同，则 a 与 c 方向相同且模相等，故 ac，正确若 b0，由于 a 的方向与 c 的方向都是任意的，ac 可能不成立；b0 时，ac 成立，故不正确 例 2 如图所示，abc 的三边均不相等，e、f、d 分别是 ac、ab、bc 的中点 (1)写出与ef 共线的向量； (2)写出与ef 的模大小相等的向量； (3)写出与ef 相等的向量 解 (1)因为 e、f 分别是 ac、ab 的中点，所以 ef 綊 12 bc.又因为 d 是 bc 的中点， 所以与ef 共线的向量有：fe ，bd ，db，dc，cd，bc ，cb . (2)与ef 模相等的向量有：fe ，bd ，db，

6、dc，cd. (3)与ef 相等的向量有：db 与cd. 题型练透 1.判断下列命题是否正确，并说明理由 若向量 a 与 b 同向，且|a|b|，则 ab； 若向量|a|b|，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反； 对于任意|a|b|，且 a 与 b 的方向相同，则 ab； 向量 a 与向量 b 平行，则向量 a 与 b 方向相同或相反 解 不正确因为向量是不同于数量的一种量它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故不正确 【来源：】 不正确由|a|b|只能判断两向量长度相等，并不能判断方向 正确因为|a|b|，且 a 与 b 同向由两向量相等的条件可得 ab. 不正

7、确因为向量 a 与向量 b 若有一个是零向量，则其方向不确定 2.下列说法正确的是( ) a向量 ab 与 cd 是共线向量，则 a，b，c，d 必在同一直线上 b向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反 c向量 ab 与向量 ba 是两平行向量 d单位向量都相等 解析 a 项考查的是有向线段共线与向量共线的区别事实上，有向线段共线要求线段必须在同一直线上而向量共线时，表示向量的有向线段可以在两条平行直线上，不一定在同一直线上故 a 项错误由于零向量与任一向量平行，因此，若 a，b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的故 b 项错误由于向量 ab 与 ba 方向相反，所以二者是

8、平行向量故 c 项正确单位向量的长度都相等，方向任意，而向量相等不仅需要长度相等，还要求方向相同故 d 项错误 3.给出下列四个命题：若|a|0，则 a0；若|a|b|，则 ab 或 ab；若 ab，则|a|b|；若 ab，bc，则 ac.其中，正确的命题有( ) a0 个 b1 个 c2 个 d3 个 解析 忽略了 0 与 0 的区别，a0；混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等；当 b0 时，a、c 可以为任意向量，故 a 不一定平行于 c. 4.如图，abc 和a

9、bc是在各边的 13 处相交的两个全等的等边三角形，设abc 的边长为 a，图中列出了长度均为 a3 的若干个向量，则 (1)与向量 gh 相等的向量有_； (2)与向量 gh 共线，且模相等的向量有_； (3)与向量 ea 共线，且模相等的向量有_ 解析：向量相等向量方向相同且模相等 向量共线表示有向线段所在的直线平行或重合 答案：(1) lb¢ ¢ ， hc (2) ec¢ ¢ ， le ， lb¢ ¢ ， gb ， hc (3) ef ， fb ， ha¢ ¢ ， hk ， kb¢ ¢ 题

10、型二 二 向量的加减法运算 例 例 3 3 如图，在abc 中，o 为重心，d、e、f 分别是 bc、 ac、ab 的中点，化简下列三式： (1) bc ce ea ； (2) oe ab ea ； (3) ab fe dc . 解：(1) bc ce ea be ea ba . (2) oe ab ea ( oe ea ) ab oa ab ob . (3) ab fe dc ab bd dc ad dc ac . 例 例 4 化简：(1)( ab cd )( ac bd )； (2)( ac bo oa )( dc do ob ) 解 (1)( ab cd )( ac bd )( ab b

11、d )( ac cd ) ad ad 0. (2)( ac bo oa )( dc do ob ) ( ac ba )( oc ob ) bc bc 0 题型练透 1.如图，在平行四边形 abcd 中， (1) ab ad _； (2) ac cd do _； (3) ab ad cd _； (4) ac ba da _. 解析：(1)由平行四边形法则可知为 ac ； (2) ac cd do ad do ao ； (3) ab ad cd ac cd ad ； (4) ac ba da ba ac da bc da 0. 答案：(1) ac (2) ao (3) ad (4)0 2化简以下各

12、式： (1) ab bc ca ； (2) ab ac bd cd ； (3) oa od ad ； (4) nq qp mn mp . 结果为零向量的式子个数是( ) a1 b2 c3 d4 解析：选 d (1)首尾相接的向量的和为零向量； (2) ab ac bd cd ( ab bd )( ac cd ) ad ad 0； (3) oa od ad ( oa od ) ad da ad 0； (4) nq qp mn mp ( nq qp )( mn mp ) np pn0. 题型三 三 向量加减法的几何意义 例 例 5 5 设点 m 是线段 bc 的中点，点 a 在线段 bc 外，|

13、bc | 2 16，| ab ac | ab ac |，则| am |( ) a8 b4 c2 d1 解析 以 ab ， ac 为邻边作平行四边形 acdb，则由向量加、减法的几何意义可知 ad ab ac ，cb ab ac ，因为| ab ac | ab ac |，所以| ad | cb |. 又四边形 acdb 为平行四边形，所以四边形 acdb 为矩形，故 acab. 则 am 为 rtabc 斜边 bc 上的中线，因此，| am | 12 |bc |2. 题型练透 1. (2021全国)设非零向量 a，b 满足|ab|ab|，则( ) aab b|a|b| cab d|a|b| 解析

14、 利用向量加法的平行四边形法则在abcd 中，设ab a，ad b， 由|ab|ab|知，|ac |db |，从而四边形 abcd 为矩形，即 abad，故 ab.故选 a. 题型四 四 向量的数乘及线性运算 例 例 6 6 (1)在平行四边形 abcd 中，点 e 为 cd 的中点，be 与 ac 的交点为 f，设ab a，ad b，则向量bf等于( ) a. 13 a23 b b 13 a23 b c 13 a23 b d. 13 a23 b 答案 c 解析 bf 23 be 23 (bc ce ) 23 èæøöb 12 a 13 a23 b，故选

15、 c. (2)(2021全国)在abc 中，ad 为 bc 边上的中线，e 为 ad 的中点，则eb 等于( ) a. 34 ab 14 ac b. 14 ab 34 ac c. 34 ab 14 ac d. 14 ab 34 ac 答案 a 解析 作出示意图如图所示 eb ed db 12 ad 12 cb 12 12 (ab ac ) 12 (ab ac ) 34 ab 14 ac .故选 a. 题型练透 1.在abc 中，点 d，e 分别在边 bc，ac 上，且bd2dc，ce 3ea ，若ab a，ac b，则de 等于( ) a. 13 a512 b b. 13 a1312 b c

16、13 a512 b d 13 a1312 b 解析 dedcce 13 bc 34 ca 13 (ac ab ) 34 ac 13 ab 512 ac 13 a512 b，故选 c. 2.(2021威海模拟)在平行四边形 abcd 中，e，f 分别为边 bc，cd 的中点，若ab xae yaf (x，yr)，则 xy_. 解析 由题意得ae ab be ab 12 ad，af ad dfad 12 ab ， 因为ab xae yaf ，所以ab èæøöx y2ab èæøöx2 y ad，所以î

17、37;ì x y2 1，x2 y0，解得îíì x 43 ，y 23 ， 所以 xy2. 题型五 五 共线向量定理的应用 例 例 7 7 (1)已知 e 1 ，e 2 是两个不共线的向量，若 ab 2e 1 8e 2 ， cb e 1 3e 2 ， cd 2e 1 e 2 ，求证：a，b，d 三点共线 (2)已知 a，b，p 三点共线，o 为直线外任意一点，若 op x oa y ob ，求 xy 的值 解 (1)证明： cb e 1 3e 2 ， cd 2e 1 e 2 ， bd cd cb e 1 4e 2 . 又 ab 2e 1 8e 2 2(e

18、1 4e 2 )， ab 2 bd ， ab bd . ab 与 bd 有交点 b，a，b，d 三点共线 (2)由于 a，b，p 三点共线，所以向量 ab ， ap 在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数 使ap ab ，即 op oa ( ob oa )，所以 op (1) oa ob ，故 x1，y，即 xy1. 题型练透 1.如图所示，已知 d，e 分别为abc 的边 ab，ac 的中点，延长 cd 到 m 使 dmcd，延长 be 至 n 使been，求证：m，a，n 三点共线 证明：d 为 mc 的中点，且 d 为 ab 的中点， ab am ac ， am ab ac cb

19、 .同理可证明 an ac ab bc . am an . am ， an 共线且有公共点 a，m，a，n 三点共线 2.已知向量 a，b 是两个不共线的向量，且向量 ma3b 与 a(2m)b 共线，则实数 m 的值为_ 解析：因为向量 ma3b 与 a(2m)b 共线且向量 a，b 是两个不共线的向量，所以 m32m ，解得 m1 或 m3. 3.（2021湖南高三期末（理）如图所示，已知点 g 是 abc d 的重心，过点 g 作直线分别交 , ab ac 两边于 , m n 两点，且 amxab =uuur uuur， anyac =uuur uuur，则 3x y + 的最小值为_

20、【答案】4 2 33+ 【解析】根据条件：1ac any=，1ab amx= ； 又1 13 3ag ab ac = + ；1 13 3ag am anx y= +； 又 m，g，n 三点共线；1 13 3 y x+ = 1；x0，y0； 3x+y（3x+y）（1 13 3 x y+）4 43 3 3x yy x= + + ³ + 24 2 33 3x yy x+× = ； 3x+y 的最小值为4 2 33+当且仅当3x yy x=时"='成立故答案为：4 2 33+ 题型六 六 共线向量定理的应用 例 例 8 （2021湖南高二期末）已知 , a b 是

21、单位向量，且满足 (2 ) 0 b a b × + = ，则 a 与 b 的夹角为（ ） a.6p b.3p c.56p d.23p 【答案】d 【解析】设单位向量 a ， b 的夹角为 q ， (2 ) 0 b a b × + = ，22 ? 0ab b + = 即22 1 1 cos 1 0 q ´ ´ ´ + = ，解得1cos2q = - ，23pq = a 与 b 夹角为23p故选： d 例 例 9 （2021江西高一期末）已知 1 a = ， 2 b = ，且 ( ) a a b + ，则 a 在 b 方向上的投影为( ) a. 1

22、- b. 1 c.12- d.12 （2）（2021山西省静乐县第一中学）在 abc d 中 | | | ab ac ab ac + = -uuur uuur uuur uuur, 3, 4, ab ac = = 则 bc 在 ca 方向上的投影为（ ） a4 b3 c-4 d5 【答案】（1）c （2）c 【解析】（1） ( ) a a b + ， ( ) 0 a a b × + = ，即20 a a b + × =， 1 a b × = - ， a 在 b 方向上的投影为12a bb×= -，故选 c. （2）对等式 ab ac ab ac + = - 两边平方得， 2 2 2 22 2 ab ac ab ac ab ac ab ac + + × = + - ×uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur，整理得，0 ab ac × =，则 abac ， (