第二章,一元二次函数、方程和不等式单元测试（基础卷）（解析版）

1、第二章,一元二次函数、方程和不等式单元测试（基础卷）（解析版） 第一册第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 一、单选题 1 下列结论正确的是（ ） a 若 a b > ，则1 1b a> b 若2 2a b <，则 a b < c 若 a b > ， c d > 则 a d b c - > - d 若 a b > ，则2 2ac bc > 【答案】c 【解析】 【分析】 先举例说明 abd不成立，再根据不等式性质说明 c 成立. 【详解】 当 1, 2 a b = = - 时，满足 a b > ，

2、但1 1b a> 不成立，所以 a错； 当 1, 2 a b = = - 时，满足2 2a b <，但 a b < 不成立，所以 b 错； 当 1, 2, 0 a b c = =- = 时，满足 a b > ，但2 2ac bc >不成立，所以 d错； 因为 c d > 所以 d c - >- ，又 a b > ，因此同向不等式相加得 a d b c - > - ，即 c 对； 故选：c 【点睛】 本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题. 2 下列不等式的解集是空集的是 a x 2 -x+10 b -2x 2 +x+10 c 2

3、x-x 2 5 d x 2 +x2 【答案】c 【解析】 试题分析：a 开口向上， 0 d< ，所以解集是 r 空集；b 解集为1| 12x xì ü- < <í ýî þ ；c 变形为22 5 0 x x - + < 开口向上， 0 d< ，所以解集是空集；d22 0 x x + - > ，解得 | 2 1 x x - < < 考点：解一元二次不等式 3 若0, 0 a b > > ，则 "4 a b + £ ' 是 " 4 ab

4、63; ' 的（ ） a 充分不必 要条件 b 必要不充分条件 c 充分必要条件 d 既不充分也不必要条件 试卷第 2 页，总 16 页 【答案】a 【解析】 【分析】 本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用"特殊值法'，通过特取 , a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】 当 0, 0 a b 时， 2 a b ab + ³ ，则当 4 a b + £ 时，有 2 4 ab a b £ + £ ，解得 4 ab£ ，充分性成立；

5、当 =1, =4 a b 时，满足 4 ab£ ，但此时 =54 a+b ，必要性不成立，综上所述，" 4 a b + £ '是" 4 ab£ '的充分不必要条件. 【点睛】 易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用"赋值法'，通过特取 , a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 4 已知 2 6 a = + ， 4 b =， 3 5 c = + ，则 a 、 b 、 c 的大小关系为（ ） ） a a b c > > b c a b > >

6、c c b a > > d b c a > > 【答案】d 【解析】 【分析】 比较2a 、2b 、2c 的大小，进而可得出 a 、 b 、 c 的大小关系. 【详解】 ( )222 6 8 2 12 a = + = + ，( )223 5 8 2 15 c = + = + ， 又 8 2 12 8 2 15 8 2 16 16 + < + < + = ，即2 2 2a c b < <， 又a 、 b 、 c 均为正数，所以， bc a > > . 故选：d. 【点睛】 本题考查数的大小比较，考查推理能力，属于基础题. 5 几何原本卷

7、 2 2 的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为 " 无字证明 '.现有如下图形： ab 是半圆 o 的直径，点 d 在半圆周上， cd ab 于点 c ，设 ac a = ， bc b = ，直接通过比较线段 od 与线段 cd 的长度可以完成的 " 无字证明 ' 为（ ） a (0, 0)b m bb a ma m a+> > > >+ b 2 22( )( 0, 0)2a b a b a b + ³ + > &g

8、t; c 2( 0, 0)abab a ba b£ > >+ d ( 0, 0)2a bab a b+³ > > 【答案】d 【解析】 od 是半圆的半径， ab a b = + 为圆的直径，2a bod+ = ，由射影定理可知，2, cd ac bc ab cd ab = × = = ，在 rt odc d 中， od cd > ，2a bab+> ，当 o 与 c 重合时， =2a bab+，所以2a bab+³ ，故选 d. 6 糖水溶液（不饱和）的浓度计算公式为( )bc a ba= >糖的质量 克糖水的

9、质量 克，向糖水（不饱和）中再加入 m克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，则反应这一事实的不等关系为（ ） ） a b b ma a m+>+ b b b ma a m+<+ c b b ma a+> d b b ma a+< 【答案】b 【解析】 【分析】 依题意得到不等关系，即可得解. 【详解】 解：依题意，向糖水（不饱和）中再加入 m 克糖，此时糖水的浓度为b ma m+，根据糖水更甜，可得b b ma a m+<+ 故选： b 【点睛】 本题考查利用不等式表示不等关系，属于基础题. 7 的 若对于任意的 x 0 ，不等式23 1xax x£+ +

10、数 恒成立，则实数 a 的取值范围是( ) a a15 b a 15 c a 15 d a15 【答案】a 【解析】 试卷第 4 页，总 16 页 【分析】 由于 x0，对不等式左侧分子分母同时除以 x，再求出左侧最大值即可求解. 【详解】 由题：对于任意的 x0，不等式23 1xax x£+ +恒成立， 即对于任意的 x0，不等式113axx£+ +恒成立， 根据基本不等式：1 10, 3 3 2 5 x x xx x> + + ³ + × = ，当且仅当 1 x= 时，取得等号， 所以113 xx+ +的最大值为15， 所以15a ³

11、 . 故选：a 【点睛】 此题考查不等式恒成立求参数范围，通过转化成求解函数的最值问题，结合已学过的函数模型进行求解，平常学习中积累常见函数处理办法可以事半功倍. 8 若关于 x 的不等式22 0 x ax + - >在区间 1,5 上有解，则实数 a 的取值范围为（ ） ） a 23 ,5æ ö- +¥ç ÷è ø b 23,15é ù-ê úë û c (1, ) +¥ d ( ,1) -¥ 【答案】a 【解析】 【分析】 用分离参数法

12、转化为求函数的最值 【详解】 因为关于 x 的不等式22 0 x ax + - >在区间 1,5 上有解，所以22 2 xa xx x-> = - 在 1,5 上有解，易知2= - y xx在 1,5 上是减函数，所以 1,5 xÎ 时，min2 2 2355 5xxæ ö- = - = -ç ÷è ø， 所以235a > - 故选：a 【点睛】 本题考查不等式有解问题，解题方法是用分离参数法转化为求函数的最值 二、多选题 9 数 对于任意实数 a ， b ， c ， d ，有以下四个命题，其中正确的是（

13、） ） a 若 a b > ， c d > ，则 ac bd > b 若2 2ac bc >，则 a b > c 若 a b > ，则1 1a b< d 若 a b > ， c d > ，则 a d b c - > - 【答案】bd 【解析】 【分析】 （1）可举反例证明不正确.（2）因为2 2ac bc >成立，则20 c >.（3） a 为正数， b 为负数时不成立.（4）因为 c d > ，则 c d - <- ，所以 a d b c - > - . 【详解】 a 选项： 3 5 - >- ，

14、 1 4 >- ，但是 ( ) 3 1 5 4 - ´ <- ´ - ，a 不正确； b 选项：因为2 2ac bc >成立，则20 c >，那么 a b > ，b 正确； c 选项： 2 3 >- ，但是1 12 3> - ，c 不正确； d 选项：因为 c d > ，则 c d - <- ，又 a b > ，所以 a d b c - > - ，d 正确. 故选：bd 【点睛】 此题考查不等式比较大小，一般可通过特值法证伪判错，属于简单题目. 10 下列结论正确的是（ （ ） ） a 当 0 x >

15、时，12 xx+ ³ b 当 2 x> 时，1xx+ 是 的最小值是 2 c 当54x < 时，14 24 5xx- +-是 的最小值是 5 d 设 0 x > ，0 y > ，且 2 x y + = ，则1 4x y+的最小值是92 【答案】ad 【解析】 【分析】 试卷第 6 页，总 16 页 由基本不等式成立的前提条件是"一正、二定，三相等'，可得选项 a,d正确， b,c 错误. 【详解】 对于选项 a，当 0 x > 时， 0 x > ，1 12 2 x xx x+ ³ ´ = ，当且仅当 1 x=

16、时取等号，结论成立，故 a正确； 对于选项 b，当 2 x> 时，1 12 2 x xx x+ ³ × = ，当且仅当 1 x= 时取等号，但 2 x> ，等号取不到，因此1xx+ 的最小值不是 2，故 b 错误； 对于选项 c，因为54x < ，所以 5 4 0 x - > ，则1 14 2 5 4 3 24 5 5 4y x xx xæ ö= - + = - - + + £ - ´ç ÷- -è ø( )15 4 3 15 4xx- ´ + =-，当且仅当1

17、5 45 4xx- =-，即 1 x= 时取等号，故 c 错误； 对于选项 d，因为 0 x > ， 0 y > ，则( )1 4 1 1 4 1 4 1 4 95 2 52 2 2 2y x y xx yx y x y x y x yæ öæ ö æ ö+ = + + = + + ³ × + =ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè ø，当且仅当4 y xx

18、y=，即2 4,3 3x y = = 时，等号成立，故 d正确. 故选：ad. 【点睛】 本题考查了均值不等式成立的前提条件是"一正、二定，三相等'，重点考查了运算能力，属中档题. 11 若"23 4 0 x x + - <' 是" ( )2 22 3 3 0 x k x k k - + + + > ' 的充分不必要条件，则实数 k 可以是（ ） ） a -8 b -5 c 1 d 4 【答案】acd 【解析】 【分析】 分别求出两个不等式的解集，根据题意知 ( 4,1) - ( , ) ( 3, ) k k -¥ &

19、#200; + +¥ ，从而求得 k 的取值范围. 【详解】 23 4 0 x x + - <，解得 4 1 x - < < ， ( )2 22 3 3 0 x k x k k - + + + > 即 ( ) ( 3) 0 x k x k - - + > ，解得 x k < 或 3 x k > + ， 由题意知 ( 4,1) - ( , ) ( 3, ) k k -¥ È + +¥ ，所以 1 k 或 3 4 k+ £- ， 即 ( , 7 1, ) kÎ -¥ - È +

20、¥ . 故选：acd 【点睛】 本题考查一元二次不等式，根据集合的包含关系求参数，属于基础题. 12 已知关于 x 的不 等式233 44a x x b £ - + £ ，下列结论正确的是（ ） ） a 当 1 a b < < 时，不等式233 44a x x b £ - + £ 的解集为 Æ b 当 1 a = ， 4 b = 时，不等式233 44a x x b £ - + £ 的解集为 0 4 x x £ £ c 当 2 a = 时，不等式233 44a x x b £

21、; - + £ 的解集可以为 x c x d £ £ 的形式 d 不等式233 44a x x b £ - + £ 的解集恰好为 x a x b £ £ ，那么43b = e. 不等式233 44a x x b £ - + £ 的解集恰好为 x a x b £ £ ，那么 4 b a - = 【答案】abe 【解析】 【分析】 根据解二次不等式，二次函数的知识依次判断每个选项： ( ) 48 1 0 b d= - < a 正确；计算得到 b 正确；解集形式不正确得到 c 错误；计

22、算不满足 1 a£ d错误；计算得到 e 正确，得到答案. 【详解】 由233 44x x b - + £ 得23 12 16 4 0 x x b - + - £，又 1 b< ，所以 ( ) 48 1 0 b d= - < ，从而不等式233 44a x x b £ - + £ 的解集为 Æ ，故 a 正确. 当 1 a = 时，不等式233 44a x x £ - + 就是24 4 0 x x - + ³，解集为 r ，当 4 b = 时，不等式233 44x x b - + £ 就是24

23、 0 x x - £，解集为 0 4 x x £ £ ，故 b 正确. 在同一平面直角坐标系中作出函数 ( )223 33 4 2 14 4y x x x = - + = - + 的图象及直线 ya =和 y b = ，如图所示. 试卷第 8 页，总 16 页 由图知，当 2 a = 时，不等式233 44a x x b £ - + £ 的解集为 a c d bx x x x x x x x £ £ È £ £ 的形式，故 c 错误. 由233 44a x x b £ - + 

24、3; 的解集为 x a x b £ £ ， 知mina y £ ，即1 a£ ，因此当 xa =， x b = 时函数值都是 b .由当 x b = 时函数值是 b ，得233 44b b b - + = ，解得43b = 或 4 b = . 当43b = 时，由23 43 44 3a a b - + = = ，解得43a = 或83a = ，不满足 1 a£ ，不符合题意，故 d错误. 当 4 b = 时，由233 4 44a a b - + = = ，解得 0 a = 或 4 a = ， 0 a = 满足 1 a£ ，所以 0 a

25、 = ，此时4 0 4 b a - = - = ，故 e 正确. 故选： abe 【点睛】 本题考查了解不等式，二次函数知识，意在考查学生对于二次函数、不等式知识的综合应用. 三、填空题 13 若 1 a 2 - < < ， 2 1 b - < < ，则 - a b 的取值范围是 【答案】(-2,4) 【解析】 【分析】 根据条件，得到 b - 的范围，然后与 a 的范围相加，得到 - a b 的取值范围. 【详解】 因为 2 1 b - < < ， 所以 1 2 b - <- < 而 1 a 2 - < < 所以 2 4 a b -

26、 < - < 故答案为 ( ) 2,4 - . 【点睛】 本题考查不等式的基本性质，属于简单题. 14 不等式221xx-³-的解集是_. . 【答案】 0,1) 【解析】 【分析】 移项后通分，再转化为一元二次不等式来求解，注意分母不为零. 【详解】 原不等式可化为22 01xx- ³-即 01xx£-，所以( ) 1 01 0x xxì - £í- ¹î， 故 0 1 x £ < ，所以原不等式的解集为 0,1) . 故答案为： 0,1) . 【点睛】 本题考查分式不等式的解集， 此

27、类不等式常利用符号法则转化为一元二次不等式来求解，转化时注意分母不为零，本题属于基础题. 15 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园( 阴影部分), 则其边长 x 为 (m). 【答案】20 【解析】 试题分析：设矩形高为 y ，由三角形相似得4040 40x y -= 且 0, 0, 40, 40 x y x y > > < < ， 所以 40 2 x y xy = + ³ ，仅当 20 x y cm = = 时，矩形的面积 s xy = 取最大值2400m ，所以其边长为 20 m . 考点：基本不等式的应用. 试卷第 10 页，

28、总 16 页 16 已知 0,0 a b > > ，且1 ab= ，则1 1 82 2 a b a b+ +的最小值为_ 【答案】4 【解析】 【分析】 根据已知条件，将所求的式子化为82a ba b+，利用基本不等式即可求解. 【详解】 0, 0, 0 a b a b > > + > ， 1 ab= ,1 1 8 82 2 2 2ab aba b a b a b a b + + = + + + 8 82 42 2a b a ba b a b+ += + ³ ´ =+ +，当且仅当 a b + =4 时取等号， 结合 1 ab= ,解得 2 3

29、, 2 3 a b = - = + ，或 2 3, 2 3 a b = + = - 时，等号成立. 故答案为： 4 【点睛】 本题考查应用基本不等式求最值，"1'的合理变换是解题的关键，属于基础题. 四、解答题 17 已知二次函数的图象如图所示： （ （1 ）写出该函数的解析式； （ （2 ）求当 2,2 xÎ - 时，函数的值域 【答案】(1) 22 3 y x x = - - ,(2) 4,5 - 【解析】 【分析】 （1）利用待定系数法，设函数解析式为 ( 1)( 3) y a x x = + - ，将 (0, 3) - 代入，求出 a 的值，即可得到函数的解

30、析式； （2）利用配方法，结合函数的定义域，可得函数的值域 【详解】 解：（1）设二次函数为 ( 1)( 3) y a x x = + - ，将 (0, 3) - 代入，可得 3 3a - =- ，得 1 a = ， 所以二次函数解析式为22 3 y x x = - - ， （2）2 22 3 ( 1) 4 y x x x = - - = - - ， 因为 2,2 xÎ - ，函数图像的对称轴为直线 1 x= ， 所以当 1 x= 时，函数取得最小值为 4 - ，当 2 x=- 时，函数取得最大值为 5， 所以函数的值域为 4,5 - 【点睛】 此题考查求二次函数的解析式和值域，属于

31、基础题 18 已知集合 23 4 0 a x x x = - - < ， 2 24 5 0 b x x mx m = + - < . （ （1 ）若集合 5 1 b x x = - < < ，求此时实数 m 的值； （ （2 ）已知命题 : p x a Î ，命题 : q x b Î ，若 p 是 q 的充分条件，求实数 m 的取值范围. 】 【答案】（1） 1 ；（2） ( ) , 1 4, -¥ - +¥ . 【解析】 【分析】 （1）由题意知，方程2 24 5 0 x mx m + - =的两根分别为 5 - 和 1 ，然后

32、利用韦达定理可求出实数 m 的值； （2）求出集合 a ，分 0 m= 、 0 m> 、 0 m< 三种情况讨论，结合题中条件得出 a b Í ，可列出关于实数 m 的不等式组，解出即可. 【详解】 （1） 2 24 5 0 5 1 b x x mx m x x = + - < = - < < ， 所以，方程2 24 5 0 x mx m + - =的两根分别为 5 - 和 1 ， 由韦达定理得25 1 45 1 5mm- + = - ìí - ´ = -î，解得 1 m = ； 试卷第 12 页，总 16 页 （

33、2） 23 4 0 1 4 a x x x x x = - - < = - < < ，由于 p 是 q 的充分条件，则 a b Í . 当 0 m= 时， 20 b x x = < =Æ ，此时 a b Í 不成立； 当 0 m> 时， 2 24 5 0 5 b x x mx m x m x m = + - < = - < < ， a b Í ，则有5 14mm- £ - ìí³î，解得 4 m ； 当 0 m< 时， 2 24 5 0 5 b x x

34、 mx m x m x m = + - < = < < - ， a b Í ，则有15 4mm£ - ìí -³î，解得 1 m£ - . 综上所述，实数 m 的取值范围是 ( ) , 1 4, -¥ - +¥ . 【点睛】 本题考查一元二次不等式解集与方程之间的关系，同时也考查了利用充分条件关系求参数的取值范围，一般转化为集合的包含关系，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 19 已知 1 2 2 a b - < + < ， 3 4 a b < - <，求 5a

35、 b + 的取值范围 【答案】 1 8 x x < < . 【解析】 【分析】 先将 5a b + 表示成 ( ) ( ) 5 2 2a b a b a b + = + - + ，再根据不等式的性质求解即可. 【详解】 解：令 5 (2 ) ( ) (2 ) ( ) a b a b a b a b l m l m l m + = + + - = + + - 2 5,1,l ml m+ = ì í- =î解得2,1,lm= ìí=î 5 2(2 ) ( ) a b a b a b + = + + - 1 2 2 a b -

36、< + < ，2 2(2 ) 4 a b - < + < 又 3 4 a b < - < ， 1 2(2 ) ( ) 8 a b a b < + + - < 故 5a b + 的取值范围为 1 8 x x < < 【点睛】 本题考查不等式的性质，是基础题. 20 近年来，中美贸易摩擦不断. . 特别是美国对我国华为的限制. . 尽管美国对华为极力封锁，百般刁 难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为 5g ，然而这并没有让华为却步. . 华为在 8 2021 年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲. . 今年，我国华为某一企业为了

37、进一步增加市场竞争力，计划在 在 0 2021 年利用新技术生产某款新手机. . 通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本 0 250 万，每生产 x （千部）手机，需另投入成本 ( ) r x 万元，且 210 100 ,0 40( )10000701 9450, 40x x xr xx xxì + < <ï= í+ - ³ïî，由市场调研知，每部手机售价 7 0.7 万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完. . （ i ）求出 0 2021 年的利润 ( ) w x （万元）关于年产量 x （千部）的函数关系式，

38、（利润= = 销售额 成本）； ( ) ii 02021 年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 】 【答案】（）210 600 250,0 40( )10000( ) 9200, 40x x xw xx xxì-+ - < <ï= í -+ + ³ïî（）2021 年产量为 100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是 9000 万元. 【解 析】 【分析】 （）根据销售额减去成本（固定成本 250 万和成本 ( ) r x ）求出利润函数即可. （）根据（）中的分段函数可求出何时取最大值及相应的最

39、大值. 【详解】 （）当 0 40 x < < 时， ( ) ( )2 2700 10 100 250 10 600 250 w x x x x x x = - + - =- + - ； 当 40 x³ 时， ( )10000 10000700 701 9450 250 9200 w x x x xx xæ ö æ ö= - + - - = - + +ç ÷ ç ÷è ø è ø， ( )210 600 250,0 40100009200, 40x x

40、xw xx xxì-+ - < <ï= íæ ö- + + ³ç ÷ ïè ø î. （）若 0 40 x < < ， ( ) ( )210 30 8750 w x x = - - + ， 当 30 x= 时， ( ) max 8750 w x = 万元 . 若 40 x³ ， ( )100009200 9200 2 10000 9000 w x xxæ ö= - + + £ - =ç ÷&#

41、232; ø， 当且仅当10000xx= 时，即 100 x = 时， ( ) max 9000 w x = 万元 . 试卷第 14 页，总 16 页 2021 年产量为 100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是 9000 万元. 【点睛】 解函数应用题时，注意根据实际意义构建目标函数，有时可根据题设给出的计算方法构建目标函数.求函数的最值时，注意利用函数的单调性或基本不等式. 21 已知函数 ( ) ( ) ( )22 4 f x x a x a r = - + + Î （ （1 ）解关于 x 的不等式 ( ) 4 2 f x a £ - ； （ （2 ）

42、若对任意的 0,4 xÎ ， ( ) 1 0 f x a + + ³ 恒成立，求实数 a 的取值范围 】 【答案】（1）答案见解析；（2） 5,4 - 【解析】 【分析】 （1）将原不等式化为 ( )( 2) 0 x a x - - £ ，分类讨论可得不等式的解 （2）若 1 x= 则 a r Î ；若 ( 1,4 xÎ ，则参变分离后可得411a xx£ - +-在 0,4 xÎ 恒成立，利用基本不等式可求411xx- +-的最小值，从而可得 a 的取值范围 【详解】 （1） ( ) 4 2 f x a £ -

43、， ( )22 2 0 x a x a - + + £ ， 即 ( )( ) 2 0 x a x - - £ ； 当 2 a < 时，不等式解集为 2 x a x £ £ ； 当 2 a = 时，不等式解集为 2 x x = ； 当 2 a > 时，不等式解集为 2 x x a £ £ 综上所述，当 2 a < 时，不等式解集为 2 x a x £ £ ； 当 2 a = 时，不等式解集为 2 x x = ； 当 2 a > 时，不等式解集为 2 x x a £ £ （2）对任意的 0,4 xÎ ， ( ) 1 0 f x a + + ³ 恒成立， ( )22 5 0 x a x a - + + + ³ 恒成立， 即 ( ) 1 2 5 a x x x - £ -