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1、流体力学知识点总结流体力学知识点总结 第一章 绪论 1 液体和气体统称为流体，流体的基本特性是具有流动性，只要剪应力存在流动就持续进行，流体在静止时不能承受剪应力。 2 流体连续介质假设：把流体当做是由密集质点构成的，内部无空隙的连续体来研究。 3 流体力学的研究方法：理论、数值、实验。 4 作用于流体上面的力 （1）表面力：通过直接接触，作用于所取流体表面的力。 F P T A A V 法向应力pA 周围流体作用的表面力 切向应力 作用于A上的平均压应力 作用于A上的平均剪应力 应力 为A点压应力，即A点的压强 法向应力 为A点的剪应力 切向应力 应力的单位是帕斯卡（pa），1pa=1N/，

2、表面力具有传递性。 （2） 质量力：作用在所取流体体积内每个质点上的力，力的大小与流体的质量成比例。（常见的质量力：重力、惯性力、非惯性力、离心力） 单位为 5 流体的主要物理性质 （1） 惯性：物体保持原有运动状态的性质。质量越大，惯性越大，运动状态越难改变。 常见的密度（在一个标准大气压下）： 4时的水 20时的空气 （2） 粘性 h u u+du U z y dy _ 牛顿内摩擦定律： 流体运动时，相邻流层间所产生的切应力与剪切变形的速率成正比。即 以应力表示 粘性切应力，是单位面积上的内摩擦力。由图可知 速度梯度，剪切应变率（剪切变形速度） 粘度 是比例系数，称为动力黏度，单位“pa&

3、#183;s”。动力黏度是流体黏性大小的度量，值越大，流体越粘，流动性越差。 运动粘度 单位：m2/s 同加速度的单位 说明： 1）气体的粘度不受压强影响，液体的粘度受压强影响也很小。 2）液体T 气体T 无黏性流体 无粘性流体，是指无粘性即=0的液体。无粘性液体实际上是不存在的，它只是一种对物性简化的力学模型。 （3） 压缩性和膨胀性 压缩性：流体受压，体积缩小，密度增大，除去外力后能恢复原状的性质。 T一定，dp增大，dv减小 膨胀性：流体受热，体积膨胀，密度减小，温度下降后能恢复原状的性质。 P一定，dT增大，dV增大 A 液体的压缩性和膨胀性 液体的压缩性用压缩系数表示 压缩系数：在一

4、定的温度下，压强增加单位P，液体体积的相对减小值。 由于液体受压体积减小，dP与dV异号，加负号，以使为正值；其值愈大，愈容易压缩。的单位是“1/Pa”。（平方米每牛） 体积弹性模量K是压缩系数的倒数，用K表示，单位是“Pa” 液体的热膨胀系数：它表示在一定的压强下，温度增加1度，体积的相对增加率。 单位为“1/K”或“1/” 在一定压强下，体积的变化速度与温度成正比。水的压缩系数和热膨胀系数都很小。 P 增大 水的压缩系数K减小 T升高 水的膨胀系数增大 B 气体的压缩性和膨胀性 气体具有显著的可压缩性，一般情况下，常用气体（如空气、氮、氧、CO2等）的密度、压强和温度三者之间符合完全气体状

5、态方程，即 理想气体状态方程 P 气体的绝对压强（Pa）； 气体的密度（Kg/cm3）； T 气体的热力学温度（K）； R 气体常数；在标准状态下， M为气体的分子量，空气的气体常数R=287J/KgK。 适用范围：当气体在很高的压强，很低温度下，或接近于液态时，其不再适用。 第二章 流体静力学 1 静止流体具有的特性 （1） 应力方向沿作用面的内发现方向。 （2） 静压强的大小与作用面的方位无关。 流体平衡微分方程 欧拉 在静止流体中，各点单位质量流体所受表面力 和质量力相平衡。 欧拉方程全微分形式： 2 等压面：压强相等的空间点构成的面（平面或曲面）。 等压面的性质：平衡流体等压面上任一点

6、的质量力恒正交于等压面。 由等压面的这一性质，便可根据质量力的方向来判断等压面的形状。质量力只有重力时，因重力的方向铅垂向下，可知等压面是水平面。若重力之外还有其它质量力作用时，等压面是与质量力的合力正交的非水平面。 3 液体静力学基本方程 P0 P1 P2 Z1 Z2 P静止液体内部某点的压强 h该点到液面的距离，称淹没深度 Z该点在坐标平面以上的高度 P0液体表面压强，对于液面通大气的开口容器，视为 大气 压强并以Pa表示 推论 （1）静压强的大小与液体的体积无关 （2)两点的的压强差 等于两点之间单位面积垂 直液柱的重量 （3）平衡状态下，液体内任意压强的变化，等值的 传递到其他各点。

7、液体静力学方程三大意义 .位置水头z：任一点在基准面以上的位置高度，表示单位重量流体从某一基准面算起所具有的位置势能，简称比位能，或单位位能或位置水头。 .压强水头： 表示单位重量流体从压强为大气压算起所具有的压强势能，简称比压能或单位压能或压强水头。 .测压管水头（ ）：单位重量流体的比势能，或单位势能或测压管水头。 4 压强的度量 绝对压强：以没有气体分子存在的完全真空为基准起算的压强，以符号pabs表示。（大于0） 相对压强：以当地大气压为基准起算的压强，以符号p表示。 （可正可负可为0） 真空：当流体中某点的绝对压强小于大气压时， 则该点为真空，其相对压强必为负值。真 空值与相对压强大

8、小相等，正负号相反（必小于0） 相对压强和绝对压强的关系 绝对压强、相对压强、真空度之间的关系 压强单位 压强单位 Pa N/m2 kPa kN/m2 mH2O mmHg at 换算关系 98000 98 10 736 1 说明：计算时无特殊说明时液体均采用相对压强计算，气体一般选用绝对压强。 5 测量压强的仪器（金属测压表和液柱式测压计）。 （1） 金属测压计测量的是相对压强 （弹簧式压力表、真空表） （2） 液柱式测压计是根据流体静力学基本原理、利用液柱高度来测量压强（差）的仪器。 测压管 A点相对压强 真空度 U形管测压计 上式的图形 倾斜微压计 压差计 例8：在管道M上装一复式U形水银

9、测压计，已知测压计上各液面及A点的标高为：1=1.8m =0.6m，Ñ=2.0m，Ñ=1.0m，=Ñ=1.5m。试确定管中A点压强。 6 作用在平面上的静水总压力 图算法 （1） 压强分布图 根据基本方程式： 绘制静水压强大小； （2） 静水压强垂直于作用面且为压应力。 图算法的步骤是：先绘出压强分布图，总压力的大小等于压强分布图的面积S，乘以受压面的宽度b，即 P=bS 总压力的作用线通过压强分布图的形心，作用线与受压面的交点， 就是总压力的作用点 适用范围：规则平面上的静水总压力及其作用点的求解。 原理：静水总压力大小等于压强分布图的体积，其作用线通过压 强分

10、布图的形心，该作用线与受压面的交点便是压心P。 经典例题 一铅直矩形闸门，已知h1=1m，h2=2m，宽b=1.5m，求总压力及其作用点。 梯形形心坐标: a上底，b下底   解： 总压力为压强分布图的体积： 作用线通过压强分布图的重心： 解析法 总压力 = 受压平面形心点的压强×受压平面面积 合力矩定理：合力对 任一轴的力矩等于各分力对同一轴力矩之和 平行移轴定理 解： 经典例题 一铅直矩形闸门，已知h1=1m，h2=2m，宽b=1.5m，求总压力及其作用点。 7 作用在曲面上的静水压力 二向曲面具有平行母线的柱面 水平分力 作用在曲 面上的水平分力等于受压面形心处的相对

11、压强PC与其在垂 直坐标面oyz的投影面积A_的乘积。 铅垂分力 合力的大小 合力的方向 P_ = 受压平面形心点的压强 p c× 受压曲面在 yoz 轴上的投影 AZ PZ = 液体的容重×压力体的体积 V 注明：P的作用线必然通过P_和Pz的交点，但这个交点不一定在曲面上，该作用线与曲面的交点即为总压力的作用点 压力体 压力体分类：因Pz的方向（压力体 压力体和液面在曲面AB的同侧，Pz方向向下 虚压力体 压力体和液面在曲面AB的异侧，Pz方向向上） 压力体叠加 对于水平投影重叠的曲面，分开界定压力体，然后相叠加，虚、实压力体重叠的部分相抵消。 潜体全部浸入液体中的物体

12、称为潜体，潜体表面是封闭曲曲。 浮体部分浸入液体中的物体称为浮体。 第三章 流体动力学基础 1 基本概念： （1） 流体质点(particle)：体积很小的流体微团，流体就是由这种流体微团连续组成的。 （2） 空间点: 空间点仅仅是表示空间位置的几何点，并非实际的流体微团。 （3） 流场：充满运动的连续流体的空间。在流场中，每个流体质点均有确定的运动要素。 （4） 当地加速度（时变加速度）：在某一空间位置上，流体质点的速度随时间的变化率。 迁移加速度（位变加速度）：某一瞬时由于流体质点所在的空间位置的变化而引起 的速度变化率。 （5） 恒定流与非恒定流：一时间为标准，各空间点上的运动参数都不随

13、时间变化的流动是恒定流。否则是非恒定流。 （6） 一元流动：运动参数只是一个空间坐标和时间变量的函数。 二元流动：运动参数只是两个空间坐标和时间变量的函数。 三元流动：以空间为标准，各空间点上的运动参数是三个空间坐标和时间的函数。 （7）流线：某时刻流动方向的曲线，曲线上各质点的速度矢量都与该曲线相切。 流线性质 （1）流线上各点的切线方向所表示的是在同一时刻流场中这些点上的速度方向，因而流线形状一般都随时间而变。 （2）流线一般不相交（特殊情况下亦相交：V=0、速度=） （3）流线不转折，为光滑曲线。 （8）迹线：流体质点在一段时间内的运动轨迹。 迹线与流线 （1）恒定流中，流线与迹线几何一

14、致。 异同 （2）非恒定流中，二者一般重合，个别情况（V=C）二者仍可重合。 （9）流管：某时刻，在流场内任意做一封闭曲线，过曲线上各点做流线，所构成的管状曲面。 流束：充满流体的流管。 （10）过流断面：在流束上作出的与所有的流线正交的横断面。过流断面有平面也有曲面。 （11）元流：过流断面无限小的流束，几何特征与流线相同。 总流：过流断面有限大的流束，有无数的元流构成，断面上各点的运动参数不相同。 （12）体积流量：单位时间通过流束某一过流断面的流量以体积计量。 重量流量：单位时间通过流束某一过流断面的流量以重量计量。 质量流量：单位时间通过流束某一过流断面的流量以质量计量。 （13）断面

15、平均流速：流经有效截面的体积流量除以有效截面积而得到的商。 （14）均匀流与非均匀流：流线是平行直线的流动是均匀流，否则是非均匀流。 均匀流的性质 1> 流体的迁移加速度为零； 2> 流线是平行的直线； 3> 各过流断面上流速分布沿程不变。 4> 动压强分布规律=静压强分布规律。 （15）非均匀渐变流和急变流：非均匀流中，流线曲率很小，流线近似与平行之线的流动是非均匀渐变流，否则是急变流。均匀流的各项性质对渐变流均适用。 2 欧拉法（Euler method） 速度场 压力场 加速度 全加速度 当地加速度 迁移加速度 A B 如图所示：（1）水从水箱流出，若水箱无来水

16、补充，水位H逐渐降低，管轴线上A质点速度随时间减小，当地加速 度为负值，同时管道收缩，指点速度随迁移增大，迁移加速度为正值， 故二者加速度都有。 （2）若水箱有来水补充，水位H保持不变，A质点出的 时间不随时间变化，当地加速度=0，此时只有迁移加速度。 3流量、断面平均流速 4流体连续性方程 物理意义：单位时间内，流体流经单位体积的 流出与流入之差与其内部质量变化 的代数和为零。 对恒定流 对不可压缩流体 【例】 假设有一不可压缩流体三维流动，其速度分布规律为：U=3（_+y3)，V=4y+z2，W=_+y+2z。试分析p 该流动是否存在。 【解】 故此流动不连续。不满足连续性方程的流动是不存

17、在的。 5恒定总流连续性方程 或 物理意义：对于不可压缩流体，断面平均流速与过水断面面积成反比，即流线密集 的地方流速大 ，而流线疏展的地方流速小。 适用范围：固定边界内的不可压缩流体，包括恒定流、非恒定流、理想流体、实际流体。 6流体的运动微分方程 无粘性流体运动微分方程 或 粘性流体运动微分方程 NS方程 拉普拉斯算子  7元流的伯努利方程 伯努利方程 公式说明： （1）适用条件 理想流体 恒定流动 质量力只受重力 不可压流体 沿流线或微小流束。 （2）此公式就是无粘性流体的伯努利方程 各项意义 （1） 物理意义 比位能 比压能 比动能 （2） 几何意义 位置水头 压强

18、水头 流速水头 物理三项之和：单位重量流体的机械能守恒。几何三项之和：总水头相等，为水平线 粘性流体元流的伯努利方程 公式说明：（1）实际液体具有粘滞性，由于内摩擦阻力的影响，液体流动时，其能量将沿程不断消耗，总水头线因此沿程下降，固有H1H 2 （2）上式即恒定流、不可压缩实际液体动能量方程，又称实际液体元流伯努利方程。 粘性流体总流的伯努利方程 （1）势能积分： z 比位能（位置水头） 比压能（压强水头，测压管高度） （2）动能积分： 比势能（测压管水头） 总比能（总水头） 比动能（流速水头） （3）损失积分： 平均比能损失 （水头损失）,单位重流体克服 流动阻力所做的功。 气流的伯努利方

19、程 动能修正系数 动量修正系数 沿程有能量输入或输出的伯努利方程 +Hm单位重量流体通过流体机械获得的机械能（水泵的扬程） -Hm单位重量流体给予流体机械的机械能（水轮机的作用水头） 沿程有汇流或分流的伯努利方程 1 1 2 2 3 3 8水头线：总流沿程能量变化的几何表示。 水力坡降：单位长度上的水头损失 9总流的动量方程 真的不能不夸这篇这么优秀的文章。流体力学11.1流体的基本性质 1)压缩性流体是液体与气体的总称。从宏观上看，流体也可看成一种连续媒质。与弹性体相似，流体也可发生形状的改变，所不同的是静止流体内部不存在剪切应力，这是因为如果流体内部有剪应力的话流体必定会流动，而对静止的流

20、体来说流动是不存在的。如前所述，作用在静止流体表面的压应力的变化会引起流体的体积应变，其大小可由胡克定律DvDp=-kv 描述。大量的实验表明，无论气体还是液体都是可以压缩的，但液体的可压缩量通常很小。例如在500个大气压下，每增加一个大气压，水的体积减少量不到原体积的两万分之一。同样的条件下，水银的体积减少量不到原体积的百万分之四。因为液体的压缩量很小，通常可以不计液体的压缩性。气体的可压缩性表现的十分明显，例如用不大的力推动活塞就可使气缸内的气体明显压缩。但在可流动的情况下，有时也把气体视为不可压缩的，这是因为气体密度小在受压时体积还未来得及改变就已快速地流动并迅速达到密度均匀。物理上常用

21、 马赫数M来判定可流动气体的压缩性，其定义为M=流速/声速，若M2 2)粘滞性为了解流动时流体内部的力学性质，设想如图10.1.1所示的实验。在两个靠得很近的大平板之间放入流体，下板固定，在上板面施加一个沿流体表面切向的力F。此时上板面下的流体将受到一个平均剪应力F/A的作用，式中A是上板的面积。实验表明，无论力F多么小都能引起两板间的流体以某个速度流动，这正是流体的特征，当受到剪应力时会发生连续形变并开始流动。通过观察可以发现，在流体与板面直接接触处的流体与板有相同的速度。若图10.1.1中的上板以速度u沿_方向运动下板静止，那么中间各层流体的速度是从0（下板）到u（上板）的一种分布，流体内

22、各层之间形成流速差或速度梯度。实验结果表明，作用在流体上的切向力F正比与板的面积和流体上表面的速度u反比与板间流体的厚度l，所以F可写成AuF=ml，因而流体上表面的剪应力可以写成ut=m×l。u 式中l是线段ab绕a点的角速度或者说是单位时间内流体的角形变。若用微分形式表示更具有普遍性，这时上式可以改写成dut=m×dl，dudF=m×dAdl。或上式就是剪应力所引起的一维流体角形变关系式，比例系数m称为流体的粘滞系数，上式叫做牛顿粘滞性定律。m为常数的流体称为牛顿流体，它反映了切应力与角形变是线性关系，m不是常数的流体称为非牛顿流体。流体的粘滞系数m是反映流体

23、粘滞性的大小的物理量，在国际单位制中，粘滞系数的单位是牛顿×秒/米2。所谓粘滞性是指当流体流动时，由于流体内各流动层之间的流速不同，引起各流动层之间有障碍相对运动的内“摩擦”，而这个内摩擦力就是上式中的切向力，物理学中把它称为粘滞阻力。因此上式实际上是流体内部各流动层之间的粘滞阻力。实验表明，任何流体流动时其内部或多或少的存在粘滞阻力。例如河流中心的水流动的较快，而靠近岸边的水却几乎不动就是水的粘滞性造成的。在实际处理流体的流动问题时，若流动性是主要的粘滞性作用影响不大，则可认为流体是完全没有粘滞性的，这种理想的模型叫做非粘滞性流体。 3）压力与压强从前面的讨论知道静止流体表面上没有

24、剪应力，所以容器壁作用在静止流体表面上的力是与液体表面正交的，按牛顿第三定律流体作用在容器壁上的力也与容器壁表面正交，这一点对静止液体内部也成立。在静止液体内过某一点作一假想平面，平面一方流体作用该平面的力也总是垂直于该假想平面。流体表面与流体内各点的压力一般是不一样的，在流体表面压力的方向只能是垂直于液体表面，而流体内部某点的压力沿各个方向都有，因为过流体内部一点我们可以取任意方向的平面。在流体力学中为了描述流体内部的作用力，引入一个叫做压强的物理量，规定压强是作用于流体内单位面积上垂直力的数值，它是一标量。为了计算流体内某一点的压强，我们应该设想通过该点的假想平面Ds是无限小的，若该面上的

25、正压力为DF，则定义该点的压强DFp=limDs®0Ds。在国际单位制中压强的单位是牛顿/米2，也称为帕用Pa表示。在实际应用中压强也有用等价的流体柱高表示的，如医用测量血压的仪器就是用水银柱高作为压强的单位。流体力学中压强是标量但力是矢量，面元的法向也是矢量。既然流体内部的力总是垂直于假想平面，因此可定义流体内某点力的方向与它所作用平面的内法线方向一致，这样作用流体内任一面元上的力DF可写成 dF= -pds 。由于流体内部每一点都有压强所以说流体内每一点都存在压力，至于压力的方向由所考虑平面的法线决定，可以是任何的方向，当流体流动时压强与压力的关系不变。 4）流体的密度和比重在流

26、体力学中常用密度来描述流体的动力学规律，其定义和固体定义一样为单位体积流体的质量，即流体内某点的密度为r=limDmdm=Dv®0Dvdv。对均匀不可压缩的流体密度是常数，一般情况下流体内部各点的密度是不相同的。单位体积流体的重量称为流体的比重。设想在流体内部取一小体积Dv，Dv中包含流体的质量为Dm，因而Dv内流体的重量为Dmg，由定义该流体的比重Dmgg=lim=rgDv¬0Dv。11.2 流体静力学方程 1）静止流体内任一点的压强静止流体内过一点可以沿许多不同的方向取面元，现在来研究这些不同取向的面元上压强有什么关系。在静止的流体内部取一个很小的四面体ABC包围该点，

27、如图10.2.1所示。设面元ABC法线的方向余弦为a、b、g，周围流体对该点作用力（压力）可以用压强P1、P2、P3和P表示，当流体静止时所受到的合外力为零，即因为 ìP1DSCOB-PDSABC×a=0ïíP2DSOAC-PDSABC×b=0ïPDS-PDS×g=0ABCî3OABìDSABC×a=DSCOBïíDSABC×b=DSOACïDS×g=DSOABîABC由上式得到P = P1= P2 = P3 。 由于四面体是任意选取的

28、，于是我们可以得出结论：静止流体内部任一点上沿各个方向的压强都相等，与过这点所取面元法线的方向无关。正因为如此，流体力学中压强只与流体内的点对应而不必强调压强是对哪一个面的。 2）流体静力学方程处理流体静力学问题时，常常取流体内部一个小流体元作为研究对象。作用在小流体元上的力大致可分为两类。一类是作用在小流体元外表面上的压力，我们称之为面力，如液体表面的正压力Pds。另一类是作用在整个小流体元上与流体元的体积成正比的力，如重力rgdv、惯性力等，我们称为体力。下面从牛顿定律出发推导流体静力学满足的普遍方程。当流体处于静止状态时，流体内任一小流体元受到的面力与体力之和必定为零，即平衡条件为 &#

29、229;F面+åF体=0。与压强类似，我们引入一个体力密度f=dF体dv ，它表示作用在单位体积流体上的 体力。例如在只有重力作用下，体力密度f的大小就是比重rg，方向沿重力方向，而在惯性力的作用下，体力密度就是f = ra。为了建立流体静力学方程，我们在静止流体内部取如图10.2.2所示的立方体流体元，根据平衡条件有整理后得ìp_Dsyz-(p_+Dp_)Dsyz+åf_Dv=0ïípyDsz_-(py+Dpy)Dsz_+åfyDv=0ïpDs-(p+Dp)Ds+fDv=0åzzz_yîz_yì

30、;-Dp_×Dsyz+åf_Dv=0ïí-DpyDsz_+åfyDv=0ï-DpDs+fDv=0åzz_yî利用Dp_Dp_Dp_×Dsyz=×Dsyz×D_=×Dv,D_D_DpyDpyDpy×Dsz_=×Dsz_Dy=×Dv,DyDyDpzDpzDpz×Ds_y=×Ds_y×Dz=×Dv,DzDz 可将前式简化成ìDp_ï(-D_+åf_)×Dv=0ï&

31、#239;Dpy+åfy)×Dv=0í(-ïDyïDpz+åfz)×Dv=0ï(-Dz î 显然体积Dv0，所以只能是 DpyDp_Dpz-+åf_=0,-+åfy=0,-+åfz=0D_DyDz。在上面的式子中取极限任一点都 必须满足的方程 D_®0,Dy®0,Dz®0，就可得静止流体内-¶p¶p¶p+åf_=0,-+åfy=0,-+åfz=0¶_¶y¶z

32、。 借助梯度算符¶¶¶Ñ=i+j+k¶_¶y¶z， 上式可以改写成更简洁的形式åf=Ñp 。这就是流体静力学的普遍方程，它表明若流体内任一点的总体力密度等于该点处压强的梯度则流体一定处于静止状态。 3）重力场中流体内部压强分布i)液体：我们先来讨论静止液体内部的压强分布。设液体的密度为r放置在一 长方形的容器内，液面的柱面高为z0，液体表面的压强为P0如图10.2.3所示。在重力场中液体受到的体力密度为rgk，由流体静力学普遍方程得¶p¶p¶p=0,=0,=-rg¶

33、y¶z ¶_。由上述方程知液体内部压强与坐标_、y无关，只是深度的函数。积分第三式得p = -rgz + c，当z=z0时P=P0.故c=P0+rgz0，所以液体内部压强随深度变化的关系为P = rg(z0-z) + P0 = rgh + P0 ,式中h为液面下的深度。上式表明静止液体内部的压强只与距离液面下的深度有关与液体内部水平位置无关。ii)气体：现在来讨论重力场中空气压强随高度变化的规律。为简单起见，假定空气的温度是不随高度变化的而且空气可以看成理想气体。如果在地面处空气的压强为P0、密度为r0，则理想气体的状态方程可表示成PP0=rr0。以地面为坐标系原点所在处，

34、z轴垂直地面向上，由流体静力学方程dp= -rgdz,。将理想气体状态方程代入上式消除r得到pdp=-r0gdzp0 ，分离变量后dprgzòp=-pòdz00 p，p0r0gpLn=-zp0p0。 完成上面的积分得所以压强随高度的变化p=p0e_p-rgz/r0 ，这表明空气压强随高度的变化满足波尔兹曼分布。 4）帕斯卡原理如果将不可压缩液体放在一个密闭的容器内，容器上端与一个可移动的活塞相连。当活塞对液体表面施加的压强为P0时，按照重力场中液体内部压强公式，在液面下深度为h处的压强为P = P0+rg h 。如果把活塞对液体表面的压强增大至P0+DP0，液面下h深处的压

35、强也会变化，按照液体内部压强公式，此时液体下h深处的压强变为 P¢=P0+DP0+rgh=P+DP0。这就是说当液体表面压强增加DP0时液体内任一点(h是任意)的压强也增大了DP0，因此可以形象地说不可压缩液体可将作用在其表面的压强传递到液体内的各个部份包括存放液体的器壁，这一结论称之为帕斯卡原理，是早期由帕斯卡从实验中总结出来的，从现代观点看它是流体静力学方程的一个推论。 5）阿基米德定律任何形状的物体置于密度为r的液体中都会受到液体的浮力，浮力的大小等于物体排开液体的重量。这是一个实验规律称为阿基米德定律。从现代观点看，它也是流体静力学方程的推论。如图10.2.4所示，物体完全浸

36、没在密度为r的液体中。由于物体在液体中处于平衡状态，因此它受到的浮力与同体积的液体所受到合外力相同，这样我们可以将此物体用同体积的液体置换，置换部份液体受到的重力是-rgdv。要使液体保持平衡，周围的液体必然对它有一个向上的面力（浮力）作用于它。由流体静力学方程-rgk=Ñp，dpdFdF-rg=dzd_dydzdv，得或者dF=-rgdv。积分后得 F合=F2- F1= -rgv.，于是得到浮力大小F浮=F1-F2= rgv这就是说浮力是铅直向上的其大小等于物体排开液体的重量。例一；在密闭的容器内盛满密度为r1的液钵，在液体中浸放一长为L、密度为r2的物体，如图10.2.5所示。设

37、r2 速度a向前运动时物体相对液体向哪一方向运动？解：为了弄清物体向哪个方向运动，先用同体积的液体置换物体。容器运动时，置换部分的液体必然与其它部份保持平衡。若将容器取为参照系，可利用流体静力学方程求出液体整体运动时内部压力分布。由f=Ñp,dpf惯=,d_ 得 dp=-f重力dy由于无沿y方向运动的可能性，故只讨论上式的第一个方程，其中f惯= r1a 所以液体内部沿_轴压强分布为p=r1a_+c（c为常量），置换液体相对其它部份液体静止时两端的压强差为Dp= r1La，相应的压力差为DF=r1av(v为置换部份的体积)，在所选择的参照系看来，合外力F¢=DF+F惯=r1a

38、v-r1av=0，液体相对静止。对实际物体来说，受到的惯性力为F惯= -r2av，而物体两端的压力差不变仍然为DF，因此实际物体受到的合外力F¢=DF+F惯=r1av-r2av>0，由此可知，实际物体必然会相对液体沿_轴方向运动。例二；密度为r的不可压缩液体置于一开口的圆柱形容器内，若此容器绕对称轴作高速旋转，求液体内压强分布和液体表面的形状。解：以容器为参照系，此时流体内任一流体元都受到重力与惯性力的作用，相应的体力密度为rgk和-ra。由流体静力学方程 Ñp=-rgk-ra=-rgk+rw2_i+rw2yj，得到¶p¶p¶p22=rw

39、_,=rwy,=-rg¶y¶z ¶_。所以有¶p¶p¶pdp=d_+dy+dz=rw2_d_+rw2ydy-rgdz¶_¶y¶z1221222=rwd(_+y)-rgdz=rwdr-rgdz,22积分后得1p=rw2r2-rgz+c2。如附图10.2.6所示，当r=0时，z=h ，p=p0(p0是液体表面的压强)，所以c = p0 +rgh，最后求得液体内压强分布rw2p=p0+r-rg(z-h)2 。2又取液体表面上任一点为研究对象，由于流体相对坐标系处于静止状态，液体表面上任一点的合力必然沿曲线的法线

40、方向或者说曲线的斜率满足下式dzrw2rw2r=tgq=rgg。dr 积分后w2r2z=+c2g，当r=0时z=h，故c=h。最后得到液体表面的曲线方程w2r2z=+h2g，由此式知道液体表面为一旋转抛物线。11.3流体运动学描述 1）流体运动分类流体流动的分类有许多种，这里介绍经常遇到的几种。理想流体；流体流动过程中不计流体的内摩擦力，不计流体的体积压缩，把流体看成是无粘滞性、不可压缩的理想模型，因此理想流体的流动过程是无能耗 的可逆过程。稳定流动；流体内任何一点的物理量不随时间变化的流动称为稳定流动，这意味着稳定流动过程中，流体内任一点的流速、密度、温度等物理量不随时间变化。例如在稳定流动

41、时，如果流体内某点的速度是沿_轴方向，其量值为3cm/s，则在流体以后的流动中该点的流速永远保持这个方向与量值。若用v、r、T分别表¶v¶r¶T=0¶t¶t示流体内部速度、密度以及温度的分布，则稳定流动时满足¶t。¶v=0¶t反之若流体内任一点的速度不满足就说流动不是稳定的，例如变速水泵喷出的水流就是如此。均匀流动：流体流动过程中如果任意时刻流体内空间各点速度矢量完全相¶v=0同，不随空间位置的变化就称流动是均匀的。用公式表示可写成¶l，其中 l表示沿任意方向求导数。反之，若某一时刻流体内部各点

42、的速度不全相同的流动称为非均匀流动。例如流体以恒定速率通过一均匀长管的流动是稳定的均匀流动，而流体以恒定速率通过一喇叭形长管的流动是稳定的非均匀流动，流体加速通过一喇叭形长管的流动是不稳定的非均匀流动。层流与湍流；在流体流动过程中如果流体内的所有微粒均在各自的层面上作定向运动就叫做层流。由于各流动层之间的速度不一样，所以各流动层之间存在阻碍相对运动的内摩擦，这个内摩擦力就是粘滞力它满足牛顿粘滞性定律。层流在低粘滞性，高速度及大流量的情况下是不稳定的，它会使各流动层之间的微粒发生大量的交换从而完全破坏流动层，使流体内的微粒运动变得不规则，这种现象叫做湍流，湍流发生时流体内有很大的纵向力（垂直流动

43、层的力），引起更多的能量损耗。有旋流动：在流体的某一区域内，如果所有微粒都绕着某一转轴作旋转就称流体是作有旋流动。最直观的有旋流动是涡流，但不是仅仅只有涡流才是有旋流动，物理上判断流体是否作有旋流动是用所谓的环量来刻画的。设想在流体内取一任意的闭合回路C，将流速v沿此回路的线积分定义为环量G，用公式表示就是Gc=òv·dl=òvcosqdlcc。流体内部环量不为零的流动叫做有旋流动，环量处处为零的流动称为无旋流动。按照上面的定义，层流也是有旋流动，参见图10.3.0。 2)流线与流管研究流体的运动，可以观察流体内微粒经过空间各点时的流速。一般情况下，流体内各点的速

44、度是随时间和空间位置变化的，因此流体内各点的速度分布是时间与空间的函数，即v = v ( _, y, z, t )。物理学中常把某个物理量的时空分布叫做场，所以流体内各点流速分布就可以看成速度场。描述场的几何方法是引入所谓的场线，就像静电场中引入电力线，磁场中引入磁力线一样，在流速场中可以引入流线。流线是这样规定的，流线为流体内的一条连续的有向曲线，流线上每一点的切线方向代表流体内微粒经过该点时的速度方向，图10.3.1（a）给出了几种常见的流线。一般情况下空间各点的流速随时间t变化，因此流线也是随时间变化的。由于流线分布与一定的瞬时相对应（参见图10.3.1（c），所以在一般情况下，流线并不

45、代表流体中微粒运动的轨道，只有在稳定流动中，流线不随时间变化，此时流线才表示流体中微粒实际经过的行迹。另外，由于流线的切线表示流体内微粒运动的方向，所以流线永远不会相交，因为如果流线在空间某处相交就表示流体中的微粒经过该点时同时具有两个不同的速度，这当然是不可能的。如果在流体内部取一微小的封闭曲线，通过曲线上各点的流线所围成的细管 就称为流管，如图10.3.1（b）所示。由于流线不会相交，因此流管内、外的流体都不具有穿过流管的速度，也就是说流管内部的流体不能流到流管外面，流管外的流体也不能流入流管内。 3)流量流体力学中用流量来描述流体流动的快慢，工业上也称流量为排泄量。设想在流体内部截取一个

46、面A，定义单位时间内通过截面A流体的体积为通过截面A的（体积）流量。如图10.3.2.所示，在流体内部取一小面元dA通过它的边界作一流管，在流管上截取长度为流速v的一段体积，由于单位时间内该体积内的流体会全部通过面元dA，所以通过面元dA的流量就是dQ = vcosq dA。如果把面元定义为矢量，取其外法线方向为面元的正方向即dA=dAn, 那么通过面元dA的流量可以表示成dQ=vdA，而通过整个截面A的流量就可以表示成更简洁的形式Q=òdQ=òvcosqdA=òv·dAAAA。11.4 流体力学基本方程 1）一般方程在流体内沿流管截取一小流体元，设在t

47、时刻小流体元占有体积为V，边界为S。 按照它的体形在速度场中选取一假想体积，使得在t时刻假想体积与截取流体元 的体积完全一致如图10.4.1（a）所示。图中虚线表示实际的流体元，实线表示 假想的体积。流体会流动，其体积与假想体积之间会发生相对运动变成图 10.4.1.(b)所示的情况。流体元的一部分会穿出假想体积元的边界，而周围的流 体会流入假想的体积元，使假想体积内有流体流入也有流体流出。设N是流体元所携带的某种物理量的总量，它可以是质量、动量，或者是能量。h是单位体积流体中这种物理量的含量或者说是N的密度。我们来考查流体流动时，物理量N随时间的变化规律。注意到在t+Dt时刻流体元占据的体积

48、是II+，而在t时刻占据的体积是I或+，因此在t到t+Dt时间内流体元所携带物理量N的变化量Nt+Dt-Nt=òhdV+òhdVt+dt-òhdVtIIIVI。在上式右侧加上零因子III 重新组合，然后除以dt得òhdVt+Dt-òhdVt+DtIII dNìééhdV=íêòhdVù-òúêdtîëIût+dtëIìééhdVù+íêò

49、hdVù-òúêúëût+ëûIVIIIît+Dt。上式的第一部分¶ìéüùéùíêòhdVú-êòhdVúý/dt=òhdV¶tIût+dtëIûtþ îëI，是单位时间内假想体积内流体所携带N量的变化率。第二部分的第一、二项分别为 òhdVt+dtIVdt

50、=ò流出边界hvdA,-òhdVt+dtIIIdt=-ò流入边界h×vdA，表示单位时间内流入流出假象边界的物理量N，它们可以用密度h对流量的 积分给出。选择假想体积边界面的外法线为正方向，如图10.4.2，上两式合起来就是v·dAò假象边h界。将上面的结果代回方程得到dN¶=ò假想体积hdv+ò假想边界h×v·dAdt¶t。上式说明流体元的某个物理量N随时间的变化可以化为假想体积内流体的物理量N随时间的变化，即等于假想体积内N对时间的变化率（偏导数）加上从该体积边界流入N量

51、的净增加值。这是流体动力学的一个普遍规律，由此可以推出流体动力学的几个重要方程。 2）连续性方程若考查流体流动过程中质量变化规律，取N=m，这时h=r。由于流体流动dm=0过程中质量不变dt，一般方程式化为¶rdV+ò假想边界rv·dA=0ò假想体积 ¶t。 这就是流体力学的连续性方程（积分形式），它是以质量守恒出发得到的，其意义为在一个假想体积中，流体的质量随时间的变化等于单位时间从其边界流入该体积的净质量。利用体积分化为面积分的公式V 连续性方程可化为òÑ(rv)dV=òrv·dAS，¶&#

52、242;¶tr×dV+òÑ(rv)dV=0V V，¶rò¶t+Ñ(rv)dV=0 即V。由于dV ¹ 0，所以只能3）能量方程¶r+Ñ(rv)=0¶t上式就是连续性方程的微分形式，它对流体内任一点都成立。如果我们讨论流体的能量变化，可取N=E，此时h=re，式中e为单位质量流体的能量。由一般方程式得dE¶=ò假想体积redV+ò假想边界rev·dAdt¶t，上式就是流体内部能量满足的方程。它表示流体能量随时间的变化可由假想体积

53、内流体能量随时间的变化与单位时间从边界流入假想体积内的净能量确定。 4）动量方程如果我们讨论的是流体动量如何随时间变化，可取N=P，此时h=rv。将此关系代入一般方程可得流体力学的动量方程dp¶=ò假想体积rv×dV+ò假想边界rv(v·dA)¶t dt。其意义为流体的动量随时间的变化率等于假想体积内流体的动量随时间的变化加上从假想体积边界流入该体积中的净动量。5）方程的应用i)作为连续性方程的应用，考虑在流管中稳定流动的流体。由于流动是稳定的，流线的位置不随时间变化，沿流管截取一假想体积如图10.4.3所示，该体¶r=0积

54、由流管的边界与上、下两个面1和2包围。对稳定流动¶t，这时连续性方程退化成rv·dA=0ò假想边界 。这表明单位时间内通过假想体积边界流入流出的净质量为零，由于管内外的流体均不能穿过管壁，所以流体只能通过下截面1流入，上截面2流出。这意味着从截面1流入的流体质量必定等于通过截面2流出假想体积的质量，即S1òr1v1dA1=òr2v2dA2S2 。如果用r¢1及r¢2分别表示截面1与截面2处的平均密度，用Q1、Q2表示通过截面1与截面2的流量，上式可以表示成更方便的形式对于不可压缩的流体¢Q1=r¢r12Q

55、2，r1=r2，上式退化为 Q1=Q2 。结果表明，不可压缩的流体在流动时，沿流管的任意截面上流量均相同，它是质量守恒的必然结果。ii)作为动量方程的应用，考虑在一弯管中稳定流动的流体，如图10.4.4所示。沿载流管截取一假想体积，该体积由载流管内边界与1、2两¶r=0¶t个截面包围，同样地，对稳定流动有且任意一点流速v=常量，因此动量方程退化成dp=ò假想边界rv(v·dA)dt。由于在载流管的边界处流速v垂直于载流管的内表面，所以上式中对假象体积的外表面积分实际上退化为对1、2两个截面的面积分dp=òr1v1(v1·dA)+

56、42;r2v2(v2·dA)dtS1S2 =r1v1òv1·dA+r2v2òv2·dAS1S2=-r1v1Q1+r2v2Q2这里的r1、r2、v1、v2是1、2两个截面上的平均密度与平均速度。如果流体是不可压缩的且流动过程中质量守恒，这时r1=r2=r，Q1=Q2= Q，结果简化成dp=rQ(v2-v1)dt。从图10.4.4看出，流体在载流管内动量的改变是由于管壁施加给流体作用力的缘故，其大小与方向由上式决定，因此由牛顿第三定律可以得到结论：流体对载流管的作用力也由上式决定，但作用力的方向相反。11.5 理想流体的流动 1）沿一条流线的欧拉方

57、程先来介绍流体力学中一个十分重要的方程-¾欧拉方程，它是流体动力学的基本程之一。当无粘滞性的流体稳定流动时，取流体内一根流线S，如图10.5.1所示。沿流线截取一横截面为dA，长为ds的一小流体元。该流体元受到来自沿流线前、后两个截面上的正压力（以流线的方向为参照方向）¶p¶p-(p2-p1)dA=-×dAds=-dv¶s¶s， 力的方向沿着流线的切向。这段流体元还受到重力的作用，其大小为Dmg = rgdv ,方向竖直向下。设重力与流线之间的夹角为q，则重力沿着流线切线方向的投影为（见图10.5.1）¶zrgcosqdv=

58、-rgdv¶s。 对所取的流体元，按牛顿第二定律写出沿流线切向的动力学方程就是¶p¶z-dv-rgdv=radv¶s ¶s ，式中a为流体元沿流线切向的加速度。将rg用比重g表示，并消除上式中dv得到-¶p¶z-g=ra¶s¶s。(1)式中的切向加速度a可改写成dv¶v¶s¶v¶v¶va=×+=v+dt¶s¶t¶t¶s¶t， 把上面的式子代回前面的式子(1)就可以得到1¶p¶z

59、¶v¶v+g+v+=0¶s¶s¶tr¶s，¶v=0 这就是沿一条流线的欧拉方程。 对于稳定流动¶t ，欧拉方程退化成1¶p¶z¶v+g+v=0r¶s¶s¶s。由于此时只有一个变量（空间变量s），上式中的偏微分可用全微分代替，去掉微分公因子ds后得dp+gdz+vdv=0 r。2）柏努利方程无粘滞性的流体稳定流动时，沿任何一条流线必定满足上式。对理想流体，由于不可压缩上式中的密度r是常数。将上式沿流线积分，注意此时密度r为常量就可以得到理想流体沿任何一条流线流动时必须满足的方程p12+gz+v=常数2 r。上式就是著名的柏努利方程，式中的积分常数也称柏努利数，它是随着不同流线 而变化的。式中每一项的量纲都是单位质量的能量M2S-2。若将上式除以g，每项就成为单位重量的能量，即pv2+z+=常数2g g。对液体来说，用上式比较方便。若用rg乘上式就得到12p+rgz+rv=常数2 ，该式用于气体显得方便一些，因为对气体来说高度